解讀高斯正十七邊形的作法上

1、解讀高斯正十七邊形的作法（上）E-mail: QQ: 541601368一、高斯的傳奇故事高斯(Carl Friedrich Gauss 1777.4.301855.2.23），德國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家。 有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工廠工頭的父親計(jì)算工人們的周薪。父親算了好一會(huì)兒，終于將結(jié)果算出來(lái)了。可是萬(wàn)萬(wàn)沒(méi)想到，他身邊傳來(lái)幼嫩的童音說(shuō)：“爸爸，你算錯(cuò)了，總數(shù)應(yīng)該是”父親感到很驚異，趕忙再算一遍，結(jié)果證實(shí)高斯的答案是對(duì)的。這時(shí)高斯只有3歲！ 高斯上小學(xué)了，教他們數(shù)學(xué)的老師布特勒(Buttner)是一個(gè)態(tài)度惡劣的人，他講課時(shí)從不考慮學(xué)生的接受能力，有時(shí)還用鞭子懲罰學(xué)生。

2、有一天，布德勒讓全班學(xué)生計(jì)算 1+2+3+4+5+98+99+100？的總和，并且威脅說(shuō)：“誰(shuí)算不出來(lái)，就不準(zhǔn)回家吃飯！”布德勒說(shuō)完，就坐在一旁獨(dú)自看起小說(shuō)來(lái)，因?yàn)樗J(rèn)為，做這樣一道題目是需要些時(shí)間的。小朋友們開(kāi)始計(jì)算：“1 + 2 3，3+36，6+410，”數(shù)越來(lái)越大，計(jì)算越來(lái)越困難。但是不久，高斯就拿著寫(xiě)著解答的小石板走到布德勒的身邊。高斯說(shuō)：“老師，我做完了，你看對(duì)不對(duì)？“做完了？這么快就做完了？肯定是胡亂做的！”布德勒連頭都沒(méi)抬，揮揮手說(shuō)：“錯(cuò)了，錯(cuò)了！回去再算！”高斯站著不走，把小石板往前伸了伸說(shuō)：“我這個(gè)答案是對(duì)的?！辈嫉吕仗ь^一看，大吃一驚。小石板上寫(xiě)著 5050，一點(diǎn)也沒(méi)有錯(cuò)

3、！高斯的算法是(1100)(299)(398)(992)(1001)101101101101101101×10010100，10100÷25050。高斯并不知道，他用的這種方法，其實(shí)就是古代數(shù)學(xué)家經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期努力才找出來(lái)的求等差數(shù)列和的方法，那時(shí)他才八歲！ 1796年的一天，德國(guó)哥廷根大學(xué)。高斯吃完晚飯，開(kāi)始做導(dǎo)師給他單獨(dú)布置的三道數(shù)學(xué)題。前兩道題他不費(fèi)吹灰之力就做了出來(lái)了。第三道題寫(xiě)在另一張小紙條上：要求只用圓規(guī)和沒(méi)有刻度的直尺，作出一個(gè)正十七邊形。這道題把他難住了所學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)竟然對(duì)解出這道題沒(méi)有任何幫助。時(shí)間一分一秒的過(guò)去了，第三道題竟毫無(wú)進(jìn)展。他絞盡腦汁，嘗

4、試著用一些超常規(guī)的思路去尋求答案。當(dāng)窗口露出曙光時(shí)，他終于解決了這道難題。當(dāng)他把作業(yè)交給導(dǎo)師時(shí)，感到很慚愧。他對(duì)導(dǎo)師說(shuō)：“您給我布置的第三道題，我竟然做了整整一個(gè)通宵，”導(dǎo)師看完作業(yè)后，激動(dòng)地對(duì)他說(shuō)：“你知不知道？你解開(kāi)了一樁有兩千多年歷史的數(shù)學(xué)懸案！阿基米得沒(méi)有解決，牛頓也沒(méi)有解決，你竟然一個(gè)晚上就解出來(lái)了。你是一個(gè)真正的天才！”原來(lái)，導(dǎo)師也一直想解開(kāi)這道難題。那天，他是因?yàn)槟缅e(cuò)了，才將寫(xiě)有這道題目的紙條交給了學(xué)生。在這件事情發(fā)生后，高斯曾回憶說(shuō)：“如果有人告訴我，那是一道千古難題，我可能永遠(yuǎn)也沒(méi)有信心將它解出來(lái)?！?1796年3月30日，當(dāng)高斯差一個(gè)月滿十九歲時(shí)，在期刊上發(fā)表關(guān)于正十七邊形

5、作圖的問(wèn)題。他顯然以此為自豪，還要求以后將正十七邊形刻在他的墓碑上。然而高斯的紀(jì)念碑上并沒(méi)有刻上十七邊形，而刻著一顆十七角星，原來(lái)是負(fù)責(zé)刻紀(jì)念碑的雕刻家認(rèn)為：“正十七邊形和圓太像了，刻出來(lái)之后，每個(gè)人都會(huì)誤以為是一個(gè)圓?！?877年布雷默爾奉漢諾威王之命為高斯做一個(gè)紀(jì)念獎(jiǎng)?wù)?。上面刻著：“漢諾威王喬治V. 獻(xiàn)給數(shù)學(xué)王子高斯(Georgius V. rex Hannoverage Mathematicorum principi)”，自那之后，高斯就以“數(shù)學(xué)王子”著稱(chēng)于世。二、高斯正十七邊形尺規(guī)作圖的思路（純?nèi)欠ǎ┳髡哌呅蔚年P(guān)鍵是作出cos，為此要建立求解cos的方程。設(shè)正17邊形中心角為，則

6、172，即162 故sin16sin ，而 sin162sin8 cos84sin4 cos4 cos88 sin2 cos2 cos4 cos816 sin cos cos2 cos4 cos8 因sin 0，兩邊除以sin，有 16cos cos2 cos4 cos81由積化和差公式，得4(coscos3)(cos4cos12)1展開(kāi)，得4(cos cos4cos cos12cos3 cos4cos3 cos12)1再由積化和差公式，得2(cos3cos5)(cos11cos13)(coscos7)(cos9cos15)1注意到 cos11cos6，cos13cos4，cos9cos8，c

7、os15cos2，有 2(coscos2cos3cos4cos5cos6cos7cos8)1設(shè) a2(cos+ cos2+cos4+ cos8)，b2(cos3+ cos5+cos6+ cos7)，則 ab1，又ab2(coscos2cos4cos8)·2(cos3cos5cos6cos7)4cos(cos3cos5cos6cos7)4cos2(cos3cos5cos6cos7)4cos4(cos3cos5cos6cos7)4cos8(cos3cos5cos6cos7)， 再展開(kāi)之后共16項(xiàng)，對(duì)這16項(xiàng)的每一項(xiàng)應(yīng)用積化和差公式，可得： ab2 (cos2cos4)(cos4cos6)

8、(cos5cos7)(cos6cos8)(coscos5)(cos3cos7)(cos4cos8)(cos5cos9)(coscos7)(coscos9)(cos2cos10)(cos3cos11)(cos5cos11)(cos3cos13)(cos2cos14)(coscos15)，注意到cos9cos8，cos10cos7， cos11cos6，cos13cos4，cos14cos3，cos15cos2，有 ab2×4(coscos2cos3cos4cos5cos6cos7cos8)4。因?yàn)閏oscos2cos8(coscos)cos2coscoscos2cos(cos)又 0

9、< < < 所以cos> 即coscos2cos8 > 0又因?yàn)?cos4cos> 0所以 acoscos2cos4cos8 > 0又 ab-4< 0所以有a > 0， b< 0可解得 a，b。再設(shè)c2(coscos4)，d2(cos2cos8)，則c+da cd2(cos+ cos4)·2(cos2+ cos8)4 (coscos2coscos8cos4cos2cos4cos8)2 (coscos3)(cos7cos9)(cos2cos6)(cos4cos12)注意到cos9cos8， cos12cos5，有cd2(cos

10、cos3)(cos7cos8)(cos2cos6)(cos4cos5)2( coscos2cos3cos4cos5cos6cos7cos8)-1。因?yàn)?0 < < 2 < 4 < 8 < 所以 cos > cos2，cos4 > cos8兩式相加得 coscos4> cos2cos8或2(coscos4)> 2(cos2cos8)即 c > d，又 cd-1 < 0所以有c > 0， d < 0可解得c， d 。類(lèi)似地，設(shè)e2(cos3cos5)，f2(cos6cos7)則e+fb，ef2(cos3cos5)

11、3;2(cos6cos7)4(cos3cos6cos3cos7cos5cos6cos5cos7)2 (cos3cos9)(cos4cos10)(coscos11)(cos2cos12)，注意到cos9cos8，cos10cos7， cos11cos6，cos12cos5，有ef2(cos3cos8)(cos4cos7)(coscos6)(cos2cos5)2( coscos2cos3cos4cos5cos6cos7cos8)-1。因?yàn)?0 < 3 < 5 < 6 < 7 < 所以有 cos3 > cos6，cos5 > cos7兩式相加得cos3cos5> cos6cos72(cos3cos5)> 2(cos6cos7)即 e > f，又 ef-1 < 0所以有 e > 0， f < 0 可解得