數(shù)學(xué)建模案例分析

1、案例分析1: 自行車外胎的使用壽命問題：目前，自行車在我國是一種可缺少的交通工具。它小巧、靈活、方便、易學(xué)，而且價格適中，給廣大居民帶來了不小的益處。但是，自行車也有令人頭痛的地方，最常見的問題莫過于扎胎了。扎胎的原因有很多，但相當(dāng)一部分是由于外胎磨損，致使一些玻璃碴、小石子很容易侵入、扎破內(nèi)胎。為了減少不必要的麻煩，如何估計自行車外胎的壽命，及時更換?分析：分析角度：由于題目里未明確指出我們是應(yīng)從廠家角度，還是應(yīng)從用戶角度來考慮這個問題，因此需要我們自己做出合理判斷。若從廠家角度，我們面對的應(yīng)當(dāng)是一大批自行車外胎的平均壽命的估計。這樣的估計要求一定精確度和相對明確的使用環(huán)境；而從用戶角度來說

2、，面對的僅是個人的一輛車，不需要很高的精確度，這樣的壽命估計更簡單，易于隨時了解，下面僅從用戶角度進(jìn)行分析。產(chǎn)品的使用者需要了解產(chǎn)品的壽命，是基于安全性及更換的費(fèi)用來考慮的。我們將這兩個標(biāo)準(zhǔn)作為主要標(biāo)準(zhǔn)來分析，首先值得注意的兩個關(guān)鍵性問題是如何定義壽命、何時為壽命的終止。壽命的定義要做到科學(xué)，直觀，有可比性，在航空工業(yè)中航天飛機(jī)的使用壽命是用重復(fù)使用的次數(shù)來衡量，而工廠機(jī)器設(shè)備的壽命則以連續(xù)工作的時間來定義。本題外胎的壽命亦可用時間來表征，但由于外胎的壽命直接與其磨損速度相關(guān)；而磨損速度又與使用頻率及行駛速度相互聯(lián)系，致使外胎的壽命不一定與使用時間成正比(這種非正比關(guān)系使我們不能拿一輛天跑20

3、0公里的自行車與一天只跑1公里的自行車進(jìn)行壽命比較)，降低了可比性。如換成自行車的路程壽命來比較，就好得多。產(chǎn)品壽命是在安全性和更換費(fèi)用相互制約下達(dá)到的一個點(diǎn)，在這個點(diǎn)上，外胎的安全系數(shù)降到用戶不可接受的最低值，更換費(fèi)用(壽命越長，在一定意義上更換費(fèi)用越低)也達(dá)到了最大限度的節(jié)省。弄清了上面兩個問題后，我們繼續(xù)明確建立模型需要解決哪些問題及建立模型的重點(diǎn)難點(diǎn)。自行車使用過程中，一來影響因素多，二來這些因素之間彼此相關(guān)，十分復(fù)雜，要做到比較準(zhǔn)確地估計使用壽命，不但要對外胎的性能有相當(dāng)?shù)牧私猓覍κ褂铆h(huán)境更不能忽視。當(dāng)然我們由于是站在用戶角度上來考慮的，相對地就可忽略一些次要的影響因素。這樣的數(shù)

4、學(xué)模型面對著兩個主要問題。一、自行車使用壽命與外胎厚度的關(guān)系，二、外胎能夠抵御小石子破壞作用的最小厚度。后者可處理得相對簡略些(如只考慮一塊具有一般特征的小石子對外胎的破壞作用)，而重點(diǎn)(也是難點(diǎn))是第一個問題。車重、人重、輪胎性質(zhì)(力學(xué)的、熱學(xué)的、甚至化學(xué)的)和自行車使用頻率等都左右著它們的關(guān)系。這么多相關(guān)因素，不必一一都加以考慮(用戶是不會在意這么多的)，有些因素，可以先不考慮，在模型的改進(jìn)部分再作修改，采取逐步深入的方法，如：摩擦損耗有滑動摩擦和滾動摩擦損耗兩種，由于滾動摩擦占用的時間(或路程)顯然占絕對優(yōu)勢，因此可重點(diǎn)考慮。但滑動摩擦造成的一次損壞又比滾動摩擦大，在剎車使用過頻的情況下

5、，就不能不考慮了。最后，需對得出的結(jié)果用簡單清晰的文字進(jìn)行說明，以供用戶參考。案例分析2：城市商業(yè)中心最優(yōu)位置分析問題：城市商業(yè)中心是城市的基本構(gòu)成要素之一。它的形成是一個復(fù)雜的定位過程。商業(yè)中心的選址涉及到各種因素制約，但其中交通條件是很重要的因素之一。即商業(yè)中心應(yīng)位于城市“中心”，如果太偏離這一位置，極有可能在城市“中心”地帶又形成一個商業(yè)區(qū)，造成重復(fù)建設(shè)。某市對老商業(yè)中心進(jìn)行改建規(guī)劃，使居民到商業(yè)中心最方便。如果你是規(guī)劃的策劃者，如何建立一個數(shù)學(xué)模型來解決這個問題。分析：首先，應(yīng)對居民到商業(yè)中心“最方便”這句話有個正確的理解?！白罘奖恪笔蔷用竦街行牡目偮烦套疃棠?，還是途經(jīng)的總時間最短?或

6、者是兩者都要考慮?也就是怎樣衡量“方便”程度。這主要憑個人的理解和根據(jù)具體情況采確定。我個人認(rèn)為用途經(jīng)時間的長短來衡量方便程度比較好。因為居民出行有步行、自行車；汽車等多種方式，僅用總路程還不足以表述方便程度。以下也以總時間最少為例來說明怎樣分析問題。下一步很容易想到問題的實(shí)質(zhì)是找一個點(diǎn)，使去商業(yè)中心的居民到此點(diǎn)所用的總時間最短。這樣我們便對所需解決的問題有了大概輪廓，即求點(diǎn)(x，y)，使總時間的目標(biāo)函數(shù)T(x，y)最小。然后著手分析一下求T(x，y)所需要的數(shù)據(jù)和條件。顯然T(x，y)和每天(或一段時間)到商業(yè)中心的人次及各人的途經(jīng)時間有關(guān)。而一居民到商業(yè)中心的時間又和他的出行方式及距離有關(guān)

7、。關(guān)于人次的信息可以從調(diào)查每天到老商業(yè)中心的居民估算。但每個居民到商業(yè)中心的時間卻很不好求。因為居民的住址各不相同且居民數(shù)量很大，而且出行方式也不一樣。作為一個建模者，需找個方法以獲取必要的數(shù)據(jù)和信息。我們抽樣調(diào)查一些居民到商業(yè)中心所用的時間來近似獲取全市居民到商業(yè)中心的平均時間。也可以將城區(qū)劃分成若干個小區(qū)，每個小區(qū)用一點(diǎn)來表示。將該小區(qū)內(nèi)居民到市中心等價于從表示該小區(qū)的那點(diǎn)出發(fā)。再調(diào)查每個小區(qū)的人數(shù)、出行頻率及出行方式所占比例，最后得到我們的目標(biāo)函數(shù)?？傊?，解題的方法不只一種，應(yīng)視所具備的條件而定。如以長遠(yuǎn)的眼光對商業(yè)中心進(jìn)行選址，還應(yīng)和城市規(guī)劃結(jié)合起來。對未來城市的人口分布、人口密度、居

8、民出行方式、頻率和道路的建設(shè)做出預(yù)測，結(jié)合前面的方法來選擇最優(yōu)的商業(yè)中心位置。這雖然較為復(fù)雜，但決不是可望而不可及的，這里就不再詳述了。按理分析3：不同管理模式的最佳選用問題：不同的歷史時期，在不同國家出現(xiàn)過不同的管理模式。如：“金字塔式”從一般員工到最高決策層中間還有許多層次，由下到上各層人數(shù)遞減，下層絕對服從其上層。“矩陣式”以總經(jīng)理和管理委員會統(tǒng)領(lǐng)全局，各生產(chǎn)線設(shè)一名經(jīng)理，全權(quán)負(fù)責(zé)生產(chǎn)、銷售和市場，每個員工只有總經(jīng)理和經(jīng)理兩個上司，各生產(chǎn)線間的配合，由相關(guān)經(jīng)理協(xié)調(diào)?！皩?shí)驗室式”由一名主任總體協(xié)調(diào)，但沒有絕對決定權(quán)，公司決策由集體投票表決，成員活動不完全受集體限制。請建立模型分析各管理模式

9、的適用范圍，評價其優(yōu)缺點(diǎn)，并預(yù)測每種管理模式的發(fā)展前景。分析：這是一個經(jīng)濟(jì)管理方面的問題，涉及比較廣闊的時空領(lǐng)域。經(jīng)濟(jì)管理是目前廣泛存在的一種社會現(xiàn)象。評價某種管理模式的優(yōu)劣有許多指標(biāo)。如何客觀準(zhǔn)確地加以評價，并討論每種模式的應(yīng)用范圍，預(yù)測其發(fā)展前景，都是模型應(yīng)涉及的方面。如何從定性化到定量化便是本模型的關(guān)鍵所在。首先，我們可作出適當(dāng)?shù)募僭O(shè)，分別討論在不同社會制度、區(qū)域經(jīng)濟(jì)下的管理模式。經(jīng)實(shí)際調(diào)查和分析提煉，我們可考慮以下評價指標(biāo)：1整個管理系統(tǒng)工作的秩序性。2管理系統(tǒng)決策的靈活性。3管理系統(tǒng)決策和實(shí)施的快捷性和準(zhǔn)確性。4系統(tǒng)盈利及職工工資福利等。5系統(tǒng)的發(fā)展前景。根據(jù)這些指標(biāo)，可找出實(shí)際管理

10、行為中影響這些因素的條件。諸如：(1)公司的規(guī)模。(2)生產(chǎn)產(chǎn)品更新速度。(3)市場靈敏程度。(4)市場導(dǎo)向程度和對生產(chǎn)方向準(zhǔn)確性要求程度等等。我們應(yīng)抓住關(guān)鍵因素，著重分析其在評價模型中所占的比重。為此，我們可從兩方面入手：(I)建立一有關(guān)管理模式的評價函數(shù)?？山Y(jié)合諸如層次分析法等方法確定各因素所占比重。這是將抽象的經(jīng)濟(jì)政策歸結(jié)為具有一定規(guī)律的數(shù)學(xué)公式的思維方法。用定量指標(biāo)來描述管理模式的優(yōu)劣性。(II）可利用實(shí)際數(shù)據(jù)建立專家系統(tǒng)，構(gòu)成神經(jīng)網(wǎng)格模型，并將模型用于實(shí)際，考察實(shí)際條件，來選擇恰當(dāng)?shù)墓芾砟Ｊ健４送?，還應(yīng)分析模型的靈敏度，討論其在實(shí)際生活中的應(yīng)用，進(jìn)步預(yù)測其發(fā)展前景。案例分析4：輪胎生

11、產(chǎn)方案問題：某汽車輪胎公司能夠生產(chǎn)尼龍和玻璃纖維兩種輪胎，在未來的三個月中將要交付的輪胎數(shù)量如下，日期尼龍輪胎玻璃纖維輪胎六月三十40001000七月三十一80005000八月三十一30005000該公司有兩臺硫化機(jī)，其中一臺惠林硫化機(jī)，一臺雷格爾硫化機(jī)，還有可用來生產(chǎn)這兩種輪胎的全適的模子。在未來的三個月內(nèi)，這兩臺機(jī)器可供使用的生產(chǎn)小時數(shù)如下：日期惠林硫化機(jī)雷格爾硫化機(jī)六月7001500七月300400八月1000300每臺機(jī)器生產(chǎn)每種輪胎的效率以每只輪胎需要多少小時表示如下：質(zhì)地惠林硫化機(jī)雷格爾硫化機(jī)尼龍輪胎0.150.16玻璃纖維輪胎0.120.14該公司管理人員提出以下問題：1)為了以

12、最小的成本來滿足交貨需要，應(yīng)該怎樣安排生產(chǎn)?2)從這一最優(yōu)的生產(chǎn)安排中所得到的總收益是多少?3)一臺新的惠林硫化機(jī)預(yù)定在九月初到達(dá)。如果支付200美元的小費(fèi)，就可以提前在八月二日到達(dá)，這樣八月份就可增加172小時的機(jī)器工作時間。這臺硫化機(jī)到底要不要提前到達(dá)?4)兩臺機(jī)器每年一次的維修檢查安排在何時為宜？分析：通過粗略估算，每只輪胎的成本總是低于售價：所以一般來說，廠家生產(chǎn)越多，獲利越大。但受機(jī)器可提供的生產(chǎn)時間和市場需求量等條件的限制，廠家要達(dá)到最小成本并滿足定貨需求的目標(biāo)，必須制定出合理的生產(chǎn)計劃。那么哪些因素對輪胎成本有影響呢顯然庫存總費(fèi)用和材料總費(fèi)用是關(guān)系成本的直接因素，另外，機(jī)器的生產(chǎn)

13、時間越長所花費(fèi)的生產(chǎn)費(fèi)用也越多，還會抬高成本。關(guān)于生產(chǎn)計劃的安排，我們可以提出以下疑問：(1)制約條件本月機(jī)器可供使用的生產(chǎn)時能滿足月末的供貨需求嗎?(2)制約條件和生產(chǎn)計劃的關(guān)系問題若(1)不能滿足，是否應(yīng)在前一個月或前兩個月多生產(chǎn)一些輪胎呢?考慮存儲費(fèi)用和輪胎生產(chǎn)費(fèi)用，假如要多生產(chǎn)，應(yīng)多生產(chǎn)多少呢?(3)生產(chǎn)計劃兩臺機(jī)器的生產(chǎn)效率有差異，應(yīng)該怎樣分配每月它們生產(chǎn)的輪胎數(shù)量和種類呢?(生產(chǎn)率越高，生產(chǎn)相同數(shù)目的輪胎所需工作時間越少，輪胎生產(chǎn)的總生產(chǎn)費(fèi)用減少從而使成本降低)。讀者還能提出哪些與生產(chǎn)計劃有關(guān)的問題呢?通過解決這些疑問，我們的生產(chǎn)計劃也就逐漸形成了。管理人員提出的第二個問題與第一個

14、問題緊密相關(guān)。因為：總收益=輪胎總售價-輪胎總成本輪胎總售價 輪胎數(shù)量 輪胎價格 。背景材料給出了諸多費(fèi)用和定貨量的值，可以算出總售價，由先前的生產(chǎn)計劃可得到總成本，因而總收益可求。至于第三個問題，我們可不可以看作模型靈敏度問題呢?在所給條件發(fā)生變化的情況下，原來的生產(chǎn)計劃模型是否仍適用?或者，能用相似的建模方法、原則作出一個新的生產(chǎn)計劃嗎?假如上述兩種方案都不能采用，我們應(yīng)著手尋找新的途徑。如果所給條件是機(jī)器提前到達(dá)，那么若在此條件下的最小成本(再附加200美元)比第一個問題中的最小成本高，則可認(rèn)為不必要提前到達(dá)。作進(jìn)一步的思考，現(xiàn)有的兩臺機(jī)器能否滿足生產(chǎn)需求，有沒有必要增加一臺機(jī)器?如果所

15、給條件是定貨量變化，又會怎樣呢?而對于第四個問題，背景材料只給出了六、七和八三個月份的資料，是不是已知條件不足?假如僅就這些材料作檢修安排，我們需不需要做出假設(shè)，比如一年中輪胎需求量、機(jī)器可供使用的工作時間的變化規(guī)律等。在合理的假設(shè)下，作適當(dāng)?shù)木S修檢查安排。案例分析5：血型分布規(guī)律的探討問題：在A、B、O血型系統(tǒng)中各個民族的血型分布情況極不相同。例如：我國漢族B型血所占的比例大約是歐洲人的三倍。那么，血型分布有何規(guī)律。各個國家、地區(qū)、民族的極不相同的血型分布情況又為何能長期穩(wěn)定存在?血型遺傳的簡單常識：在A、B、O血型系統(tǒng)中有三種血型基因A、B、O基因。每個人都具有兩個血型基因，分別取自父母雙

16、親。當(dāng)然每個人都把自身上的血型基因遺傳給子女。如果某人兩個基因全是O型，則血型為O型。如果兩個基因全A(或全B)或一個A(或B)另一個O，則為A(或B)型。如果兩個基因為一個A，一個B，則血型為AB型。下面是北京紅十字中心血站提供的數(shù)據(jù)，試用此組數(shù)據(jù)驗證你的模型的正確性。表1 各民族的血型分布分析：建立此模型的目標(biāo)是說明為什么“極不相同的血型分布情況能夠長期穩(wěn)定存在”。顯然，這是一個用模型驗證解釋客觀情況的例子。在建立模型之前，讀者應(yīng)準(zhǔn)確把握原題的含義?！皹O不相同”、“長期穩(wěn)定”分別是什么意義?讀者可將前者理解為不同地區(qū)、國家、民族的不同血型人口所占總?cè)丝诒壤煌??！伴L期穩(wěn)定”則存在多種可能理

17、解：是前后兩代的穩(wěn)定，還是呈現(xiàn)循環(huán)式穩(wěn)定，抑或有其它意義的穩(wěn)定。再來談?wù)剳?yīng)考慮的因素。我們會想到血型遺傳規(guī)律、目前血型分布狀況、婚配情況、人口遷移、以及血型及戀愛擇偶的相關(guān)性等多方面因素對血型分布的影響。這也許還沒有考慮到所有的因素，但至少包括了我們以為最重要的因素?，F(xiàn)在我們將面臨的下一個問題是，如何合理地取舍、描述這些因素，并在簡化的因素下建立初步的模型。你可以定性地對這些因素對整個問題的影響程度做出判斷，并依據(jù)這種判斷建立一個簡化的、但基本反映實(shí)際情況本質(zhì)的模型。筆者特別推薦的簡化是假設(shè)單民族(國家、地區(qū))的封閉系統(tǒng)，且血型與婚配無關(guān)系，即不論血型，任何兩人結(jié)合可能性相同。案例分析6：證券

18、投資專家系統(tǒng)問題：證券投資作為一種金融技術(shù)，還沒有形成一套完整的理論體系。請讀者設(shè)計一個證券投資的專家系統(tǒng)，要求該專家系統(tǒng)能根據(jù)所提供的影響證券投資的特征因素，輸出盡量優(yōu)化的投資方案。分析：設(shè)計該專家系統(tǒng)模型至少要達(dá)到以下兩個目標(biāo)：一、該專家系統(tǒng)能根據(jù)提供的專家經(jīng)驗進(jìn)行自我學(xué)習(xí)。二、該專家系統(tǒng)能根據(jù)所提供的特征因素，輸出盡量優(yōu)化的、投資方案。模型可以建立以下三個基本結(jié)構(gòu)：1知識獲取部件2知識庫部件3推理機(jī)部件3個部件的相互關(guān)系見下圖：知識獲取部件推理機(jī)部件知識庫部件輸入：專家經(jīng)驗投資方案尾蚴尾蚴尾蚴尾蚴尾蚴尾蚴尾蚴尾蚴輸入：影響證券投資各特征因素 螺宿主知識獲取部件螺宿主知識獲取部件螺宿主知識獲取