(完整word版)02-07邊界約束的處理

1、§2-7 邊界約束的處理一、邊界約束由于總體剛度矩陣是一個奇異矩陣，在求得總剛矩陣和總體載荷列陣之后，還不能立即求解整體節(jié)點平衡方程組。從數(shù)學(xué)上講，此時的總剛矩陣無逆矩陣，方程組沒有確定的解。從其物理意義來說，是由于整個結(jié)構(gòu)未引入邊界約束，為一自由結(jié)構(gòu)，對于一個定常力系的作用，沒有定常的位移。因此，為進(jìn)一步解得結(jié)構(gòu)位移，必須引入足夠的幾何邊界約束，以消除結(jié)構(gòu)的剛體位移。對于同一結(jié)構(gòu)， 在受相同載荷的條件下， 由于不同的邊界約束， 求得的結(jié)構(gòu)位移、 應(yīng)力等會大不相同。因此，引入正確的邊界條件是獲得較高精度解的前提。根據(jù)結(jié)構(gòu)的實際情況，離散出現(xiàn)的邊界約束大致可分為如下三種：1基礎(chǔ)剛性支承

2、大多數(shù)結(jié)構(gòu)要支承在基礎(chǔ)上。當(dāng)基礎(chǔ)的剛性很大時，根據(jù)不同的支承類型，可以認(rèn)為結(jié)構(gòu)和基礎(chǔ)相連的節(jié)點的一個或幾個方向的自由度受到了限制，即位移分量為零。如一簡支梁，可以認(rèn)為其支承點處的一個或二個方向的位移分量為零。2對稱結(jié)構(gòu)的對稱部分支承當(dāng)結(jié)構(gòu)和外載荷均對稱于某些軸線時，為減少工作量或提高計算精度，可只計算結(jié)構(gòu)的 1/2 或 1/4 。此時，為保持原有結(jié)構(gòu)特性，要在對稱剖分面的節(jié)點上施加垂直于剖分面的剛性約束，以限制該方向的位移。如軋機(jī)機(jī)架。3允許產(chǎn)生給定位移的支承由于結(jié)構(gòu)本身或安裝的需要，在支承和結(jié)構(gòu)之間存在給定的間隙，在結(jié)構(gòu)受到實際約束之前，此節(jié)點處允許產(chǎn)生該距離的位移。如高爐下降管的多余支承。

3、 從數(shù)學(xué)意義上來講，上述三種支承 ( 幾何約束 ) 可以歸納為零位移約束和給定位移約束二種，而前者則又是后者的一個特例。二、邊界約束的處理根據(jù)邊界約束的類型及后續(xù)處理方法和要求的不同，邊界約束處理大致采用如下方法：1. 劃行劃列法這種方法適用于預(yù)定邊界位移為零的約束條件。1具體做法： 在用矩陣表示的線性方程組中， 劃去相應(yīng)于己知為零的節(jié)點位移分量的行和列，以消除剛度位移。 如圖 2-13所示的單元組合體，其邊界條件為u1 u2u4 v4 v5v6 0 ，足以消除結(jié)構(gòu)的剛體位移。 處理時，則是將以上各為零位移分量相應(yīng)的行與列劃掉，這樣，原來12 階的線性方程組及其12× 12 階的總體

4、剛度矩陣，就變成了6 階的線性方程組及其6× 6 階的總體剛度矩陣，即K11對v1R1 yK 21K 22稱v20K 31K 32K 33u30K31K 32K 33K 33v400K 52K 53K 53K 55u5000 K63K 63K65K66u60這樣約束處理是必要的。（ 1）因為總體剛度矩陣在約束處理前是一個奇異矩陣，而經(jīng)過約束處理劃掉某幾行和幾列后變?yōu)榉瞧娈惥仃?，即約束處理后的總體剛度矩陣的行列式不等于零。（ 2） 另外，如果不進(jìn)行約束處理， 那么包括在總體節(jié)點載荷列矩陣中的約束反力必須事先求出，作為已知節(jié)點載荷。 然而，對于形狀較復(fù)雜一點的單元組合體，在高次超靜定情況

5、下，約束反力很難求出。 經(jīng)過約束處理后， 在劃去總體節(jié)點位移列矩陣與總體剛度矩陣中相應(yīng)于已知節(jié)點位移分量為零行與列的同時， 總體節(jié)點載荷列矩陣中未知的約束反力的行也都被劃掉。這樣一來，無論次數(shù)多高的超靜定問題，約束反力都不必事先求出。 這種約束處理也是可行的。（ 1） 因為線性方程組是由各節(jié)點平衡方程建立起來的，而方程組的未知量就是節(jié)點位移分量，那么受約束的節(jié)點有一個或兩個位移分量已知為零，就不必再去求它，因此該節(jié)點的一個或兩個平衡方程就可不要，即可以把它們所在的行劃去；（ 2） 同時，在其它方程中， 與已知零位移分量和相應(yīng)的載荷分量，即相應(yīng)剛度矩陣元素和此位移的乘積也為零，所以該列也可劃去。

6、由此可見 ，劃行劃列的約束處理方法是完全可行的，并不影響計算結(jié)果。劃行劃列約束處理使總體剛度矩陣發(fā)生了兩個變化：（ 1）總體剛度矩陣的階數(shù)下降。若單元組合體有 n 個節(jié)點和 r 個約束，則總體剛度矩陣在約束處理前為 2n× 2n階，約束處理后變?yōu)?(2n-r)(2n-r)階。（ 2） 總體剛度矩陣的奇異性發(fā)生變化。 約束處理前是奇異矩陣； 約束處理后變?yōu)榉瞧娈愋跃仃嚒?而對總體剛度矩陣的對稱性， 稀疏性和帶形分布等特性并無影響。 由2于約束處理時在劃去某行的同時劃去同序號的列， 所以總體剛度矩陣仍保持其對稱性；另外一般單元組合體的 r/2n 比值是很小的，所以約束處理后總體剛度矩陣仍

7、保持稀疏性和帶形分布的特點。經(jīng)過約束處理后，所建立起來的線性方程組的個數(shù)與要求解的未知節(jié)點位移分量的個數(shù)都是 2n-r 個。 特點： 這種處理方法，由于舍棄了相應(yīng)于已知位移分量為零的行與列各元素，這樣就改變了各方程及元素的編排序號； 另外，若是求出各節(jié)點位移 之后，需計算約束反力，則需重新計算相應(yīng)行中各剛度矩陣元素。以上二點是利用此法在編寫程序時要注意的。2. 劃0置1法適用： 這種方法適用于邊界節(jié)點位移分量為已知( 含為 0) 的各種約束。 做法：（ 1）將總剛矩陣 K中相應(yīng)于已知位移行主對角線元素置1，其他元素改為零；同時將載荷列陣 R中相應(yīng)元素用已知位移置換。 這樣，由該方程求得的此位移

8、值一定等于已知量。（ 2）將 K中已知位移相應(yīng)的列的非主對角成元素也置0，以保持 K的對稱性。 當(dāng)然， 在已知位移分量不為零的情況下，這樣做就改變了方程左端的數(shù)值，為保證方程成立， 須在方程右端減去已知位移對該方程的貢獻(xiàn)已知位移和相應(yīng)總剛元素的乘積。若約束為零位移約束時，此步則可省去。舉例：為具體說明，現(xiàn)舉一具有四個方程( 二個節(jié)點 ) 的簡例。其節(jié)點平衡方程為K 11K 11K 12K 12u1R1 xK11K11K12K12v1R1 yK 21K 21K 22K 22u2R2 xK 21K 21K 22K 22v2R2 y設(shè)結(jié)構(gòu)在1 點受到約束u1=1 , v1 =2 ，則上式中 R1 x

9、 、 R1 y 為未知的約束反力。利用劃 0 置 1的約束處理方法，上式變?yōu)?000u110100v1200K 22K 22u2R2 xK 211K 21200K 22K22v2R2 yK211K 2123特點：（ 1） 經(jīng)以上處理同樣可以消除剛性位移( 約束足夠的前提下 ) ，去掉未知約束反力。（ 2） 但這種方法不改變方程階數(shù)，利于存貯。（ 3） 不過，若是要求出約束反力，仍要重新計算各個劃去的總剛元素。3. 乘大數(shù)法 適用： 這種方法同樣適用于邊界節(jié)點位移分量為已知( 含為 0) 的各種約束。 做法：（ 1）將整體剛度矩陣中與給定節(jié)點位移相應(yīng)的主對角線元素乘上一個大數(shù)，如10 20；（

10、2） 再將方程右端載荷列陣中的相應(yīng)元素用己知位移和該大數(shù)及主對角線元素的乘積來置換。其余各項均保持不變。 舉例：如上例用此法進(jìn)行約束處理后，節(jié)點平衡方程組變成K11 1020K11K 12K12u11K 111020K11K11 1020K12K12v12 K1110 20K 21K21K 22K 22u2R2 xK 21K21K 22K 22v2R2 y特點：（ 1） 使用此一方法，只要大數(shù)選得足夠大，就可保證求得的位移有足夠的精度。（ 2） 由于在處理過程中， 不失去總剛矩陣的任一行 ( 列 ) 及各個元素， 便于進(jìn)行程序處理及約束反力計算。 小結(jié)：經(jīng)過約束處理，最終建立了 系數(shù)矩陣正定的

11、 2n-r 階( 劃行劃列法 ) 或是 2n 階 ( 劃零置 1 法和乘大數(shù)法 ) 方程組。三、后續(xù)工作下一步 即求解此方程組，最終獲得2n-r 個未知的位移分量。線性方程 的解法有直接法和和迭代法兩大類：直接法的優(yōu)點是計算量比較小，所需機(jī)時短，其中常用的為消元法和矩陣分解法；迭代法具有算法簡單，易編制程序，可節(jié)省內(nèi)存等優(yōu)點，適用于求解大題目，但計算時間較長，這種方法要求方程組的系數(shù)矩陣在主對角線上占優(yōu)勢。4四、總結(jié)前面各節(jié)， 我們對平面問題的三節(jié)點三角單元有限單元的位移法，進(jìn)行了比較詳細(xì)的討論與分析，下面就將其概括歸納幾點如下：(1) 基本原理。是把連續(xù)彈性體離散為有限個節(jié)點連接起來的單元組

12、合體，代替原來的彈性體，然后通過彈性力學(xué)基本方程與虛功原理建立并求解以節(jié)點位移 為未知量的、以總體剛度矩陣K為系數(shù)的線性方程組。(2) 解答特點是近似數(shù)值解。誤差主要反映在連續(xù)彈性體的離散化 ( 包括單元位移函數(shù)的選取 ) 上，但當(dāng)單元尺寸逐步取小時，有限單元法解答將收斂于正確解答。(3) 解題步驟。根據(jù)有限單元法基本原理和實際操作，概括地分為兩大步驟：一是連續(xù)彈性體的離散化，其中包括單元劃分，節(jié)點單元的編號，節(jié)點坐標(biāo)位置，載荷移置和約束處理 ( 邊界條件 ) 等，這些工作都需算題人員在上計算機(jī)算題之前完成，所以也可稱為上機(jī)前的準(zhǔn)備工作；二是根據(jù)基本原理建立與求解線性方程組K = R。將求得的

13、2n-r個節(jié)點位移分量，再代入(2-18) 式，即可求得各單元的應(yīng)力分量。經(jīng)過兩次遞代九步循環(huán)解出節(jié)點位移及單元應(yīng)力等， 這些工作是按己編制好的程序由計算機(jī)來完成，也可稱為上機(jī)計算。現(xiàn)將有限單元法解題步驟歸納起來用框圖表示如下。平面問題的有限單元法， 還會遇到一些其他問題， 如溫度應(yīng)力等等， 其處理方法， 將在以后章節(jié)中陸續(xù)介紹。5上機(jī)前準(zhǔn)備工作兩次迭代、 十一步循環(huán)： (1)單元節(jié)點位移 e 作為未知量， 第一次迭1.建立數(shù)學(xué)模型代過程建立線性方程并求解；2.單元劃分(2) 單元節(jié)點位移 e 作為已知量，第二次迭3.載荷移置代過程求解單元位移、應(yīng)變、應(yīng)力及約束反4.約束簡化力等其它參數(shù)。單元位移模式幾何方程u( x, y)v( x, y)12 x3 yuv,uv5 x6 yx,