天一專升本高數(shù)知識(shí)點(diǎn)

1、第一講函數(shù)、極限、連續(xù)1、基本初等函數(shù)的定義域、值域、圖像，尤其是圖像包含了函數(shù)的所有信息。2、函數(shù)的性質(zhì)，奇偶性、有界性奇函數(shù)：f( X)f(X)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。偶函數(shù)：f( X) f (x)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱3、無(wú)窮小量、無(wú)窮大量、階的比較設(shè)a, B是自變量同一變化過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小量，則a -(1)若 lim 0,則a是比B高階的無(wú)窮小量。a(2)若 lim c(不為0),則a與B是同階無(wú)窮小量特別地，若lim1，則a與B是等價(jià)無(wú)窮小量a(3)右 lim，則a與B是低階無(wú)窮小量記憶方法：看誰(shuí)趨向于4、兩個(gè)重要極限0的速度快，誰(shuí)就趨向于 0的本領(lǐng)高。(1)sinx lim x 0 xl

2、imx1°sin x(2)使用方法:拼湊0，一定保證拼湊sin后面和分母保持一致lim 1Xlim(1x 01x)x使用方法后面定是一個(gè)無(wú)窮小量并且和指數(shù)互為倒數(shù)，不滿足條件得拼湊。XXEQmmH X,nn%-booPn x的最高次幕是n,Qm x的最高次幕是 m.,只比較最高次幕，誰(shuí)的次幕高，誰(shuí)的頭大，趨向于無(wú)窮大的速度快。n m,以相同的比例趨向于無(wú)窮大；n m，分母以更快的速度趨向于無(wú)窮大；n m，分子以更快的速度趨向于無(wú)窮大。7、左右極限左極限：lim f (x) AX x0右極限：lim f(x) Ax X0注：此條件主要應(yīng)用在分段函數(shù)分段點(diǎn)處的極限求解。8連續(xù)、間斷連續(xù)的

3、定義:lim yx 0lim f (x0x 0x)f(X。)或 xif f(X0)間斷：使得連續(xù)定義lim f (x) f (x0)無(wú)法成立的三種情況x x0記憶方法：1右邊不存在 2、左邊不存在 3、左右都存在，但不相等9、間斷點(diǎn)類型(1 )、第二類間斷點(diǎn)：lim f (x)、lim f(x)至少有一個(gè)不存在X §X x0(2)、第一類間斷點(diǎn)：lim f (x)、lim f(x)都存在XX)x X0注：在應(yīng)用時(shí)，先判斷是不是“第二類間斷點(diǎn)”，左右只要有一個(gè)不存在，就是"第二類”然后再判斷是不是第一類間斷點(diǎn)；左右相等是“可去”，左右不等是“跳躍”10、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

4、(1)最值定理：如果 f(x)在a,b上連續(xù)，則f (x)在a,b上必有最大值最小值。(2)零點(diǎn)定理：如果f (x)在 a,b 上連續(xù)，且 f (a) f (b)0，則 f (x)在 a,b內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得f ()第三講 中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1、羅爾定理如果函數(shù)y f(x則在(a,b)內(nèi)至少存在記憶方法：腦海里記著2、拉格朗日定理滿足:使得f ( )0占八、(1).在閉區(qū)間 a,b上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；(3)f (a)f(b)，如果y f(x) 滿足(1)在閉區(qū)間(2)在開區(qū)間則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)腦海里記著一幅圖:a, b上連續(xù)，使得(*)推論1 :如果函f (x

5、)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f (x)0，那么在(a, b)內(nèi) f (x)=c 恒為常數(shù)。記憶方法：只有常量函數(shù)在每一點(diǎn)的切線斜率都為0。(a,b),(*)推論2 :如果 f (x),g(x) 在a, b上連續(xù)，在開區(qū)間 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo)，且 f (x) g(x),x那么 f(x) g(x) c記憶方法：兩條曲線在每一點(diǎn)切線斜率都相等3、駐點(diǎn)滿足f(X)0的點(diǎn)，稱為函數(shù)f(X)的駐點(diǎn)。幾何意義：切線斜率為 0的點(diǎn)，過(guò)此點(diǎn)切線為水平線4、極值的概念設(shè)f(X)在點(diǎn)X0的某鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于該鄰域內(nèi)的任一點(diǎn) f ( x)的極大值，Xo稱為極大值點(diǎn)。X,有 f(X) f

6、(Xo)， 則稱 f (Xo) 為函數(shù)X,有f (X)f (Xo)，則稱f (Xo)為函數(shù)f ( X)的極小值，Xo稱為極小值點(diǎn)。設(shè)f (x)在點(diǎn)Xo的某鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于該鄰域內(nèi)的任一點(diǎn)記憶方法：在圖像上，波峰的頂點(diǎn)為極大值，波谷的谷底為極小值。5、拐點(diǎn)的概念連續(xù)曲線上，凸的曲線弧與凹的曲線弧的分界點(diǎn)，稱為曲線的拐點(diǎn)。注y X3在原點(diǎn)即1是拐點(diǎn)/6、單調(diào)性的判定定理設(shè)f (x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，如果f (x) o，則f(X)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加;如果f (x) o,則f (x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)減少。記憶方法：在圖像上凡是和右手向上趨勢(shì)吻合的，是單調(diào)增加，f (x) o ；在圖像上凡

7、是和左手向上趨勢(shì)吻合的，是單調(diào)減少，f (x) o ；7、取得極值的必要條件可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)Xo處取得極值的必要條件是f(X。) o8取得極值的充分條件第一充分條件：設(shè)f (x)在點(diǎn)xo的某空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且 f (x)在xo處連續(xù)，則(1)如果XXo時(shí)，f (X)o； xXo時(shí)，f (X)o,那么f (x)在Xo處取得極大值f (Xo)；(2)如果XXo時(shí)，f (X)o ； xX。時(shí),f (X)o，那么f (x)在Xo處取得極小值f(Xo)；(3)如果在點(diǎn)Xo的兩側(cè)，f(x)同號(hào),那么f ( X)在Xo處沒(méi)有取得極值；記憶方法：在腦海里只需記三副圖，波峰的頂點(diǎn)為極大值，波谷的谷底為極小值

8、。第二充分條件：1設(shè)函數(shù)f (x)在點(diǎn)Xo的某鄰域內(nèi)具有一階、二階導(dǎo)數(shù)，且f (xo) o， f (xo) o則 (1)如果f (xo) o，那么f (x)在xo處取得極大值f (xo)；(2)如果f (Xo) o,那么f (x)在Xo處取得極小值f (Xo)9、凹凸性的判定設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，(1)如果f (x)0,x(a,b)，那么曲線f(x)在(a,b)內(nèi)凹的;(2)如果 f (x)0, x (a,b)，那么 f (x)在(a,b)內(nèi)凸的。10、圖像表現(xiàn)：漸近線的概念*曲線f(x)在伸向無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí)，能夠逐步逼近的直線，稱為曲線的漸近線。(1) 水平漸近線：若lim

9、f (x) A,則y f (x)有水平漸近線y A(2) 垂直漸近線：若存在點(diǎn) x0, lim f(x) ，則y f (x)有垂直漸近線x x0xf (x)(2)求斜漸近線：若lima,lim f (x) ax b，則y ax b為其斜漸近線。x x x11、洛必達(dá)法則遇到“ 0”、“一”，就分子分母分別求導(dǎo)，直至求出極限。017moh17X/.Vffxo如果遇到幕指函數(shù),需用f(x)八把函數(shù)變成“0”、“第二講導(dǎo)數(shù)與微分1、導(dǎo)數(shù)的定義("、f(X。)limx 0y lim f (x0x)x 0f (x0)0注：使用時(shí)務(wù)必保證 Xo后面和分母保持一致，不一致就拼湊。2、 導(dǎo)數(shù)幾何意義

10、：f(Xo)在x Xo處切線斜率法線表示垂直于切線，法線斜率與f (x0)乘積為一13、導(dǎo)數(shù)的公式，記憶的時(shí)候不僅要從左到右記憶，還要從右到左記憶。4、求導(dǎo)方法總結(jié)(1 )、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則(2 )、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：y f x是由y f (u)與u (x)復(fù)合而成，貝y(3 )、隱函數(shù)求導(dǎo)對(duì)于F(x, y) 0，遇到y(tǒng),把y當(dāng)成中間變量u,然后利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法。(4)、參數(shù)方程求導(dǎo)設(shè)()確定一可導(dǎo)函數(shù) ydyf (x)，則或dt(t)y (t)dxdx(t)dt(5)、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法先對(duì)等號(hào)兩邊取對(duì)數(shù)，再對(duì)等號(hào)兩邊分別求導(dǎo)(6 )、幕指函數(shù)求導(dǎo)v(x)InaIn u(x)v(x)y e幕指函數(shù)

11、y u(x)，利用公式a ev(x) In u (x)e然后利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法對(duì)指數(shù)單獨(dú)求導(dǎo)即可。第二種方法可使用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，先對(duì)等號(hào)兩邊取對(duì)數(shù)，再對(duì)等號(hào)兩邊分別求導(dǎo) 注：優(yōu)選選擇第二種方法。5、高階導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)f(X)多次求導(dǎo)，直至求出。6、微分記憶方法：微分公式本質(zhì)上就是求導(dǎo)公式，后面加dx，不需要單獨(dú)記憶。7、可微、可導(dǎo)、連續(xù)之間的關(guān)系 可微 可導(dǎo)可導(dǎo)連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)8 可導(dǎo)與連續(xù)的區(qū)別。腦海里記憶兩幅圖(2)y x在x=o只連續(xù)但不可導(dǎo)。第四講不定積分(1)2y x在x=o既連續(xù)又可導(dǎo)。所以可導(dǎo)比連續(xù)的要求更高。一、原函數(shù)與不定積分1、原函數(shù)：若F (x) f (x)，則F(x)

12、為f (x)的一個(gè)原函數(shù);2、不定積分：f (x)的所有原函數(shù)F(x)+c叫做f(x)的不定積分，記作f (x)dx F(x) C二、不定積分公式記憶方法：求導(dǎo)公式反著記就是不定積分公式三、不定積分的重要性質(zhì)1、f (x)dxf (x)或d f (x)dx f (x)dx2、f (x)dx f (x) c注：求導(dǎo)與求不定積分互為逆運(yùn)算。四、積分方法1、基本積分公式2、第一換元積分法(湊微分法)把求導(dǎo)公式反著看就是湊微分的方法，所以不需要單獨(dú)記憶。3、第二換元積分法2 a2x令xa si ntf 2三角代換.x2 a令xa sect1 2x2 a令xata nt三角代換主要使用兩個(gè)三角公式：si

13、n2t cos2t 1,1 tan2t sec t4、分部積分法udvuvvdu第五講定積分1、定積分定義bf(x)dxanlimx 0 i 1f( i)Xi如果f(x)在a,b上連續(xù)，則f (x)在a, b上一定可積。理解：既然在閉區(qū)間上連續(xù)，那么在閉區(qū)間上形成的就是一個(gè)封閉的曲邊梯形，面積存在所以一定可積，因?yàn)?面積是常數(shù)，所以定積分如果可積也是常數(shù)。2、定積分的幾何意義(I) 如果f (x)在a,b上連續(xù)，且f(x)f (x)dx表示由f (x), x a,x b,x軸所圍成的b曲邊梯形的面積。s= f (x)dx。(2) 如果f (x)在a, b上連續(xù)，且f(x)S=f (x)dx。3

14、、定積分的性質(zhì)：bb(i)akf (x)dx k a f (x)dxbag(x)dxbba f (x) g(x)dx= a f(x)dx(3)ba f(x)dxcba f (x)dx c g(x)dx(4)b1dx ba(5)如果f (x)aa a f (x)dx 0bg(x)，則 f (x)dxaab f(x)dxbag(x)dxba f (x)dx大長(zhǎng)方形面積如果f (x)在a,b上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)ba,b，使得 a f(x)dx f ( )(b a)(6)設(shè)m,M分別是 f(x) 在 a,b 的 min, max,則m記憶：小長(zhǎng)方形面積(7)積分中值定理記憶：總可以找到一個(gè)適當(dāng)?shù)奈恢?/p>

15、，把凸出來(lái)的部分切下，剁成粉末，填平在凹下去的部分使曲邊梯形變 成一個(gè)長(zhǎng)方形。稱一 b f (x)dx為f (x)在a,b上的平均值。 b a a4、積分的計(jì)算(1)、變上限的定積分注：由此可看出來(lái)(x)f (t)dt是f (x)的一個(gè)原函數(shù)。而且變上限的定積分的自變量只有a一個(gè)是x而不是t(2)、牛頓一萊布尼茲公式設(shè)f (x)在a,b上連續(xù)，F(xiàn) (x)是f (x)的一個(gè)原函數(shù),b則 a f(x)dxF(x)a F(b) F(a)5、由牛頓公式可以看出，求定積分，本質(zhì)上就是求不定積分， 只不過(guò)又多出一步代入積分上下限，所以求定積分也有四種方法。 奇函數(shù)、偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的定積分(1)、若f

16、(x)在 a,a上為奇函數(shù)，則aa f(x)(2)、若f(x)在 a,a上為偶函數(shù)，則aa f(x)f (x)dx注：此方法只適用于對(duì)稱區(qū)間上的定積分。6、廣義積分(1) 無(wú)窮積分7、旋轉(zhuǎn)體體積a,b上的定積分。yy:vxVx(y)2f(x) dx2dy2(y)g2(x)dx2(y)dy(二八 直線與平面的相關(guān)考試內(nèi)容、二元函數(shù)的極限定義：設(shè)函數(shù)z f (x, y)在點(diǎn)(xo,y。)某鄰域有定義(但(Xo,y。)點(diǎn)可以除外)，如果當(dāng)點(diǎn)(x,y)無(wú)論沿著任何途徑趨向于(x。)時(shí)，z f (x, y)都無(wú)限接近于唯一確定的常數(shù)a，則稱當(dāng)點(diǎn)(x, y)趨向于(x。)時(shí)，z f (x, y)以a為極限

17、，記為、二元函數(shù)的連續(xù)性若 lim f (x, y)f(x),y。)，則稱 z f (x, y)在點(diǎn)(x°,y。)連續(xù)。(x,y) (xo ,yo)注：z f (x, y)的不連續(xù)點(diǎn)叫函數(shù)的間斷點(diǎn)，二元函數(shù)的間斷點(diǎn)可能是一些離散點(diǎn)，也可能是一條或多條曲線。三、二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)四、偏導(dǎo)數(shù)求法由偏導(dǎo)數(shù)定義可看出，對(duì)哪個(gè)變量求偏導(dǎo)就只把哪個(gè)變量當(dāng)成自變量，其它的變量都當(dāng)成常數(shù)看待。五、全微分：dz dx dyx y六、二元函數(shù)的連續(xù)、偏導(dǎo)、可微之間的關(guān)系二元函數(shù)可微，則必連續(xù)，可偏導(dǎo)，但反之不一定成立。 若偏導(dǎo)存在且連續(xù)，則一定可微。函數(shù)z f (x, y)的偏導(dǎo)存在與否，與函數(shù)是否連續(xù)毫

18、無(wú)關(guān)系。七、二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)設(shè)zf (u,v),u(x, y),v(x, y)，zz uz vzz uz v則xu xv xyu yv y注：有幾個(gè)中間變量就處理幾次，按照復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)處理。八、隱函數(shù)求偏導(dǎo)方程F(x,y,z)。確定的隱函數(shù)為 zf (x, y)，則對(duì)等號(hào)兩邊同時(shí)對(duì) x求導(dǎo)，遇到z的函數(shù)，把z當(dāng)成中間變量。二重積分的概念、性質(zhì)第八講多元函數(shù)積分學(xué)知識(shí)點(diǎn)1、 f(x,y)dxdyDmoHd/.V f，幾何意義：代表由 f (x, y)，d圍成的曲頂柱體體積。2、性質(zhì)：(1) kf (x, y)dxdy k f (x, y)dxdyDD(2) f (x,y) g(x, y) dx

19、dy= f (x, y)dxdy+ g(x, y)dxdyDDD(3)、dxdy D(4)D D1D2, f(x,y)dxdy= f (x, y)dxdy + f (x, y)dxdyDDD2(5) 若 f (x, y) g(x,y)，則 f(x,y)dxdy g(x,y)dxdyDD(6) 若 m f (x, y) M ,則 mD f (x,y)dxdy MDD設(shè)f (x, y)在區(qū)域d上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)(，)D，使 f(x, y)dxdy f ( , )DD、計(jì)算(1) d： a x b, 1(x) y 2(x)(2) D: c y d, 1(y) x2(y),技巧：“誰(shuí)”的范圍最容易確定就先確定“誰(shuí)”的范圍，然后通過(guò)劃水平線和 垂直線的方法確定另一個(gè)變量的范圍(3)極坐標(biāo)下： x rcos ,y rsin ,dxdy rdrd三、曲線積分1、第一型曲線積分的計(jì)算(1)若積分路徑為 L: y(x),a x b，則b；2-Lf(x,y)ds= a f(x, (x) .1( (x) dx(2)若積分路徑為 L :x(y),c y d,則dl f(x,y)ds= cf(y), y) 1 ( (y)2dyx(t),(3