四邊形的旋轉與翻折

1、一正三角形類型在正 ABC中, P為氐ABC 點，將 ABP繞A點按逆時針方向旋轉 60°,使得AB與AC重合。經(jīng)過這樣旋轉 變化，將圖1-1-a丨中的PA PB PC三條線段集中于圖1-1-b丨中的一個 P'CP中，此時 P'AP也為正 三角形。圖(1-1)=>圖 C +*H <L2)卩例1. 如圖：1-1：設P是等邊 ABC的一點，PA=3 PB=4, PC=5 / APB的度數(shù)是 .二正方形類型在正方形ABCD中, P為正方形ABCD一點，將 ABP繞B點按順時針方向旋轉 90°,使得BA與BC重合。經(jīng)過 旋轉變化，將圖2-1-a丨中的PA

2、 PB PC三條線段集中于圖2-1-b丨中的 CPP'中，此時 BPP'為等腰 直角三角形。圖(2-1-a)圖(2-1-b)例2.如圖2-1： P是正方形ABCD一點，點P到正方形的三個頂點 A、B、C的距離分別為PA=1, PB=2 PC=3求此正方形ABCD面積。8FDE=>BE圖二FB5C2三等腰直角三角形類型在等腰直角三角形 ABC中，/ C=Rt/ , P為氐ABC 點，將 APC繞C點按逆時針方向旋轉 90°，使得AC與BC重合。經(jīng)過這樣旋轉變化，在圖3-1-b丨中的一個 P'CP為等腰直角三角形。例 3 .如圖，在 ABC中，/ ACB =

3、90°, BC=AC P 為厶 ABC一點，且 PA=3 PB=1, PC=2 求/ BPC的度數(shù)。注重考查學生的猜想、探索能力；便于與其它知識相聯(lián)系，解題靈活多變，能夠考察學生分析問題和解決問圖3噸圖(3-1-b)卜平移、旋轉和翻折是幾何變換中的三種根本變換。所謂幾何變換就是根據(jù)確定的法那么，對給定的圖形或其一局部施行某種位置變化，然后在新的圖形中分析有關圖形之間的關系這類實體的特點是：結論開放,分值比前兩年大幅度提高。為幫助廣闊考生把握好平移，旋轉和翻折的特征，巧妙利用平移，旋轉和翻折的知識來解決相關的問題，下面以近幾年中考題為例說明其解法，供大家參考。題的能力在這一理念的引導下

4、，近幾年中考加大了這方面的考察力度，特別是2006年中考，這一局部的一平移、旋轉平移：在平面，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移.“一定的方向稱為平移方向，"一定的距離'稱為平移距離。平移特征：圖形平移時，圖形中的每一點的平移方向都一樣，平移距離都相等。旋轉：在平面，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度成為與原來相等的圖形，這樣的圖形運動叫做圖形的旋轉，這個定點叫做旋轉中心，圖形轉動的角叫做旋轉角.旋轉特征：圖形旋轉時，圖形中的每一點旋轉的角都相等，都等于圖形的旋轉角。例1.如圖，將 ABC繞頂點A順時針旋轉60。后得到 ABC，且C'為

5、BC的中點，那么 C'DDB=A. 1:2 B. 1:C. 1:D. 1:3點評：本例考查靈活運用旋轉前后兩個圖形是全等的性質、等邊三角形的判斷和含30。角的直角三角形的性質的能力，解題的關鍵是發(fā)現(xiàn) AC C是等邊三角形.二、翻折翻折：翻折是指把一個圖形按某一直線翻折180。后所形成的新的圖形的變化。翻折特征：平面上的兩個圖形，將其中一個圖形沿著一條直線翻折過去，如果它能夠與另一個圖形重合，那 么說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線就是對稱軸。解這類題抓住翻折前后兩個圖形是全等的，弄清翻折后不變的要素。翻折在三大圖形運動中是比較重要的，考查得較多.另外，從運動變化得圖形得特殊位置探索

6、出一般的 結論或者從中獲得解題啟示，這種由特殊到一般的思想對我們解決運動變化問題是極為重要的，值得大家留 意。例2.如圖，將矩形 ABCD& AE折疊，假設/ BAD = 30°,那么/ AED 等于A. 30°B . 4560°D . 75點評：本例考查靈活運用翻折前后兩個圖形是全等的性質的能力，解題的關鍵是發(fā)現(xiàn)/ EA=Z EAD, / AED/ AED例丈的喃京巾己知矩形紙片AUC1K M j幫紙片折垂 抉頂點A-VlCD上的自E車合*如扇折igFG別HAIX AB交耳點只G血圈1】，廿二二 求DF的長* “K 1點評：圖形沿某條線折疊，這條線就是對

7、稱軸，利用軸對稱的性質并借助方程的的知識就能較快得到計算結果。由此看出，近幾年中考，重點突出，試題貼近考生，貼近初中數(shù)學教學，圖形運動的思想圖形的旋轉、翻折、平移三大運動 都一一考查到了因此在平時抓住這三種運動的特征和根本解題思路來指導我 們的復習，將是一種事半功倍的好方法。平移與旋轉實際上是一種全等變換，由于具有可操作性，因而是考查同學們動手能力、觀察能力的好素 材，也就成了近幾年中考試題中頻繁出現(xiàn)的容。題型多以填空題、計算題呈現(xiàn)。在解答此類問題時，我們通 常將其轉換成全等求解。根據(jù)變換的特征，找到對應的全等形，通過線段、角的轉換到達求解的目的。例1 如圖，直角梯形 ABCD中，AD/ BC

8、, AB丄BQ AD=2 BC=3,將腰CD以D為中心，逆時針旋轉 90° 至ED,連結AE、CE那么 ADE的面積是不能確定點評：明確 ADE的邊AD上的高的概念不要誤寫成DE作梯形高是常見的解題方法之一。變式題1:如圖， ABC中AB=AC / BAC =90° 直角/ EPF的頂點P是BC中點，兩邊 PE PF分別交AB AC于點E、F,給出以下五個結論：A1AE=CF 2丨/ APE=/ CPF 3A EPF是等腰直角三角形4EF=AP 5S四邊形 aep=Saabc2,當/ EPF在厶ABC繞頂點P旋轉時點E不與A、B重合上述結論中始終正確的序號有例2 D、E為A

9、B的中點，將 ABC沿線段DE折疊，使點 A落在點F處。假設/ B=50°,那么/ BDF=點評：幾何變換沒有可套用的模式，關鍵是同學們要善于多角度、多層次、多側面地思考問題，觀察問題、分析問題。變式題2:如圖，矩形紙片 ABCD AB=2,Z ADB=30，將它沿對角線 BD折疊使 ABD和 EBD落在同一平面那么A E兩點間的距離為旋轉具有以下特征：1圖形中的每一點都繞著旋轉中心旋轉了同樣大小的角度;2對應點到旋轉中心的距離相等；3對應角、對應線段相等；4圖形的形狀和大小都不變。禾U用旋轉的特征，可巧妙解決很多數(shù)學問題，如.求線段長例：如圖，長方形 ABCD的周長為20，AB=4

10、,點E在BC上，且AE丄EF, AE=EF求CF的長。C二.求角的大小例：如圖，在等邊 ABC中，點E、D分別為AB BC上的兩點，且 BE=CD AD與 CE交于點 M求/ AME的大 小。三.進展幾何推理例：如圖，點F在正方形ABCD勺邊BC上, AE平分/ DAF，請說明DE=AF-BF成立的理由數(shù)學思想是解數(shù)學題的精髓和重要的指導方法，在平移和旋轉中的應用也相當?shù)膹V泛，一般可以歸結為 兩種思想一一對稱的思想和旋轉的思想，具體的分析如下：1、對稱的思想： 在平移、旋轉、對稱這些概念中，對稱這一概念非常重要.它包括軸對稱、旋轉對稱、中心對稱.對稱是一種種要的思想方法，在解題的應用非常廣泛例

11、：觀察圖中所給的圖案，它可以看成由哪個較根本的圖形經(jīng)過哪些運動變換產(chǎn)生的？它是不是軸對稱圖 形？旋轉對稱圖形？中心對稱圖形？分析： 這是一個涉與軸對稱平移、旋轉的綜合性例子。解題思路主要通過直觀觀察取得。這個圖案較根本的圖形是正方形，一個小正方形沿對角線方向平移一個對角線長、兩個對角線長后得一正方形串，然后在串的軸線上找一點0為旋轉中心，旋轉三個 90°后得到題目中給出的圖案，整個過程如下列圖。這個圖形是軸對稱、旋轉對稱 中心對稱圖形。方法探究：這里的較根本圖形也可以看成線段。一線段經(jīng)平移、旋轉后得一正方形，然后重復上面的過程。2、旋轉的思想： 旋轉也是圖形的一種根本變換，通過圖形旋

12、轉變換，從而將一些簡單的平面圖形按要求旋轉到適當?shù)奈恢?，使問題獲得簡單的解決，它是一種要的解題方法。例:如圖，正方形 ABCD一點P, / PAD=Z PDA= 15°,連結PB PC,請問： PBC是等邊三角形嗎？為什么?P1.如圖， ABC是等腰直角三角形，BC為斜邊，將厶ABP繞點A逆時針旋轉后，能與 ACP重合，如果AP=3,請求出PP'的長.2.如圖，在 ABC中，/ BAC=120，以BC為邊向形外作等邊三角形 BCD ABD繞點D按順時針方向旋轉60。后得到厶ECD假設AB=3 AC=2求/ BAD的度數(shù)與 AD的長.A3. 如圖，點 0是等邊 ABC一點，/

13、AOB=110 , / BOC=.將 BOC繞點C按順時針方向旋轉60 °得厶ADC連接0D1試說明： COD是等邊三角形；2當 =150°時，試判斷厶AOD的形狀，并說明理由；3探究：當 為多少度時， AOD是等腰三角形？4.如圖在口ABCD中, E、F分別是AD BC邊上的任意兩點，S APB 20cm2,S CDQ 30cm2,那么S陰影=。5.如圖，在口ABCD中, E F是對角線BD上的兩點，BE= DF,點G H分別在BA和DC的延長線上，且 AG=CH 連接 GE EH HF FG求證：四邊形 GEHFi平行四邊形.6.如圖，在四邊形 ABCD中, AB=CD

14、點E、F分別是BC AD的中點，連接 EF并延長，分別與 BA CD的延 長線交于點 M N,那么/ BMEh CNE不需證明.小明的思路是：在圖1中，連接BD取BD的中點H,連接HE HF,根據(jù)三角形中位線定理，證明HE=HF從而/仁/ 2,再利用平行線性質，可證得/ BMEMCNE1如圖2，在四邊形 ADBC中, AB與CD相交于點 O, AB=CD E、F分別是BC AD的中點，連接 EF, 分別交DC AB于點M N,判斷AOMN的形狀，請直接寫出結論；2如圖3,在厶ABC中，AO AB, D點在AC上，AB=CD E、F分別是BC AD的中點，連接 EF并延 長，與BA的延長線交于點

15、G ,假設/ EFC=60 ,連接GD，判斷 AGD的形狀并證明.7如圖，在 ABC中，AB=AC人。是4 ABC的角平分線，點 O位AB的中點，連接 DO并延長到點 E,使OE=OD 連接AE、BE1求證：四邊形 AEBD是矩形；2當厶ABC滿足什么條件時，矩形 AEBD是正方形，并說明理由.8.如圖，平行四邊形 ABCD中，AB AC , AB 1 , BC5 對角線AC, BD相交于點0，將直線AC繞點0順時針旋轉，分別交 BC, AD于點E, F 1證明：當旋轉角為 90時，四邊形 ABEF是平行四邊形；2試說明在旋轉過程中，線段 AF與EC總保持相等；3在旋轉過程中，四邊形 BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能，說明理由并求出此時 AC繞點0順時針旋轉的度數(shù).9.在厶ABC中,AB=AC / BAC=x 0°< a<60°，將線段BC繞點B按逆時針方向旋轉60°得到線段BD。 1如圖1,直接寫出/ AB