圓錐曲線的弦長(zhǎng)公式及其推導(dǎo)過程

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上圓錐曲線的弦長(zhǎng)公式及其推導(dǎo)過程關(guān)于直線與圓錐曲線相交求弦長(zhǎng)，通用方法是將直線代入曲線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)，這種整體代換、設(shè)而不求的思想方法對(duì)于求直線與曲線相交弦長(zhǎng)是十分有效的，然而對(duì)于過焦點(diǎn)的圓錐曲線弦長(zhǎng)求解利用這種方法相比較而言有點(diǎn)繁瑣，若利用圓錐曲線的定義及有關(guān)定理導(dǎo)出各種曲線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式就更為簡(jiǎn)捷. 一、橢圓的焦點(diǎn)弦長(zhǎng) 若橢圓方程為，半焦距為c>0，焦點(diǎn)，設(shè)過的直線的傾斜角為交橢圓于兩點(diǎn)求弦長(zhǎng).解：連結(jié)，設(shè)，由橢圓定義得，由余弦定理得，整理可得，同理可求得，則；同理可求得焦點(diǎn)在y軸上的過焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為（a

2、為長(zhǎng)半軸，b為短半軸，c為半焦距）. 結(jié)論：橢圓過焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式： 二、雙曲線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng) 設(shè)雙曲線其中兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為，過F1的直線的傾斜角為，交雙曲線于兩點(diǎn)求弦長(zhǎng)|AB|. 解： （1）當(dāng)時(shí)，（如圖2）直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A、B在同一支上，連，設(shè)，由雙曲線定義可得，由余弦定理可得整理可得，則可求得弦長(zhǎng)（2），如圖3，直線與雙曲線交點(diǎn)在兩支上，連F2A,F2B,設(shè)則，由余弦定理可得, 整理可得， 因此焦點(diǎn)在x軸的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為 同理可得焦點(diǎn)在y軸上的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式 其中a為實(shí)半軸，b為虛半軸，c為半焦距，為AB的傾斜角.三、 拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng) 若拋物線與過焦點(diǎn)的直線相交于兩點(diǎn)，若的傾斜角為，求弦長(zhǎng)|AB

3、|.（圖4） 解：過A、B兩點(diǎn)分別向x軸作垂線AA1、BB1，A1、B1為垂足，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)B橫坐標(biāo)為，由拋物線定 同理的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為 的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為，所以拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為 由以上三種情況可知利用直線傾斜角求過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)，非常簡(jiǎn)單明確，應(yīng)予以掌握.圓錐曲線的弦長(zhǎng)公式一、橢圓：設(shè)直線與橢圓交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率為K，則 |P1P2|=|x1-x2|或|P1P2|=|y1-y2|K=(y2-y1)/(x2-x1)=二、雙曲線：設(shè)直線與雙曲線交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率為K，則 |P1P2|=|x1-x2|或|P1P2|=|y1-y2|K=(y2-y1)/(x2-x1)=三、拋物線：(1)焦點(diǎn)弦：已知拋物線y²=2px,A(x1,y1),B(x2,y2),AB為拋物線的焦點(diǎn)弦，則 |AB|=x1+x2+p或|AB|=2p/(sin²）為弦AB的傾斜角(2)設(shè)直線與拋物線交于P1( x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率為K，則