七數(shù)培優(yōu)競賽講座第4講數(shù)軸――數(shù)與形的第一次碰撞

1、第四講 數(shù)軸一與形的第一次碰撞為了學(xué)好有理數(shù)的概念，使思維適應(yīng)數(shù)集的擴(kuò)充，我們把現(xiàn)實(shí)生活中大量的有關(guān)模型， 如直尺、杠桿、溫度計(jì)、儀表上的刻度，所具有的本質(zhì)屬性抽象化，建立起數(shù)軸模型.數(shù)軸 的建立，賦予了抽彖的代數(shù)概念以直觀表象.數(shù)學(xué)一開始就是研究“數(shù)”和“形”的，從古希臘時(shí)期起，人們就己試圖把它們統(tǒng)一起 來.數(shù)與形有著密切的聯(lián)系，我們常用代數(shù)的方法研究圖形問題；另一方面，也利用圖形來 處理代數(shù)問題，這種數(shù)與形相互作用，是一種重要的數(shù)學(xué)思想一一數(shù)形結(jié)合思想.利用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，現(xiàn)階段，數(shù)軸是聯(lián)系數(shù)與形的 橋梁，主要體現(xiàn)在：1. 運(yùn)用數(shù)軸直觀地表示有理數(shù)；2. 運(yùn)用

2、數(shù)軸形象地解釋相反數(shù)；3. 運(yùn)用數(shù)軸準(zhǔn)確地比較有理數(shù)的大??；4. 運(yùn)用數(shù)軸恰當(dāng)?shù)亟鉀Q與絕對(duì)值有關(guān)聯(lián)的問題.例題【例1】數(shù)軸上有A、E兩點(diǎn)，如果點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是一 2,且A、E兩點(diǎn)的距離為3, 那么點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的數(shù)是 （江蘇省競賽題）在數(shù)軸上，點(diǎn)A、E分別表示一丄和丄，則線段AB的中點(diǎn)所表示的數(shù) 35是.（江蘇省競賽題）思路點(diǎn)撥（1）確定E點(diǎn)的位置：（2）在數(shù)軸上選擇兩個(gè)特殊點(diǎn)，探索它們的中點(diǎn)所表示 的數(shù)與所選兩點(diǎn)所表示的數(shù)的聯(lián)系.【例2】如圖，在數(shù)軸上有六個(gè)點(diǎn)，且AB=EC=CD=DE=EF,則與點(diǎn)C所表示的數(shù)最接 近的整數(shù)是（）.4 Q go g $-5'* *'1*1 *B. 0

3、C. 1D. 2（第12屆“希望杯”譴請(qǐng)賽試題）思路點(diǎn)撥利用數(shù)軸提供的信息，求出AF的長度.【例3】比較q與丄的大小.a思路點(diǎn)撥 因?yàn)镼表示的數(shù)有任意性，直接比較常會(huì)發(fā)生遺漏的現(xiàn)彖，若把各個(gè)范圍在 數(shù)軸上表示出來，借助數(shù)軸討論它們的大小，則形象直觀，解題的關(guān)鍵是由0 =丄、丄無意 a a 義得出67 = 1,-1,0,據(jù)此3個(gè)數(shù)把數(shù)軸分為6個(gè)部分.【例4】（1）閱讀下面材料并回答問題.28.（1）閱讀下面材料：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a、b, A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為I AB I .當(dāng)A、B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn)，如圖1, I AB I = I OB I = I b I

4、二 I ab I 當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)， 如圖2,點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊丨AB I =丨0B丨一 I 0A丨=I b I |a| = b- a=|a 一1/51/51/5 如圖3,點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊，丨AB I = I OB I - I OA I = I b I -|a| = b- a=|a -b|；如圖4,點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩邊，I AB丨=丨0B丨一丨0A丨=丨b丨一|a|二一 b-(- a) = | a b|:0(A)B0 ABB0b6 abb圖1(2)回答下列問題：圖2綜上，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離|ABk|a-b .40-aO-圖3數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是,數(shù)軸上表

5、示一2和一5的兩點(diǎn)之間的距離是,數(shù)軸上表示1和一3的兩點(diǎn)之間的距離是； 數(shù)軸上表示x和一1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是，如果丨AB I =2用么x為; 當(dāng)代數(shù)式丨x+1 I十I x-2 I取最小值時(shí)，相應(yīng)的x的取值范圍是.(2002年南京市中考題) 注：有效地從圖形、圖表獲取信息是信息社會(huì)的基本要求.從數(shù)軸上獲取有關(guān)信息是解有理數(shù)問題的常用技巧，主要包括:(1) 數(shù)軸上堵塞點(diǎn)所表示的數(shù)是正負(fù)性；(2) 數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.(1)字母表示數(shù)是代數(shù)的特點(diǎn)，但字母具有抽彖性，所以在條件允許的范圍內(nèi)賦予宇母 以特殊值來計(jì)算、判斷或探求解題思路，能化抽象為具體，這就是我們常說的“賦值法”， 但這種方法不

6、能作為解題的規(guī)范過程.(2)純粹的代數(shù)的方法比較抽象，如能借助圖形(利用數(shù)形結(jié)合的思想方法)，則可使許多 抽象的概念和復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系直觀化、形象化，甚至簡單化.(2)試求 I x-1 I 十丨 X2 I + I X3 I + I X1997 I 的最小值. (天津市競賽題)思路點(diǎn)撥 對(duì)于，閱讀理解從數(shù)軸上看，勺的意義；對(duì)于由于x的任意性、 無限性，因此，通過逐個(gè)求出代數(shù)式的值解題明顯困難，不妨從絕對(duì)值的幾何意義，利用數(shù) 軸入手，借助(1)的結(jié)論解題.【例5】(1)工作流水線上順次排列5個(gè)工作臺(tái)A、E、C、D、E, 一只工具箱應(yīng)該放在 何處，才能使工作臺(tái)上操作機(jī)器的人取工具所走的路程最短？(2)

7、 如果工作臺(tái)由5個(gè)改為6個(gè)，那么工具箱應(yīng)如何放置能使6個(gè)操作機(jī)器的人取工具 所走的路程之和最短？(3) 當(dāng)流水線上有n個(gè)工作臺(tái)時(shí)，怎樣放置工具箱最適宜？思路點(diǎn)撥 把流水線看作數(shù)軸，工作臺(tái)、工具箱看作數(shù)軸上的點(diǎn)，這樣，就找到了解決 本例的模型一一數(shù)軸，將問題轉(zhuǎn)化為例4的形式求解.學(xué)力訓(xùn)練1. 在數(shù)軸上表示數(shù)Q的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為3,則a-3=2. d、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則丄、厶、丄中最大的是a-b c-b a-c2 / 52 / 52 /5b c 0ba 0 c 1ABC D（第2題）（笫3題）（第4題）3. 有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，若m = a-b-b-a-c-L-c

8、,則,則1000m=.（ “希望杯”邀請(qǐng)賽試題）4. 如圖，工作流程線上A、E、C、D處各有1名工人，且AB=EC=CD=1,現(xiàn)在工作流 程線上安放一個(gè)工具箱，使4個(gè)人到工具箱的距離之和為最短，則工具箱的安放位置是_.5. 有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖，化簡a-b-c-b的結(jié)果為（）.A. a+c B. -a-2b+c C. a+2b-c D. -a-c（進(jìn) 騒）c a 0 pY BC T）6. 如圖，數(shù)軸上標(biāo)出若干個(gè)點(diǎn)，每相鄰兩點(diǎn)相距1個(gè)單位，點(diǎn)A、E、C、D對(duì)應(yīng)的數(shù)分別 是整數(shù)a、b、c、d ,且d 加=10,那么數(shù)軸的原點(diǎn)應(yīng)是（）.A. A點(diǎn) B. B點(diǎn) C. C點(diǎn) D. D點(diǎn)（第15后江蘇

9、省競賽題）7. |x+l| + |x-l| 的最小值是（）.A. 2 B. 0 C. 1 D. 1&數(shù)d、b、C、所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A、E、C、D在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么a + c與b + d 的大小關(guān)系是（）.A. a+c <b + d B. a+c=b + d C. a+c >b + d D.不確定的（江蘇省競賽題）9. 己知數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)，A、B之間的距離為1,點(diǎn)A與原點(diǎn)O的距離為3.求所有滿 足條件的點(diǎn)B與原點(diǎn)O的距離的和.（北京市“迎春杯”競賽題）10. 己知兩數(shù)a、b,如果a比b大，試判斷問與問的大小.11. 有理數(shù) a、b 滿足 a>0, b <0

10、, a < b,用將 a、b、-d、一b 連接起來.12. |x +1| + |x2| + |x3| 的最小值是.13. 已知數(shù)軸上表示負(fù)有理數(shù)加的點(diǎn)是點(diǎn)M,那么在數(shù)軸上與點(diǎn)M相距護(hù)|個(gè)單位的點(diǎn)中，與原點(diǎn)距離較遠(yuǎn)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是.（山東省競賽題）14. 若& >0, Z? <0,則使|x-67| + |x-Z?| = a-b成立的x取值范圍是.（武漢市選拔賽題）15. 如圖，A、B、C、D、E為數(shù)軸上的五個(gè)點(diǎn).且AB=BC=CD=DE,則圖中與P點(diǎn)表示 的數(shù)比較接近的一個(gè)數(shù)是（）.A. 一 1 B. 1 C3 D. 5FA B C D E 丄I _ 打 丿a»

11、59（第15題）3/53/53/5（河南省競賽題）16. 設(shè)y = |x-l| + |x + l|,則下面四個(gè)結(jié)論中正確的是（）.A. y沒有最小值B.只有一個(gè)x使y取最小值C.有限個(gè)x（不止一個(gè)）y取最小值D.有無窮多個(gè)x使y取最小值17. 不相等的有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、E、C,若0-曲+ ”一4二0-, 那么點(diǎn)E（）.A.在A、C點(diǎn)右邊 B.在A、C點(diǎn)左邊C.在A、C點(diǎn)之間 D.以上均有可能18. 試求 2| + |x 4| + |x 6| + + |x 2000| 的最小值.19. 電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點(diǎn)K。，第一步從K。向左跳1個(gè)單位到Ki，第二步由Ki向右 跳2個(gè)

12、單位到第三步由&向左跳3個(gè)單位到，第四步由K,向右跳4個(gè)單位到心 ， 按以上規(guī)律跳了 100步時(shí)，電子跳蚤落在數(shù)軸上的點(diǎn)Kg所表示的數(shù)恰是19.94,試水電子 跳蚤的初始位置Ko點(diǎn)所表示的數(shù).20. 如圖，在數(shù)軸上（未標(biāo)出原點(diǎn)及單位長度）點(diǎn)A為線段EC的中點(diǎn)，己知點(diǎn)A、E、C 對(duì)應(yīng)的三個(gè)數(shù)4、b、C之積為負(fù)數(shù)，這三個(gè)數(shù)之和與其中一數(shù)相等，設(shè)p為d、b、C三數(shù) 中兩數(shù)的比值，求p的最大值和最小值.21. 某城鎮(zhèn)沿環(huán)形路上依次排列有五所小學(xué)：A】、2、A3、亠、A5,它們順次有電腦15臺(tái)、 7臺(tái)、11臺(tái)、3臺(tái)、14臺(tái)，為使各校的電腦數(shù)相同，允許一些小學(xué)向相鄰小學(xué)調(diào)出電腦，問 怎樣調(diào)配才能使

13、調(diào)出的電腦總臺(tái)數(shù)最少?并求出電腦的最少總臺(tái)數(shù).（湖北省荊州市競賽題）.4 / 54 / 54 /5參考答案a數(shù)軸一數(shù)與形的第一次碰摘【例題求解】-±+±M 1 (!)-5jfi提示,AB中點(diǎn)所表示的敷足 彳廠2W 2 &C 握示:AF=ll-<-5) = l$,AB=BC=*CD-DE-EF-y-3.2.C點(diǎn)坐標(biāo)為一5+3.2+12=1.4.W 3提示如田當(dāng)。<一1時(shí),a<£當(dāng)"一 1時(shí)"召當(dāng)-IVYO時(shí)Q右當(dāng)XXI時(shí).a<I當(dāng) au時(shí).a= |當(dāng) a>l 時(shí)，a>丄.aaa例 4 (1)(D3.3,

14、4 lx+11,1 或一3 一l<x<2.(2>ft示:從數(shù)恤上看，求|jl| + |x-2| + |x-3| + - + |x-19!)7| 的最小丨二值即在數(shù)越上找出我示z的點(diǎn)，快它到表示ft 1,2,3-.1997的點(diǎn)的距髙之和丨2 3 999 1995 19961997量小.如圖所示當(dāng)x-999時(shí).原式的(ft鍛小，從數(shù)軸上看這個(gè)量小值為，(1997-1) +(1996-2)+-(1995-3)+ - + (1000-998) + <999-999>= 1996+1994 +1992 + “+2"997002也可橋x=999代入上式子求值.例5提

15、示>(1>1,具箱放在C臺(tái)上，工具箱放在C.D«臺(tái)之間(含CQ網(wǎng)點(diǎn)任一處；分”為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論. 【學(xué)力訓(xùn)練】I. 0 或一6 2.占 3. -20004.放 B、C(含 B.G之間任一處. 5. A 6. B 7. A 8. A9. 12提示：點(diǎn)A表示的數(shù)為3我一3,満足條件的點(diǎn)B共有4個(gè).1«.當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)的右邊時(shí),0<6<«,JI|a|>|6|l當(dāng)點(diǎn)A在原點(diǎn)的左邊時(shí),b<a<0,則|a|V2h當(dāng)點(diǎn)A、B分別在族點(diǎn)的 右、左兩側(cè)時(shí).b<0<a,這時(shí)無法比較lai與I6t的大小關(guān)系；當(dāng)點(diǎn)A正好在原點(diǎn)位

16、IM ,6<a-0,« |5|> |a|,當(dāng)點(diǎn)B正好 在(點(diǎn)位* 時(shí).0»*<a.則 lai A 21.II. b<a<a<b.12. 413. 2m 14. gzWa 15. C 16. D 17. C18. 500000 提示：當(dāng) 1000<x<1002 時(shí)，原式有最小值，這個(gè)最小值為,< 1002-2) + (1004-4) + + (2000- 1000) = 500000.19. 30.06提示:設(shè)Aa點(diǎn)衷示的有理數(shù)為x,RJ ki、嚴(yán)、»»點(diǎn)所裘示的有理數(shù)分別為Xl,xl + 2,x1 + 2 3,x1 + 2-34-499+100，由題意得1 + 2-3+4-99+100=19. 94.*1* x=-30.06.20. 由圖知aftc V0.知X0<a<c或b<a<c<Q,即驚點(diǎn)柱點(diǎn)B、A之閭或莊點(diǎn)C右邊.又由a、&、c之和與其中之一相等.可知勿網(wǎng)數(shù)的和為0.即這兩數(shù)互為相反數(shù).故原點(diǎn)只徒在點(diǎn)B、A之同且是線&AB的中點(diǎn).其中a-a<=3«亡=3.于21.性示：如圖.用A、B、C、D、E順時(shí)針排列依次表示一至五所小學(xué)H順次向鄰校調(diào)給勸七工,，斗5 臺(tái)電他.依題意得7+xi=11 + 去工,=3+工3