級(jí)數(shù)求和的常用方法45312

1、四川師范大學(xué)本科畢業(yè)論文級(jí)數(shù)求和的常用方法學(xué)生姓名劉學(xué)江院系名稱數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院專業(yè)名稱數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班 級(jí)2008級(jí)01班學(xué) 號(hào)2008060122指導(dǎo)教師李紅梅完成時(shí)間2012年4月30日級(jí)數(shù)求和的常用方法學(xué)生姓名：劉學(xué)江 指導(dǎo)老師：李紅梅內(nèi)容摘要：級(jí)數(shù)在數(shù)值計(jì)算中有廣泛的運(yùn)用，級(jí)數(shù)首先要考慮其收斂性，在收斂級(jí)數(shù)中尋求可求和的方法.但在國(guó)內(nèi)很多教材或其它數(shù)學(xué)書籍中沒(méi)有專門的板塊涉及級(jí)數(shù)求和的內(nèi)容，即使是國(guó)內(nèi)權(quán)威數(shù)學(xué)分析教材也只是作了級(jí)數(shù)逼近的工作.力求尋求級(jí)數(shù)求和的常用方法加以總結(jié)提煉，揭開級(jí)數(shù)和的神秘面紗.本文整體布局可分為部分：一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和的常用方法二、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和的常用方法.

2、由于級(jí)數(shù)的斂散性是分析級(jí)數(shù)求和的先導(dǎo)，但是本文重在于討論級(jí)數(shù)求和，所以級(jí)數(shù)斂散性內(nèi)容討論從簡(jiǎn)，且本文涉及的級(jí)數(shù)均收斂.在借鑒國(guó)內(nèi)外優(yōu)秀數(shù)學(xué)書籍的基礎(chǔ)上，選取一些典型題目加以分析，使每一種方法盡可能以事實(shí)形式呈現(xiàn)出一種“方法技巧的實(shí)戰(zhàn)運(yùn)用”景象，在實(shí)例中說(shuō)明方法，用實(shí)例體會(huì)方法.關(guān)鍵詞：級(jí)數(shù)求和數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和Common Methods of Summing of SeriesAbstract:Series widely used in the numerical calculation,the series must first consider its convergence,c

3、overgent series for the summability method.In many textbooks or other mathematical books for the summation of our national content,even if the domestic authority of mathematical analysis textbooks just made a series approximation.Under the guidance of the teachers Honmei Li,and strike to seek the su

4、mmation of the commonly used method to sum up refining,opened the mystery of seriesThe overall of this article can be divided into two parts:several summation of commonly used methods,common methods summation for funtional sreies,series summations theory，The convergence and divergence of the series

5、is the summation anlysis of the pilot,but important point is to discuss the summation,so the convergence of the series discussion is simple in this text.Based on excellent books from home and abroad ,every method for series summation show the fact that “method of skill in actual use” scene as far as

6、 possible. Keywords:sum of series sum of numerial series sum of function series目錄1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和11.1等差級(jí)數(shù)求和11.2首尾相加法1 1.3等比級(jí)數(shù)求和1 1.4錯(cuò)位相減法21.5蘊(yùn)含型級(jí)數(shù)相消法21.6有理化法求級(jí)數(shù)和21.7方程式法31.8原級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為子序列求和31.9數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)化為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和31.10化數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為積分函數(shù)求原級(jí)數(shù)和41.11三角型數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)系級(jí)數(shù)41.12構(gòu)造函數(shù)計(jì)算級(jí)數(shù)和51.13級(jí)數(shù)討論其子序列51.14裂項(xiàng)法求級(jí)數(shù)和61.15裂項(xiàng)+分拆組合法71.16夾逼法求解級(jí)數(shù)和72函

7、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和82.1方程式法82.2積分型級(jí)數(shù)求和82.3逐項(xiàng)求導(dǎo)求級(jí)數(shù)和92.4逐項(xiàng)積分求級(jí)數(shù)和92.5將原級(jí)數(shù)分解轉(zhuǎn)化為已知級(jí)數(shù)102.6利用傅里葉級(jí)數(shù)求級(jí)數(shù)和102.7三角級(jí)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)求級(jí)數(shù)和112.8利用三角公式化簡(jiǎn)級(jí)數(shù)122.9針對(duì)2.7的延伸122.10添加項(xiàng)處理系數(shù)122.11應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算級(jí)數(shù)和132.12利用Beta函數(shù)求級(jí)數(shù)和14參考文獻(xiàn)15級(jí)數(shù)求和的常用方法 級(jí)數(shù)要首先考慮斂散性，但本文以級(jí)數(shù)求和為中心，故涉及的級(jí)數(shù)均收斂且不過(guò)多討論級(jí)數(shù)斂散性問(wèn)題. 由于無(wú)窮級(jí)數(shù)求和是個(gè)無(wú)窮問(wèn)題，我們只能得到一個(gè)的極限和.加之級(jí)數(shù)能求和的本身就困難，故本文只做一些特殊情況的討論，而無(wú)級(jí)

8、數(shù)求和的一般通用方法，各種方法主要以例題形式給出，以期達(dá)到較高的事實(shí)性.1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和1.1等差級(jí)數(shù)求和等差級(jí)數(shù)為簡(jiǎn)單級(jí)數(shù)類型，通過(guò)比較各項(xiàng)得到其公差，并運(yùn)用公式可求和.，其中為首項(xiàng)，為公差證明：，+得：因?yàn)榈炔罴?jí)數(shù)所以此證明可導(dǎo)出一個(gè)方法“首尾相加法”見1.2.1.2首尾相加法此類型級(jí)數(shù)將級(jí)數(shù)各項(xiàng)逆置后與原級(jí)數(shù)四則運(yùn)算由首尾各項(xiàng)四則運(yùn)算的結(jié)果相同，便化為一簡(jiǎn)易級(jí)數(shù)求和.例1:求.解：，兩式相加得：，即：.1.3等比級(jí)數(shù)求和等比級(jí)數(shù)為簡(jiǎn)單級(jí)數(shù)類型，通過(guò)比較各項(xiàng)得到其公比并運(yùn)用公式可求和.當(dāng)=1，；當(dāng)1，其中為首項(xiàng)，為公比.證明：當(dāng)=1，易得，當(dāng)1，-得.可以導(dǎo)出一種方法“錯(cuò)位相減”見下1.41

9、.4錯(cuò)位相減法此方法通常適用于等差與等比級(jí)數(shù)混合型，通過(guò)乘以等比級(jí)數(shù)公比，再與原級(jí)數(shù)四則運(yùn)算后化為等差或等比級(jí)數(shù)求和.例2：計(jì)算.解：，-得：，=3.1.5蘊(yùn)含型級(jí)數(shù)相消法此類型級(jí)數(shù)本身各項(xiàng)之間有蘊(yùn)含關(guān)系，通過(guò)觀察可知多項(xiàng)展開會(huì)相互之間相消部分項(xiàng)，從而化簡(jiǎn)級(jí)數(shù)求和.例3：計(jì)算.解：將各項(xiàng)展開可得：，所以.1.6有理化法求級(jí)數(shù)和對(duì)于一些級(jí)數(shù)通項(xiàng)含有分式根式的級(jí)數(shù)，我們可以仿照數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的方法“有理化”處理，以期達(dá)到能使得級(jí)數(shù)通項(xiàng)化簡(jiǎn)，最后整個(gè)級(jí)數(shù)都較容易求和.例4：計(jì)算.解：可以看出此級(jí)數(shù)含根式較多，因此嘗試運(yùn)用有理化的方法去處理，即通項(xiàng)，對(duì)其分母有理化得：，則原級(jí)數(shù)可以采用本文中的1.5“

10、蘊(yùn)含型級(jí)數(shù)相消法”，則可以快速求得級(jí)數(shù)和的極限為1.1.7方程式法此型級(jí)數(shù)通過(guò)一系列運(yùn)算能建立級(jí)數(shù)和的方程式，通過(guò)解方程求解級(jí)數(shù)和.準(zhǔn)確建立方程是關(guān)鍵問(wèn)題，方程類型不固定，有類似與微分方程之類的，故要視具體情況建立方程，解方程也要準(zhǔn)確，才能求出級(jí)數(shù)和.例5：計(jì)算，其中.解：記=兩邊同時(shí)乘以得即：解此方程得：.1.8原級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為子序列求和若下列條件成立1:（1）當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)（2）級(jí)數(shù)各項(xiàng)沒(méi)有破壞次序的情況而得新序列收斂于原級(jí)數(shù) .例6：計(jì)算.解：，應(yīng)用歐拉公式，其中為歐拉常數(shù)，.1.9數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)化為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)化為相應(yīng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，再通過(guò)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和，并賦予函數(shù)未知數(shù)相應(yīng)未知數(shù)后記得相

11、應(yīng)原級(jí)數(shù)的和.例7：求級(jí)數(shù)和.解：建立函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)由函數(shù)斂散性知識(shí)可知其收斂域?yàn)椋瑢⒑瘮?shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)可得：=，由此可知滿足微分方程，且易知，解此常微分方程得：，令則可以求出原級(jí)數(shù)和：. 1.10化數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為積分函數(shù)求原級(jí)數(shù)和將原級(jí)數(shù)通過(guò)化簡(jiǎn)，構(gòu)造積分極限式，從而轉(zhuǎn)化為積分求原級(jí)數(shù)和也不失為一種好方法，構(gòu)造積分式子是關(guān)鍵，一般原級(jí)數(shù)中通過(guò)四則運(yùn)算將與積分中的分割相聯(lián)系從而構(gòu)造分割，建立級(jí)數(shù)與積分式子的橋梁.例8：計(jì)算，其中.解：記.1.11三角型數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)系級(jí)數(shù)將三角型數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)域上的級(jí)數(shù)，由于復(fù)數(shù)的實(shí)部對(duì)應(yīng)于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為求復(fù)數(shù)系級(jí)數(shù)進(jìn)而求原級(jí)數(shù)和.例97：設(shè)，求.解：由

12、于，令為復(fù)數(shù)，其中，其中，得：而另一方面=+取實(shí)部對(duì)應(yīng)原級(jí)數(shù)和即得：即：當(dāng)，且時(shí). 1.12構(gòu)造函數(shù)計(jì)算級(jí)數(shù)和將級(jí)數(shù)各項(xiàng)轉(zhuǎn)化為其它函數(shù)式子化簡(jiǎn)級(jí)數(shù)并求原級(jí)數(shù)和，關(guān)鍵在于各項(xiàng)的化簡(jiǎn)函數(shù)是否基本統(tǒng)一，如何選擇函數(shù)式子才能有效化簡(jiǎn)，將級(jí)數(shù)參數(shù)化為函數(shù)式子中的未知數(shù)，并無(wú)一般的通用函數(shù)，選擇函數(shù)視具體情況而定，下面我們先看一個(gè)例子感受這種方法，并從中體會(huì)這種方法.例107：請(qǐng)計(jì)算下面的級(jí)數(shù)式子：記，其中.解：構(gòu)造函數(shù)式子：,此函數(shù)在單調(diào)遞減.由于，令，滿足=0，.代入題目中的級(jí)數(shù)式子得：=.1.13級(jí)數(shù)討論其子序列引理1：數(shù)列收斂的充分必要條件是的任一子序列都收斂且有相同的極限.特別的：數(shù)列收斂于的充

13、分必要條件是兩個(gè)互補(bǔ)的子列,收斂于同一極限.推廣可得：定理1：若級(jí)數(shù)通項(xiàng)滿足當(dāng)時(shí)，（收斂判別的必要條件），收斂于的充分必要條件是：部分和的一個(gè)子序列收斂于，其中滿足：是某個(gè)正整數(shù)=1，2，將級(jí)數(shù)分情況討論，化為多個(gè)子序列之和，利用原級(jí)數(shù)收斂則級(jí)數(shù)任意添加括號(hào)得到的級(jí)數(shù)和收斂于原級(jí)數(shù)和原理，通過(guò)求各個(gè)子序列之和求解原級(jí)數(shù)和，關(guān)鍵在于如何分解原級(jí)數(shù)為不同子序列，然而子序列相對(duì)于原級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō)易求些，這樣方法才行之有效，這和1.6的“原級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為子序列求和”是不同的.分情況討論在三角中討論角的大小我們已不陌生，下面我們就看一個(gè)這樣討論角的幅度的例題.例116：計(jì)算：.解：記，由級(jí)數(shù)斂散性知識(shí)可知，該級(jí)數(shù)

14、絕對(duì)收斂.按幅度角的討論將級(jí)數(shù)分解為：，.則：，所以：.1.14裂項(xiàng)法求級(jí)數(shù)和針對(duì)級(jí)數(shù)是分?jǐn)?shù)形式，且滿足分母為多項(xiàng)乘積形式，且各項(xiàng)之間相差一個(gè)相同的整數(shù)，裂項(xiàng)后各項(xiàng)就獨(dú)立出來(lái)，而原來(lái)各項(xiàng)之間相差整數(shù)則裂項(xiàng)后新級(jí)數(shù)等價(jià)于求解某一個(gè)級(jí)數(shù)，其余新級(jí)數(shù)照此可求出，從而原級(jí)數(shù)和可以求出.裂項(xiàng)一般形式：，此處.例12：計(jì)算.解:記，針對(duì)同理采用裂項(xiàng)法記則=，所以=. 1.15裂項(xiàng)+分拆組合法將裂項(xiàng)與分拆組合法合用在一起，運(yùn)用裂項(xiàng)法分拆級(jí)數(shù)，再將分拆重新組合級(jí)數(shù)，由新級(jí)數(shù)返回求原級(jí)數(shù)和.例13：計(jì)算.解：=.1.16夾逼法求解級(jí)數(shù)和在數(shù)學(xué)分析中運(yùn)用夾逼法則求解極限，在求極限和中我們也可以借鑒此方法，運(yùn)用兩個(gè)

15、級(jí)數(shù)逼近原級(jí)數(shù)，最后兩逼近級(jí)數(shù)和等于原級(jí)數(shù)和.例148：設(shè)為一給定的正整數(shù)，求.解：且時(shí)，且，所以，即2 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和依據(jù)未知數(shù)的而定，因此在收斂域內(nèi)尋找一個(gè)新函數(shù)去刻畫級(jí)數(shù)和.2.1方程式法類似于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)建立方程，通過(guò)方程求解求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和.例15：計(jì)算函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)解：由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性知識(shí)可知題中函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂半徑為，逐項(xiàng)求導(dǎo)得即：解此微分方程得：. 2.2積分型級(jí)數(shù)求和積分型級(jí)數(shù)求和顯然直接求和會(huì)帶來(lái)困難，通常積分也積不出來(lái)，所以要轉(zhuǎn)化，將積分式子化簡(jiǎn)是個(gè)想法，通過(guò)變量替換等積分技術(shù)化簡(jiǎn)積分式子，再求級(jí)數(shù)和，所以關(guān)鍵在于處理積分式子，下面我們看個(gè)例題.例16：計(jì)算

16、級(jí)數(shù).解：因?yàn)?，作變量替換得：再根據(jù)：得：=.所以原級(jí)數(shù)=. 2.3逐項(xiàng)求導(dǎo)求級(jí)數(shù)和根據(jù)冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)收斂半徑不變?cè)?，?duì)原級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后化為一些易求和的冪級(jí)數(shù)，再往回求積分，從而求原級(jí)數(shù)和.易知的級(jí)數(shù)往往是通過(guò)泰勒展式或者麥克勞林展式獲得的。泰勒定理1：若函數(shù)在的某領(lǐng)域內(nèi)存在階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則=，這里是拉格朗日余項(xiàng)即.設(shè)在區(qū)間內(nèi)等于它的泰勒級(jí)數(shù)的和的充要條件：對(duì)一切滿足不等式的，有，上式右邊稱為在處的泰勒展開式.由泰勒展開式可知右邊是個(gè)級(jí)數(shù)，而在求解級(jí)數(shù)時(shí)我們可以逆向來(lái)看，已知以級(jí)數(shù)和像求的方向行進(jìn)，找準(zhǔn)各階對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)形式，并按泰勒級(jí)數(shù)的樣子提煉出.但在實(shí)際應(yīng)用中在處的級(jí)數(shù)應(yīng)用較多，稱為麥克勞

17、林級(jí)數(shù).而由泰勒級(jí)數(shù)的定義可以將一些基本初等函數(shù)推導(dǎo)出來(lái)，再有基本初等函數(shù)推導(dǎo)復(fù)合函數(shù)的級(jí)數(shù)和形式，反過(guò)來(lái)即是求級(jí)數(shù)和.這也不失為一種求級(jí)數(shù)和的選擇.這中方式在前面函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和的過(guò)程中已經(jīng)有所運(yùn)用，在此總結(jié)是為了形成一種較為普遍的方法.即使是級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)積分法也是基于此理論基礎(chǔ)之上的.例17：求解.解：由萊布尼茨定理可以判斷此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，且收斂區(qū)間為-1,1,將級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)可得：(利用易知麥克勞林展式)再積分回去便得到級(jí)數(shù)和.2.4逐項(xiàng)積分求級(jí)數(shù)和通過(guò)級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分收斂半徑不變?cè)?，?duì)原級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分后化為一些易求的冪級(jí)數(shù)，再往回求導(dǎo)，可求出原級(jí)數(shù)和.例18：計(jì)算.解：記，對(duì)其逐項(xiàng)積分得：=，

18、其中，所以=. 2.5將原級(jí)數(shù)分解轉(zhuǎn)化為已知級(jí)數(shù)分解為已知在數(shù)學(xué)中是一種基本的技巧，通過(guò)轉(zhuǎn)化為我們所知道的知識(shí)解決原復(fù)雜問(wèn)題在很多地方都是個(gè)不錯(cuò)的想法，因此在解決級(jí)數(shù)和的問(wèn)題時(shí)我們也引入這思想.我們已知在冪級(jí)數(shù)中已知的麥克勞林展式有好幾個(gè)，我們要將這幾個(gè)基本初等函數(shù)的展式牢記于心，還要學(xué)會(huì)利用拉格朗日展式的角度逆向思考級(jí)數(shù)求和的問(wèn)題.我們簡(jiǎn)單的引入一個(gè)問(wèn)題來(lái)說(shuō)明這種方式，主要是引入這種思想.例19：計(jì)算.解：記，利用的麥克勞林展式得：=. 2.6利用傅立葉級(jí)數(shù)求級(jí)數(shù)和通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，并通過(guò)延拓的方式求此函數(shù)的傅立葉展式，再由收斂定理求解函數(shù)值即可求出原級(jí)數(shù)和，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確找出傅立葉函數(shù).例20：

19、計(jì)算.解：構(gòu)造傅立葉函數(shù)=,其中作偶延拓得: =,由此可知傅立葉系數(shù)為：，其中，（其中）.由狄利克雷收斂條件可知：，其中現(xiàn)在令得：，進(jìn)而可得：.說(shuō)明：有了以上結(jié)果數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的關(guān)于就可以套用公式了，如：利用2.6結(jié)果求解級(jí)數(shù)和，2.6的結(jié)果是一個(gè)很常用的級(jí)數(shù)和公式，因此我們可以直接拿來(lái)用.例21：計(jì)算，其中滿足.解：任意（0，1），記=，由魏爾斯特拉斯定理，因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂，所以題目中級(jí)數(shù)在（0，1）上一致收斂.，因?yàn)?，所以帶入上面式子可得?jí)數(shù)和為.2.7三角級(jí)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)求級(jí)數(shù)和三角函數(shù)與復(fù)數(shù)有天然的對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此將其化歸到復(fù)數(shù)域上再利用復(fù)數(shù)域知識(shí)求解，從而獲得原級(jí)數(shù)的和.例227：計(jì)算.解：由復(fù)數(shù)域

20、上冪級(jí)數(shù)的麥克勞林展式可知：，及，由，對(duì)應(yīng)實(shí)部得，其中，. 2.8利用三角公式化簡(jiǎn)級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)還可以利用三角公式化簡(jiǎn)三角級(jí)數(shù)，化簡(jiǎn)后的級(jí)數(shù)可能比原級(jí)數(shù)容易求解些，通常復(fù)雜級(jí)數(shù)求和都是要轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為能求和的方向.例23：計(jì)算.解：由三角函數(shù)的積化和差公式可知：原級(jí)數(shù)=，其中未知數(shù)滿足：. 2.9針對(duì)2.7的延伸在此對(duì)2.8的延伸，并不是意味著2.8是個(gè)通用的級(jí)數(shù)和式子，只是看見了另外的一個(gè)題可以運(yùn)用2.8，在此列出是為了表明在求級(jí)數(shù)和的過(guò)程中一些復(fù)雜級(jí)數(shù)可以由另外一些級(jí)數(shù)求和的，因此遇見復(fù)雜級(jí)數(shù)求和的時(shí)候要多注意平常積累的例子，想想平時(shí)有沒(méi)有遇見類似的級(jí)數(shù)求和問(wèn)題.例24：計(jì)算.解：令，由2.8

21、可知=其中未知數(shù)滿足，令，.有，由，當(dāng)時(shí)，有，于是.2.10添加項(xiàng)處理系數(shù)例25：計(jì)算，其中.解：令，當(dāng)時(shí)，=，其中，當(dāng):時(shí)，于是：.2.11應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算級(jí)數(shù)和定理8：若函數(shù)滿足以下兩個(gè)條件：（1）在復(fù)平面具有孤立奇點(diǎn)，且這些孤立奇點(diǎn)不為整數(shù)及，除去上述奇點(diǎn)外在其它各處都解析；（2）.證明：研究圍道積分又由函數(shù)滿足留數(shù)定理的條件，則根據(jù)定理我們可以得到如下的等式： （1）由引理，csc()在上有界，即存在，使得|.于是，兩邊取極限得即：，所以，對(duì)（1）式取極限得到0=.所以.證明完畢.結(jié)論的應(yīng)用：例268：求級(jí)數(shù)（不為0）的和.解：令，當(dāng)不為零時(shí)，滿足定理的兩個(gè)條件，那么.即：，當(dāng)趨近于零時(shí)，將上式變形可得：容易證得等式左邊的兩個(gè)級(jí)數(shù)是收斂的.故上式兩端取極限可得上述級(jí)數(shù)和,2.12利用函數(shù)求級(jí)數(shù)和定理16 設(shè)為自然數(shù)，為實(shí)數(shù)，且，則.定理2 6 設(shè)