利用軸對(duì)稱求最短距離問題

1、精選文檔利用軸對(duì)稱求最短距離問題基本題引入:如圖（1），要在公路道a上修建一個(gè)加油站，有，兩人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，可使兩人到加油站的總路程最短？你可以在a上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)試一試,能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?a·A·B圖1·A·Ba·AM圖2·A·Ba·AMN圖3思路分析：如圖2，我們可以把公路a近似看成一條直線，問題就是要在a上找一點(diǎn)M，使AM與BM的和最小。設(shè)A是A的對(duì)稱點(diǎn)，本問題也就是要使AM與BM的和最小。在連接AB的線中，線段AB最短。因此，線段AB與直線a的交點(diǎn)C的位置即為所求。如圖3，為了證明點(diǎn)C

2、的位置即為所求，我們不妨在直線a上另外任取一點(diǎn)N，連接AN、BN、AN。因?yàn)橹本€a是A，A的對(duì)稱軸，點(diǎn)M,N在a上，所以AM= AM,AN= AN。AM+BM= AM+BM= AB在ABN中，ABAN+BNAM+BMAN+BN即AM+BM最小。點(diǎn)評(píng)：經(jīng)過復(fù)習(xí)學(xué)生恍然大悟、面露微笑，不一會(huì)不少學(xué)生就利用軸對(duì)稱知識(shí)將上一道中考題解決了。思路如下：BC9（定值），PBC的周長最小，就是PBPC最小.由題意可知，點(diǎn)C關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)A，顯然當(dāng)P、A、B三點(diǎn)共線時(shí)PBPA最小.此時(shí)DPDE，PBPAAB.由ADFFAE，DFAACB90°，得DAFABC. EFBC，得AEBEAB，E

3、F.AFBCADAB，即69AD15.AD10. RtADF中，AD10，AF6，DF8.DEDFFE8.當(dāng)x時(shí)，PBC的周長最小， y值略。數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)告訴我們：教師要充分關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，合理組織教學(xué)內(nèi)容，建立科學(xué)的訓(xùn)練系統(tǒng)。使學(xué)生不僅獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，更要獲得數(shù)學(xué)思想和觀念，形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。同時(shí)每年的中考題也千變?nèi)f化，為了提高學(xué)生的應(yīng)對(duì)能力，除了進(jìn)行專題訓(xùn)練外，還要多歸納多總結(jié)，將一類問題集中呈現(xiàn)給學(xué)生。一、 兩條直線間的對(duì)稱題目1 如圖，在曠野上，一個(gè)人騎馬從A出發(fā)，他欲將馬引到河a1飲水后再到a2飲水，然后返回A地，問他應(yīng)該怎樣走才能使總路程最

4、短。點(diǎn)評(píng)：這道題學(xué)生拿到時(shí)往往無從下手。但只要把握軸對(duì)稱的性質(zhì)就能迎刃而解了。作法：過點(diǎn)A作a1的對(duì)稱點(diǎn)A，作a2的對(duì)稱點(diǎn)A,連接AA交a1、a2于B、C,連接BC.所經(jīng)過路線如圖5： A-B-C-A,所走的總路程為AA。ACBEDBCa1a2AAA第1題圖第2題圖二、三角形中的對(duì)稱題目2 如圖,在ABC中,AC=BC=2,ACB=90°,D是BC邊上的中點(diǎn),E是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn),則EC+ED的最小值是_點(diǎn)評(píng)：本題只要把點(diǎn)C、D看成基本題中的、兩鎮(zhèn)，把線段AB看成燃?xì)夤艿繿，問題就可以迎刃而解了，本題只是改變了題目背景，所考察的知識(shí)點(diǎn)并沒有改變。三、四邊形中的對(duì)稱題目3 如圖，正方形

5、ABCD的邊長為8， M在DC上，且DM=2,N是AC上的動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小值為多少？點(diǎn)評(píng)：此題也是運(yùn)用到正方形是軸對(duì)稱圖形這一特殊性質(zhì)，點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)正好是點(diǎn)B，最小值為MB10。MADBCN第3題圖第4題圖四、圓中的對(duì)稱題目4 已知：如圖，已知點(diǎn)A是O上的一個(gè)六等分點(diǎn)，點(diǎn)B是弧AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P是半徑ON上的動(dòng)點(diǎn)，若O的半徑長為1，求AP+BP的最小值。EFGBAC·BH點(diǎn)評(píng)：這道題也運(yùn)用了圓的對(duì)稱性這一特殊性質(zhì)。點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)B在圓上，AB交ON于點(diǎn)p,由AON60°, BON30°，AOB90°，半徑長為1可得AB。當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)p時(shí)

6、，此時(shí)AP+BP有最小值為 hAB第5題圖1第5題圖2五、立體圖形中的對(duì)稱題目5 如圖1是一個(gè)沒有上蓋的圓柱形食品盒，一只螞蟻在盒外表面的A處，它想吃到盒內(nèi)表面對(duì)側(cè)中點(diǎn)B處的食物，已知盒高h(yuǎn)10cm，底面圓的周長為32cm，A距離下底面3cm請(qǐng)你幫小螞蟻算一算，為了吃到食物，它爬行的最短路程為 cm點(diǎn)評(píng)：如圖2，此題是一道立體圖形問題需要轉(zhuǎn)化成平面問題來解決，將圓柱的側(cè)面展開得矩形EFGH,作出點(diǎn)B關(guān)于EH的對(duì)稱點(diǎn)B,作ACGH于點(diǎn)C,連接A B。在RtA BC中，AC16, BC12,求得A B20，則螞蟻爬行的最短路程為20cm。通過變式訓(xùn)練既解決了一類問題，又歸納出了最本質(zhì)的東西，以后學(xué)

7、生再碰到類似問題時(shí)學(xué)生就不會(huì)不知所措。同時(shí)變式訓(xùn)練培養(yǎng)了學(xué)生思維的積極性和深刻性，發(fā)展了學(xué)生的應(yīng)變能力。綜上所述，引導(dǎo)學(xué)生在熟練掌握書本例題、習(xí)題的基礎(chǔ)上，進(jìn)行科學(xué)的變式訓(xùn)練，對(duì)鞏固基礎(chǔ)、提高能力有著至關(guān)重要的作用。更重要的是，變式訓(xùn)練能培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的求異思維、發(fā)散思維、逆向思維，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生全方位、多角度思考問題的能力，有助于提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。題目6 長方體問題 如圖，一只螞蟻從實(shí)心長方體的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿長方體的表面爬到對(duì)角頂點(diǎn)C1處（三條棱長如圖所示），問怎樣走路線最短？最短路線長為多少？析：展開圖如圖所示， 路線1即為所求。長、寬、高中，較短的兩條邊的和作為一條直角邊，

8、最長的邊作為另一條直角邊， 斜邊長即為最短路線長。由學(xué)生引申總結(jié)以下14：1、 已知：如圖，A、B兩點(diǎn)在直線的同側(cè)，點(diǎn)與A關(guān)于直線對(duì)稱，連結(jié)交于P點(diǎn)，若=a，（1）求AP+PB；（2）若點(diǎn)M是直線上異于P點(diǎn)的任意一點(diǎn)，求證：.2、 已知：A、B兩點(diǎn)在直線的同側(cè)，試分別畫出符合條件的點(diǎn)M。（1） 在上求作一點(diǎn)M，使得最?。唬?） 在上求作一點(diǎn)M，使得最大；（3） 在上求作一點(diǎn)M，使得AM+BM最小。3、 如圖，AD為BAC的平分線，DEAB于E，DFAC于F，那么點(diǎn)E、F是否關(guān)于AD對(duì)稱？若對(duì)稱，請(qǐng)說明理由。4、 已知：如圖，點(diǎn)分別是P點(diǎn)關(guān)于ABC的兩邊BA、BC的對(duì)稱點(diǎn)，連接，分別交BA、BC邊于E、D點(diǎn)，若=m，（1） 求PDE的周長；（2）若M是BA邊上異于E的一點(diǎn)，N是BC邊上異于D的一點(diǎn)，求證：PMN的周長PDE的周長。軸對(duì)稱在本題中的主要作用是將線段在保證長度不變的情況下改變位置，要注意體會(huì)軸對(duì)稱在這方面的應(yīng)用。以此作為模型我們可以解決下列求最小值的問題。5. 如圖，菱形ABCD中，AB=2，BAD=60°，E是AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值是_。分析：首先分解此圖形，構(gòu)建如圖5模型，因?yàn)镋、