有限元復(fù)習(xí)題及答案

1、1.兩種平面問題的基本概念和基本方程；答：彈性體在滿足一定條件時(shí)，其變形和應(yīng)力的分布規(guī)律可以用在某一平面內(nèi)的變形和應(yīng)力的分布規(guī)律來代替，這類問題稱為平面問題。平面問題分為平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題。平面應(yīng)力問題設(shè)有張很薄的等厚薄板，只在板邊上受到平行于板面并且不沿厚度變化的面力，體力也平行于板面且不沿厚度變化。由于平板很薄，外力不沿厚度變化，因此在整塊板上有：，剩下平行于XY面的三個(gè)應(yīng)力分量未知。平面應(yīng)變問題設(shè)有很長的柱體，支承情況不沿長度變化，在柱面上受到平行于橫截面而且不沿長度變化的面力，體力也如此分布。平面問題的基本方程為：平衡方程幾何方程物理方程（彈性力學(xué)平面問題的物理方程由廣義虎克定

2、律得到） 平面應(yīng)力問題的物理方程平面應(yīng)力問題有 平面應(yīng)變問題的物理方程平面應(yīng)變問題有 在平面應(yīng)力問題的物理方程中，將E替換為、替換為，可以得到平面應(yīng)變問題的物理方程；在平面應(yīng)變問題的物理方程中，將E替換為、替換為，可以得到平面應(yīng)力問題的物理方程。2彈性力學(xué)中的基本物理量和基本方程；答：基本物理量有：空間彈性力學(xué)問題共有15個(gè)方程，3個(gè)平衡方程，6個(gè)幾何方程，6個(gè)物理方程。其中包括6個(gè)應(yīng)力分量，6個(gè)應(yīng)變分量，3個(gè)位移分量。平面問題共8個(gè)方程，2個(gè)平衡方程，3個(gè)幾何方程，3個(gè)物理方程，相應(yīng)3個(gè)應(yīng)力分量，3個(gè)應(yīng)變分量，2個(gè)位移分量?；痉匠逃校?.平衡方程及應(yīng)力邊界條件：平衡方程：邊界條件：2.幾何

3、方程及位移邊界條件：幾何方程：邊界條件：3.物理方程:3.有限元中使用的虛功方程。對(duì)于剛體，作用在其上的平衡力系在任意虛位移上的總虛功為0，這就是剛體的平衡條件，或者稱為剛體的虛功方程。對(duì)于彈性變形體，其虛位移原理為：在外力作用下處于平衡的彈性體，當(dāng)給予物體微小的虛位移時(shí)，外力的總虛功等于物體的總虛應(yīng)變能。設(shè)想一處于平衡狀態(tài)的彈性體發(fā)生了任意的虛位移,相應(yīng)的虛應(yīng)變?yōu)?作用在微元體上的平衡力系有（X,Y,Z）和面力。外力的總虛功為實(shí)際的體力和面力在虛位移上所做的功，即：在物體產(chǎn)生微小虛變形過程中，整個(gè)彈性體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的功為總虛應(yīng)變能，即：其中為彈性體單位體積內(nèi)的應(yīng)力在相應(yīng)的虛應(yīng)變上做的

4、虛功，由此得到虛功方程：4.節(jié)點(diǎn)位移，單元位移及它們的關(guān)系。（自己寫的，沒找到答案）答：節(jié)點(diǎn)位移：坐標(biāo)系中各個(gè)單元節(jié)點(diǎn)在各自的自由度上產(chǎn)生的移動(dòng)。單元位移：反應(yīng)單元內(nèi)個(gè)點(diǎn)的位移量的函數(shù)表達(dá)。關(guān)系：單元位移可由節(jié)點(diǎn)位移差值構(gòu)造，即通過節(jié)點(diǎn)位移構(gòu)造單元位移函數(shù)，從而反應(yīng)單元內(nèi)個(gè)點(diǎn)的位移。5.單元位移函數(shù)的概念與性質(zhì)答：由彈性力學(xué)知，如果彈性體的位移分量是坐標(biāo)的己知函數(shù)，就可由幾何方程求得應(yīng)變分量，再由彈性方程求得應(yīng)力分量。但是，如果僅知道彈性體(或單元中幾個(gè)點(diǎn)(例如節(jié)點(diǎn)的位移分量的數(shù)值，是不能直接求得其應(yīng)變分量和應(yīng)力分量的。為了能用節(jié)點(diǎn)位移分量表示單元上的應(yīng)變、應(yīng)力等，首先就必須把單元上任一點(diǎn)的位

5、移分量表示為坐標(biāo)的某種函數(shù)。當(dāng)然，這些函數(shù)在上述幾個(gè)節(jié)點(diǎn)上的數(shù)值，應(yīng)當(dāng)?shù)扔谄浼褐?。這種做法，實(shí)際上是假定單元上各點(diǎn)按某種模式變形，各點(diǎn)的位移值則是由己知點(diǎn)(節(jié)點(diǎn)按這種模式插值取得。采用的函數(shù)稱為位移函數(shù)或位移模式。（對(duì)于一個(gè)復(fù)雜的彈性體，想要用某種連續(xù)函數(shù)來描述整體內(nèi)任一點(diǎn)的位移是不大可能的。但當(dāng)把彈性體離散化為許多細(xì)小的單元，則在一個(gè)單元的局部范圍內(nèi)是可以把某一點(diǎn)的位移近似地表達(dá)為其坐標(biāo)函數(shù)的，這一表達(dá)式就是單元位移模式或者叫單元位移函數(shù)。）性質(zhì)：1.在單元節(jié)點(diǎn)上的形態(tài)函數(shù)的值為1或者02.在單元中的任一點(diǎn)上，三個(gè)形態(tài)函數(shù)之和等于1.用來計(jì)算三角形面積時(shí)，要注意單元節(jié)點(diǎn)的排列順序，當(dāng)三個(gè)節(jié)

6、點(diǎn)i，j，m取逆時(shí)針順序時(shí)，A0，反之小于0.6.節(jié)點(diǎn)力、等效節(jié)點(diǎn)力節(jié)點(diǎn)力：通過節(jié)點(diǎn)來傳遞的力。利用虛功方程建立剛度方程，把作用在每個(gè)單元上的載荷都移置到各節(jié)點(diǎn)之后，各單元所受的力就只有通過節(jié)點(diǎn)傳遞的節(jié)點(diǎn)力。節(jié)點(diǎn)力在節(jié)點(diǎn)的的虛位移上所做的虛功等于單元內(nèi)部應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。等效節(jié)點(diǎn)力：按照有限元法的離散思想，外載荷必須作用在節(jié)點(diǎn)上，而實(shí)際的外載荷由往往并不是通過節(jié)點(diǎn)作用的。因此，必須將這些非節(jié)點(diǎn)載荷按照一定的原則移置到節(jié)點(diǎn)上，即所謂的等效節(jié)點(diǎn)載荷處理。這種移置必須滿足靜力等效原則，因?yàn)橹挥羞@樣才能使得這種移置所引起的誤差只局限于局部，而不至于影響整體結(jié)構(gòu)的應(yīng)力狀態(tài)（圣文南原理）。通常對(duì)剛

7、體而言的靜力等效是指移置前后的兩個(gè)載荷系統(tǒng)在任一軸上的投影之和彼此相等，對(duì)任一軸的力矩之和也彼此相等。但是對(duì)于具有三個(gè)或者三個(gè)以上節(jié)點(diǎn)的彈性體單元，若按剛體靜力等效原則來移置載荷，其結(jié)果不是唯一的。在有限元法中，是按虛功等效的原則來移置，即移置前的原載荷與移置后的節(jié)點(diǎn)載荷在任意虛位移上的虛功相等。在一定的位移函數(shù)下，這樣移置的結(jié)果是唯一的。7.如何由單元節(jié)點(diǎn)位移導(dǎo)出單元位移函數(shù)、單元應(yīng)變、單元應(yīng)力和，如何建立單元節(jié)點(diǎn)位移和單元節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系。8.單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x性質(zhì)物理意義：單位節(jié)點(diǎn)的位移分量所引起的節(jié)點(diǎn)力。例如：km n是表示當(dāng)單元第n個(gè)自由度產(chǎn)生單位位移而其他自由度固定時(shí)，在第m個(gè)

8、自由度產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)力。（具體參數(shù)在PPT上，沒打出來）表示結(jié)點(diǎn)S(S=i,j,m在水平方向、垂直方向產(chǎn)生單位位移時(shí)，在結(jié)點(diǎn)r(r=i,j,m上分別所要施加的水平結(jié)點(diǎn)力和垂直結(jié)點(diǎn)力的大小。例如表示結(jié)點(diǎn)j在垂直方向產(chǎn)生單位位移時(shí)，在結(jié)點(diǎn)i所需要施加的水平結(jié)點(diǎn)力的大小。性質(zhì)：（1）、ke是對(duì)稱陣。其元素之間有如下關(guān)系：krs=ksr，這一特性是由彈性力學(xué)中的功的互等定理所決定的。（2）、ke是奇異陣。ke的每一行每一列元素之和均為0，其物理意義就是：在無約束條件下，單元可做剛體運(yùn)動(dòng)。根據(jù)行列式性質(zhì)，可知值也為0。9.整體剛度矩陣的物理意義性質(zhì)物理意義：剛度矩陣中的元素是剛度系數(shù)，即由單位結(jié)點(diǎn)位移引起的

9、結(jié)點(diǎn)力。性質(zhì)：（1）、總剛度矩陣是對(duì)稱矩陣。（2）、總剛度矩陣呈稀疏帶狀分布。因?yàn)槿我还?jié)點(diǎn)只與繞它的相鄰單元發(fā)生聯(lián)系，所以k中的每一行含有大量的零元素，而非零元素往往分布在對(duì)角線主元素的附近。（3）、總剛度矩陣式奇異陣。10.有限元的基本原理及解題過程；基本原理：有限元法是將連續(xù)體理想化成為有限個(gè)單元集合而成，這些單元僅在有限個(gè)節(jié)點(diǎn)上相連接，亦即用有限個(gè)單元的集合來代替原來具有無限個(gè)自由度的連續(xù)體。由于有限元單元的分割和節(jié)點(diǎn)的配置非常靈活，它可以適用于任意復(fù)雜的幾何形狀，處理不同的邊界條件。在有限元單元集合體的基礎(chǔ)上，對(duì)每一單元假設(shè)一個(gè)簡單的位移函數(shù)來近似模擬其位移分布規(guī)律，通過虛位移原理求得

10、每個(gè)單元的平衡方程，即建立起單元節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系。最后把所有的單元的這種特性關(guān)系集合起來，就可建立整個(gè)物體的平衡方程組?？紤]邊界條件后，解此方程組求得節(jié)點(diǎn)位移，并計(jì)算出各單元應(yīng)力。解題過程：（1）、首先繪出結(jié)構(gòu)集合簡圖，在此基礎(chǔ)上將結(jié)構(gòu)離散化。包括劃分單元跟等效節(jié)點(diǎn)載荷。（2）、其次進(jìn)行單元分析。計(jì)算每個(gè)單元的剛度矩陣。根據(jù)各單元所受載荷，利用載荷移置公式，得到每個(gè)單元的等效節(jié)點(diǎn)力載荷。（3）、組裝總剛度矩陣，組集結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)載荷矩陣，引入約束條件，解線性方程組，即可求得包括已知節(jié)點(diǎn)位移分量在內(nèi)的全部節(jié)點(diǎn)位移。（4）、最終求得單元應(yīng)力和節(jié)點(diǎn)應(yīng)力。整理計(jì)算結(jié)果并繪制出結(jié)構(gòu)變形圖及各種應(yīng)力分

11、量的等值曲線圖。11.等參元的概念及單元分析過程；首先導(dǎo)出關(guān)于局部坐標(biāo)系的規(guī)整形狀的單元（母單元）的高階位移模式的形函數(shù)，然后利用形函數(shù)進(jìn)行坐標(biāo)變換，得到關(guān)于整體坐標(biāo)系的復(fù)雜形狀的單元（子單元），如果子單元的位移函數(shù)插值結(jié)點(diǎn)數(shù)與其位置坐標(biāo)變換結(jié)點(diǎn)數(shù)相等，其位移函數(shù)插值公式與位置坐標(biāo)變換式都用相同的形函數(shù)與結(jié)點(diǎn)參數(shù)進(jìn)行插值，則稱其為等參元12.軸對(duì)稱三節(jié)點(diǎn)三角形單元、四節(jié)點(diǎn)四面體單元、8節(jié)點(diǎn)六面體單元的形函數(shù)、自由度。答：1、軸對(duì)稱三節(jié)點(diǎn)三角形單元的自由度為6 。其形函數(shù)為：其中2、四節(jié)點(diǎn)四面體單元自由度為12 。其形函數(shù)為：其中3、8節(jié)點(diǎn)六面體單元自由度為24 。其形函數(shù)為：其中式中,單元節(jié)點(diǎn)

12、i的坐標(biāo)。14. 桿單元與梁單元的區(qū)別。答：按照力學(xué)理論，有些桿件可以簡化為只能承受軸向力的桿，有些桿件可以簡化為既能承受軸向力又能承受彎矩的梁。在有限元方法中，將模擬桿的單元稱為桿單元，將模擬梁的單元稱為梁單元。所以它們的區(qū)別就是能否承受彎矩。15. 桿單元與梁單元的剛度矩陣推導(dǎo)。16.彈性力學(xué)薄板問題的基本假設(shè)，基本物理量和基本方程。答：基本假設(shè)：（1）、變形前垂直于中面的直法線在變形后仍是彈性曲面的法線。（2）、板的中面只發(fā)生彎曲變形，沒有面內(nèi)的伸縮變形，即無平行于中面的變形。（3）、忽略沿厚度方向的擠壓變形。即z方向上應(yīng)力應(yīng)變均為0 。基本物理量及基本方程：（1）位移：（2）應(yīng)變：（3

13、）應(yīng)力：（4）內(nèi)力矩：17.四節(jié)點(diǎn)薄板單元（矩形單元）的自由度。答：矩形板單元有四個(gè)角節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有三個(gè)參數(shù)：撓度，以及繞x、y軸的轉(zhuǎn)角，所以總共有12個(gè)自由度。18.為什么要引入等參單元的局部坐標(biāo)系？有什么特點(diǎn)和好處？答：以四節(jié)點(diǎn)單元為例，在建立位移模式時(shí)出現(xiàn)一個(gè)新問題：如果直接用x，y坐標(biāo)系下的雙線性位移模式，由于任意四邊形單元的邊界與坐標(biāo)軸不平行，因此位移沿邊界呈二次函數(shù)變化，單元在公共邊界上不滿足協(xié)調(diào)性。因此須建立一種新的局部坐標(biāo)系-坐標(biāo)系，使得4條邊上有一個(gè)局部坐標(biāo)為常數(shù)（1），即所謂的局部坐標(biāo)系。特點(diǎn)和好處：單元內(nèi)，所有點(diǎn)的坐標(biāo)、均在-1到+1之間。所以該坐標(biāo)系可以稱為單元的自然坐標(biāo)系。可以證明，在局部坐標(biāo)系情況下，位移模式關(guān)于、坐標(biāo)是雙線性位移模式，而在x，y坐標(biāo)系下不是雙線性位移模式。由于實(shí)際單元的邊界上有一個(gè)局部坐標(biāo)為常數(shù)，因此位移沿單元邊界線性變化，能保證單元的協(xié)調(diào)性。19.簡述動(dòng)力學(xué)有限元方程。答：首先由于動(dòng)力載荷隨時(shí)間變化，所以簡化到節(jié)點(diǎn)上的載荷應(yīng)該表示為時(shí)間的函數(shù)。其次，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，在運(yùn)動(dòng)的過程中，有加速度的物體應(yīng)有附加的慣性力載荷。另外，運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)還會(huì)受到阻尼力。