系統(tǒng)穩(wěn)定性意義以及穩(wěn)定性的幾種定義

1、系統(tǒng)穩(wěn)定性意義以及穩(wěn)定性的幾種定義1、 引言：研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性之前，我們首先要對(duì)系統(tǒng)的概念有初步的認(rèn)識(shí)。在數(shù)字信號(hào)處理的理論中，人們把能加工、變換數(shù)字信號(hào)的實(shí)體稱(chēng)作系統(tǒng)。由于處理數(shù)字信號(hào)的系統(tǒng)是在指定的時(shí)刻或時(shí)序?qū)π盘?hào)進(jìn)行加工運(yùn)算，所以這種系統(tǒng)被看作是離散時(shí)間的，也可以用基于時(shí)間的語(yǔ)言、表格、公式、波形等四種方法來(lái)描述。從抽象的意義來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)和信號(hào)都可以看作是序列。但是，系統(tǒng)是加工信號(hào)的機(jī)構(gòu)，這點(diǎn)與信號(hào)是不同的。人們研究系統(tǒng)還要設(shè)計(jì)系統(tǒng)，利用系統(tǒng)加工信號(hào)、服務(wù)人類(lèi)，系統(tǒng)還需要其它方法進(jìn)一步描述。描述系統(tǒng)的方法還有符號(hào)、單位脈沖響應(yīng)、差分方程和圖形。電路系統(tǒng)的穩(wěn)定性是電路系統(tǒng)的一個(gè)重要問(wèn)題，穩(wěn)定

2、是控制系統(tǒng)提出的基本要求，也保證電路工作的基本條件；不穩(wěn)定系統(tǒng)不具備調(diào)節(jié)能力，也不能正常工作，穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身性之一，系統(tǒng)是否穩(wěn)定與激勵(lì)信號(hào)的情況無(wú)關(guān)。對(duì)于線性系統(tǒng)來(lái)說(shuō)可以用幾點(diǎn)分布來(lái)判斷，也可以用勞斯穩(wěn)定性判據(jù)分析。對(duì)于非線性系統(tǒng)的分析則比較復(fù)雜，勞斯穩(wěn)定性判據(jù)和奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)受到一定的局限性。二、穩(wěn)定性定義：1、是指系統(tǒng)受到擾動(dòng)作用偏離平衡狀態(tài)后，當(dāng)擾動(dòng)消失，系統(tǒng)經(jīng)過(guò)自身調(diào)節(jié)能否以一定的準(zhǔn)確度恢復(fù)到原平衡狀態(tài)的性能。若當(dāng)擾動(dòng)消失后，系統(tǒng)能逐漸恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)，則稱(chēng)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則稱(chēng)系統(tǒng)為不穩(wěn)定。穩(wěn)定性又分為絕對(duì)穩(wěn)定性和相對(duì)穩(wěn)定性。絕對(duì)穩(wěn)定性。如果控制系統(tǒng)沒(méi)有受到任何擾動(dòng)，同時(shí)也沒(méi)

3、有輸入信號(hào)的作用，系統(tǒng)的輸出量保持在某一狀態(tài)上，則控制系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。（1）如果線性系統(tǒng)在初始條件的作用下，其輸出量最終返回它的平衡狀態(tài)，那么這種系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（2）如果線性系統(tǒng)的輸出量呈現(xiàn)持續(xù)不斷的等幅振蕩過(guò)程，則稱(chēng)其為臨界穩(wěn)定。（臨界穩(wěn)定狀態(tài)按李雅普洛夫的定義屬于穩(wěn)定的狀態(tài)，但由于系統(tǒng)參數(shù)變化等原因，實(shí)際上等幅振蕩不能維持，系統(tǒng)總會(huì)由于某些因素導(dǎo)致不穩(wěn)定。因此從工程應(yīng)用的角度來(lái)看，臨界穩(wěn)定屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)，或稱(chēng)工程意義上的不穩(wěn)定。）（3）如果系統(tǒng)在初始條件作用下，其輸出量無(wú)限制地偏離其平衡狀態(tài)，這稱(chēng)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。實(shí)際上，物理系統(tǒng)的輸出量只能增大到一定范圍，此后或者受到機(jī)械制動(dòng)裝置的限制，

4、或者系統(tǒng)遭到破壞，也可以當(dāng)輸出量超過(guò)一定數(shù)值后，系統(tǒng)變成非線性的，從而使線性微分方程不再適用。因此，絕對(duì)穩(wěn)定性是系統(tǒng)能夠正常工作的前提。相對(duì)穩(wěn)定性。除了絕對(duì)穩(wěn)定性外，還需要考慮系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，即穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。因?yàn)槲锢砜刂葡到y(tǒng)包括一些儲(chǔ)能元件，所以當(dāng)輸入量作用于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)的輸出量不能立即跟隨輸入量的變化，而是在系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)之前，它的瞬態(tài)響應(yīng)常常表現(xiàn)為阻尼振蕩過(guò)程。在穩(wěn)態(tài)時(shí)，如果系統(tǒng)的輸出量與輸入量不能完全吻合，則稱(chēng)系統(tǒng)具有穩(wěn)態(tài)誤差。2、一個(gè)系統(tǒng)對(duì)任意有界的輸入，其零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，則該系統(tǒng)稱(chēng)為有界輸入有界輸出穩(wěn)定系統(tǒng)。即設(shè)Mt，My為正實(shí)常數(shù)，如果系統(tǒng)對(duì)于所有的激勵(lì)|f（t）<

5、;=Mt，其零狀態(tài)響應(yīng)為|y（t）|<=My則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對(duì)于不穩(wěn)定系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，不能斷言其輸出幅值為有界。3、線性系統(tǒng)在初始條件為零時(shí)，輸入理想單位脈沖函數(shù)(t)，這時(shí)系統(tǒng)的輸入稱(chēng)為單位脈沖響應(yīng)。若線性系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)隨時(shí)間趨于零，則系統(tǒng)穩(wěn)定。若趨于無(wú)窮，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。若趨于常數(shù)或者等幅振蕩，這時(shí)趨于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。一般反饋系統(tǒng)如圖，此時(shí)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，系統(tǒng)的特征方程為1+G(s)H(s)=0,如果特征根落在s復(fù)平面的左半部分，系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。證明：系統(tǒng)輸入理想單位脈沖函數(shù)(t)，它的Laplace變換函數(shù)等于1，所以系統(tǒng)輸出的Laplace變換為，式中，si（i=1,2，.,n）

6、為系統(tǒng)特征方程的根，也就是系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。設(shè)n個(gè)特征根彼此不等，并將上式分解成部分分式之和的形式，即，式中，ci（i=1,2,n）待定系數(shù)，其值可由Laplace變換方法確定。對(duì)上式進(jìn)行Laplace反變換，得到系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)為。可以看出，要滿足條件，只有當(dāng)系統(tǒng)的特征根全部具有負(fù)實(shí)部方能實(shí)現(xiàn)。因此，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)的特征方程根必須全部具有負(fù)實(shí)部。反之，若特征根中有一個(gè)以上具有正式部時(shí)，則系統(tǒng)必為不穩(wěn)定?；蛘哒f(shuō)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)全部位于s復(fù)平面的左半部。若有部分閉環(huán)極點(diǎn)位于虛軸上，而其余極點(diǎn)全部在s平面左半部時(shí)，便會(huì)出現(xiàn)臨界穩(wěn)定狀態(tài)。三、穩(wěn)定性分析：【本文僅

7、分析線性時(shí)不變(LTI)電路的穩(wěn)定性。判斷一個(gè)系統(tǒng)是否穩(wěn)定可以從時(shí)域或復(fù)頻域兩方面進(jìn)行討論 。本文不對(duì)含受控源電路的穩(wěn)定性進(jìn)行分析】例1：對(duì)因果系統(tǒng)，只要判斷H(s)的極點(diǎn)，即A(s)=0的根（稱(chēng)為系統(tǒng)特征根）是否都在左半平面上，即可判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，不必知道極點(diǎn)的確切值。 某線性時(shí)不變電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為 ，當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)e(f)時(shí)，電路零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)為 用留數(shù)法解得。考慮到0.0002<<1，取上式的拉普拉斯逆變換，。上式中的前兩項(xiàng)是衰減函數(shù)，第三項(xiàng)，當(dāng)t較小時(shí)，可忽略不計(jì)，但是當(dāng)t較大時(shí)，這個(gè)正指數(shù)項(xiàng)超過(guò)其他兩項(xiàng)并隨著 的增長(zhǎng)而不斷增大，則電路不穩(wěn)定。實(shí)際的電路系統(tǒng)不會(huì)

8、完全是線性的，這樣，很大的信號(hào)將使設(shè)備工作在非線性部分，不僅使系統(tǒng)不能正常工作，有時(shí)還會(huì)發(fā)生損壞和危險(xiǎn)。簡(jiǎn)單電路分析：作出運(yùn)算電路圖如圖2，其網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為令分母，其根即為該網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)。解得當(dāng)電路參數(shù)變化時(shí)，上式會(huì)有四種形式及相應(yīng)的電路變化： 當(dāng)時(shí)，Pl,2如上式，是兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根，響應(yīng)的自由分量由兩個(gè)衰減的指數(shù)函數(shù)組成，屬于過(guò)阻尼振蕩。 當(dāng)時(shí)，此時(shí)有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根，屬于臨界阻尼振蕩。當(dāng)時(shí)，上式可寫(xiě)為：，是實(shí)部為負(fù)的兩個(gè)共軛復(fù)根，響應(yīng)的自由分量是一個(gè)衰減的正弦函數(shù)，屬于欠阻尼振蕩。 當(dāng)Rp=時(shí)，為兩個(gè)共軛虛數(shù)根，響應(yīng)為等幅振蕩。以上前三種形式其網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)均在s平面的左半平面，第四種形

9、式其網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)在虛軸上，電路均是穩(wěn)定的。可見(jiàn)四種形式所對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)僅與電路的結(jié)構(gòu)及參數(shù)有關(guān)，而與激勵(lì)無(wú)關(guān)。由網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)分布可以很方便地得出LTI電路是否穩(wěn)定的結(jié)論 。(1)當(dāng)H(s)的所有極點(diǎn)全部位于s平面的左半平面，不包含虛軸，則電路是穩(wěn)定的。(2)當(dāng)日(s)在s平面的虛軸上有一階極點(diǎn)，其余所有極點(diǎn)全部位于s平面的左半平面，則電路是臨界穩(wěn)定的。(3)當(dāng)H(s)含有s右半平面的極點(diǎn)或虛軸上有二階或二階以上的極點(diǎn)時(shí)，電路是不穩(wěn)定的。四、連續(xù)因果系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷準(zhǔn)則羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則：所有的根均在左半平面的多項(xiàng)式稱(chēng)為霍爾維茲多項(xiàng)式。必要條件簡(jiǎn)單方法一實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式A(s)=an

10、sn+a0=0的所有根位于左半開(kāi)平面的必要條件是：（1） 所有系數(shù)都必須非0，即不缺項(xiàng)；（2）系數(shù)的符號(hào)相同。 例1  A(s)=s3+4s2-3s+2 符號(hào)相異，不穩(wěn)定 例2   A(s)=3s3+s2+2 ， a1=0，不穩(wěn)定 例3  A(s)=3s3+s2+2s+8 需進(jìn)一步判斷，非充分條件。（2） 羅斯列表 將多項(xiàng)式A(s)的系數(shù)排列為如下陣列羅斯陣列 第1行 an an-2 an-4 第2行 an-1 an-3 an-5 第3行 cn-1 cn-3 cn-5 它由第1，2行，按下列規(guī)則計(jì)算得到： . 第4行由2，3行同樣方法得到。一直排到第n+

11、1行。羅斯準(zhǔn)則指出：若第一列元素具有相同的符號(hào)，則A(s)=0所有的根均在左半開(kāi)平面。若第一列元素出現(xiàn)符號(hào)改變，則符號(hào)改變的總次數(shù)就是右半平面根的個(gè)數(shù)。舉例：例1 A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2羅斯陣列： 2 12 2 1 8 0 2 8.5 0 2第1列元素符號(hào)改變2次，因此，有2個(gè)根位于右半平面。 注意：在排羅斯陣列時(shí)，可能遇到一些特殊情況，如第一列的某個(gè)元素為0或某一行元素全為0，這時(shí)可斷言：該多項(xiàng)式不是霍爾維茲多項(xiàng)式。例2：低通濾波器的穩(wěn)定性。如圖4所示為低通濾波器，放大器是理想的，為使系統(tǒng)穩(wěn)定， 應(yīng)滿足什么條件?分析：畫(huà)出運(yùn)算電路圖，如圖5對(duì)節(jié)點(diǎn) 列出KCL方程 （2）又

12、根據(jù)放大器部分電路,-j知， （3）由(3)得出代入(2)式，整理得：則網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為由勞思一赫維茨判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是(3一K)>0，即K<3。五、穩(wěn)定性的意義：穩(wěn)定性是系統(tǒng)的的一種固有特性，它只取決于系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而和初始條件和外部作用的大小無(wú)關(guān)。穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)重要的性能指標(biāo)之一，是系統(tǒng)正常工作的首要條件。以一些工程實(shí)例來(lái)舉例說(shuō)明系統(tǒng)穩(wěn)定性的意義：（1）開(kāi)關(guān)電源系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象分析開(kāi)關(guān)電源中，其核心是DcDc變換器，DcDc變換電路能夠促使直流電壓實(shí)現(xiàn)大范圍的升、降，并且實(shí)現(xiàn)的效率較高、比較容易控制，因此其在工業(yè)控制和電力傳輸?shù)阮I(lǐng)域中應(yīng)用廣泛?？墒?，DC-DC變換電路也可

13、能存在一定的偏差，如諧波振蕩誤差等，產(chǎn)這些偏差將直接影響到電源系統(tǒng)的穩(wěn)定性。而采取諧波補(bǔ)償電路將有效改善開(kāi)關(guān)電源系統(tǒng)的穩(wěn)定性。下面主要分析諧波振蕩等引起開(kāi)關(guān)電源系統(tǒng)喪失穩(wěn)定性的原理和原因。諧波振蕩是由峰值電流取樣和固定頻率同時(shí)工作所形成的結(jié)果，其發(fā)生的原理如下圖l所示。當(dāng)開(kāi)關(guān)電源的輸入電壓和負(fù)載發(fā)生變化時(shí)，從而會(huì)引起開(kāi)關(guān)電源電流發(fā)生變化，即發(fā)生擾動(dòng)，在擾動(dòng)產(chǎn)生后，系統(tǒng)能否趨于穩(wěn)定的運(yùn)作，關(guān)鍵在于系統(tǒng)電流是否對(duì)擾動(dòng)如何作出收斂響應(yīng)。而系統(tǒng)電流收斂的發(fā)生一般有兩種途徑， 一是在空占比(D)小于05時(shí)產(chǎn)生收斂，一是空占比(D)大于05時(shí)產(chǎn)生收斂。這兩種收斂環(huán)境下，系統(tǒng)對(duì)擾動(dòng)所表現(xiàn)出的穩(wěn)定狀態(tài)是不同的。設(shè)Io為擾動(dòng)沒(méi)有發(fā)生時(shí)的電感電流初始值，設(shè)A i o為電流上升時(shí)產(chǎn)生的擾動(dòng)量，設(shè)it為電流下降時(shí)產(chǎn)生的擾動(dòng)量，設(shè)d為電感電流占空比發(fā)生的擾動(dòng)量，設(shè)m 為電流在上升時(shí)所發(fā)生的斜率，設(shè)眥為電流在下降時(shí)所產(chǎn)生的斜率，它們之間的關(guān)系式如下：從而可以得出以下式子：隨著周期的增加，其所