CH2-解析函數(shù)(1)

1、1第二章第二章 解析函數(shù)解析函數(shù)基本要求：基本要求：1、掌握復(fù)變函數(shù)求導(dǎo)數(shù)、掌握復(fù)變函數(shù)求導(dǎo)數(shù) 2、掌握解析函數(shù)的判斷及柯西、掌握解析函數(shù)的判斷及柯西-黎曼方程黎曼方程3、初等函數(shù)的定義及性質(zhì)、初等函數(shù)的定義及性質(zhì)2、導(dǎo)數(shù)：、導(dǎo)數(shù)：1可可導(dǎo)導(dǎo)。在在存存在在，則則：稱稱如如果果內(nèi)內(nèi)定定義義在在區(qū)區(qū)域域定定義義：00000)()()(lim,)(zzfzzfzzfDzDzfwz 00000()()()limzzzf zzf zdwfzdzz 1 解解 析析 函函 數(shù)數(shù)比比實(shí)實(shí)變變嚴(yán)嚴(yán)格格。的的方方式式是是任任意意的的注注意意：,z0 ( )Df zD如果在區(qū)域 內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱在 內(nèi)可導(dǎo)?？蓪?dǎo)連續(xù)

2、同實(shí)變函數(shù)一樣，復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)和連續(xù)之間的關(guān)系：同實(shí)變函數(shù)一樣，復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)和連續(xù)之間的關(guān)系：302200( )( )lim( )limlim(2 )2 .zzzf zzf zzzzzzzzz21fz例 ：求的導(dǎo)數(shù)2fz連續(xù)、處處導(dǎo)數(shù)存在/目標(biāo)：判斷函數(shù)的可導(dǎo)性 求導(dǎo)數(shù)。4000()( )lim()2()2lim2limzzzf zzf zzxxyy ixyixyixyixyi zxyO2( )2wf zxyi例 ：判斷函數(shù)：的可導(dǎo)性f (z)=x+2yi的導(dǎo)數(shù)不存在.連續(xù)、不可導(dǎo)5同同。同同，求求導(dǎo)導(dǎo)法法則則與與實(shí)實(shí)變變相相導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)定定義義形形式式與與實(shí)實(shí)變變相相求求導(dǎo)導(dǎo)法法則則：121 (

3、)02 ()3( )( )( )( )4( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )5( )( )6 ( )( )( )( )nncznznf zg zfzg zf zg zfz g zf z g zf zfz g zf z g zg zg zf g zfw g zwg z 、正整數(shù)、17( ),( )( )( ),( )0.fzwf zzwww、其中與是兩個(gè)互為反函數(shù) 的單值函數(shù) 且6 微分：微分：設(shè)函數(shù)w=f (z)在z0可導(dǎo), 則有, 0)(lim0zz其中因此, |(z)z|是|z|的高階無(wú)窮小量, 可忽略而f (z0)z是函數(shù)w=f (z)的改變量w的線性部

4、分, 稱為函數(shù)w=f (z)在點(diǎn)z0的微分, 記作 dw=f (z0) dz如果函數(shù)在z0的微分存在, 則稱函數(shù)函數(shù)f(z)在在z0可微可微.zzzzfz-fzzfw)()( )()(0000( )|zzdwfzdz由此可見(jiàn), 函數(shù)函數(shù)w=f(z)在在z0可導(dǎo)可導(dǎo)與在與在z0可微是等價(jià)的可微是等價(jià)的.如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可微, 則稱 f(z)在D內(nèi)可微.72、解析函數(shù)（全純函數(shù)、正則函數(shù)）為為奇奇點(diǎn)點(diǎn)。不不解解析析在在00)(zzzf000( )( )wf zzf zzz及 的鄰域在內(nèi)點(diǎn) 解析：在處處可導(dǎo)內(nèi)內(nèi)每每一一點(diǎn)點(diǎn)解解析析。在在內(nèi)內(nèi)解解析析：在在區(qū)區(qū)域域DzfD)(可導(dǎo)解析可導(dǎo)解析

5、Z0點(diǎn)區(qū)域D在復(fù)變函數(shù)的研究中，我們更關(guān)心的是函數(shù)的解析性在復(fù)變函數(shù)的研究中，我們更關(guān)心的是函數(shù)的解析性8連續(xù)、可導(dǎo)、解析的關(guān)系：內(nèi)內(nèi)解解析析在在 D)z(f可可導(dǎo)導(dǎo)在在0z)z(f解解析析在在0z)z(f內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在 D)z(f連連續(xù)續(xù)在在0z)z(f高高層層中中層層低低層層922(1) (2) ( )21(3) ( )(4) ( )fzg zxyih zzw zz例 判斷下列函數(shù)的解析性 目標(biāo)：由定義或定理判斷函數(shù)的解析點(diǎn)。10220000000000()()|()()h zzh zzzzzzzz zzz zzzzzzz 2( )h zz1111yizxyikixyzxyikiix 不

6、趨于一個(gè)確定的值. 因此, h(z)=|z|2僅在z=0處可導(dǎo), 而在其他點(diǎn)都不可導(dǎo). 由定義, 它在復(fù)平面內(nèi)處處不解析.11解 因?yàn)閣在復(fù)平面內(nèi)除點(diǎn)z=0外處處可導(dǎo), 且21,dwdzz 所以在除z=0外的復(fù)平面內(nèi), 函數(shù)處處解析, 而z=0是它的奇點(diǎn).1( )w zz12處處都都解解析析。在在處處解解析析有有在在，如如果果定定理理：00)(,)()(),()(),()(:)()(zzgfzgzfzgzfzgzfzzgzf 點(diǎn)點(diǎn)外外，處處處處解解析析。的的分分母母不不為為（兩兩個(gè)個(gè)多多項(xiàng)項(xiàng)式式的的商商）除除有有理理分分式式整整個(gè)個(gè)復(fù)復(fù)平平面面上上解解析析。有有理理函函數(shù)數(shù)（多多項(xiàng)項(xiàng)式式）在在

7、0)()()(10zQzPwzazaazPwnn 使分母為零的點(diǎn)是它的奇點(diǎn)使分母為零的點(diǎn)是它的奇點(diǎn)13( )( , )( , )1( , ), ( , )( , )2-C-R),f zu x yiv x yzxiyu x y v x yz x yuvuvxyyx 定理一：在一點(diǎn)可導(dǎo)的充分必要條件為：（ ）在點(diǎn)可微(可導(dǎo))；（ ）滿足柯西 黎曼(方程：2 函數(shù)解析的條件函數(shù)解析的條件( )( , )( , )1( , ), ( , )2,f zu x yiv x yDu x y v x yDuvuvDCRxyyx 定理二：在區(qū)域 內(nèi)解析的充分必要條件為：）在 內(nèi)可微；）在 內(nèi)滿足方程：14yui

8、yvxvixu)z(f 給給出出了了求求導(dǎo)導(dǎo)公公式式。導(dǎo)導(dǎo)的的方方法法；提提供供了了判判斷斷函函數(shù)數(shù)是是否否可可yvxvyuxu -柯西柯西-黎曼黎曼(Cauchy-Riemann)方程方程將z看作(x,y)的函數(shù)z=x+iy,即 f (z)=f (x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) 假設(shè)是解析函數(shù), 分別對(duì)x求偏導(dǎo)和對(duì)y求偏導(dǎo),由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)得兩個(gè)公式：( )( , )( , )( )( )( )( )( , )( , )( )( )( )xxyyf zdzu x yv x yfzfzifzuivxdxxxf zdzu x yv x yfzfz iifzviuydyyy, 即：, 即：

9、由以上兩式即可得C-R方程1511( ) 2 ( )Re( ) 3( )(cossin )xf zzf zzzf zeyiy例，判斷下列函數(shù)的解析性：（）（ ）（）目標(biāo)：由柯西黎曼方程判斷函數(shù)的解析性。不滿足C-R方程, 所以 f(z) 在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo)、不解析1, 0, 0, 1yvxvyuxu u=x, v=-y,1( )f zz（） 僅當(dāng)x=y=0時(shí), 它們才滿足柯西-黎曼方程，因而函數(shù)僅在z=0可導(dǎo), 但在復(fù)平面內(nèi)任何地方都不解析. u=x2, v=xy2 , 0 , uuvvxyxxyxy，2( )Re( )f zzz（ ）16 u=excos y, v=exsin yyyvyx

10、vyyuyxuxxxxcose,sinesine,cose 柯西-黎曼方程成立, 由于上面四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)的, 所以f(z)在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo), 處處解析, 且有 f (z)=ux+ivx=ex(cos y+isin y)=f(z) 這個(gè)函數(shù)就是指數(shù)函數(shù)ez.3( )(cossin )xf zeyiy（ ）17處處處處解解析析。可可使使：例例)(?,)()(22222zfdcbaydxycxibyaxyxzf 3 ( )0( )fzDf z例 ： 證明 在 內(nèi)常數(shù)00)(yvxvyuxuyuiyvxvixuzf故所以u(píng)=常數(shù), v=常數(shù), 因而f(z)在D內(nèi)是常數(shù).f(z)在D處處可導(dǎo)，故解

11、析，于是有：1812( )( )0( , )( , )f zuivfzu x ycv x yc例4:證明若為解析函數(shù)，且則： 曲線組和互相正交。11221212( )0,0(1) ,0( , )( , )1(2) 0,0000yyyyyyxyxyxxyyyxxyxxxyyyfzviuuvuvu x ycukuv x ycvkvu vCRk ku vuvuvuuvkykxuvv 證明：不全為都不為 ，任一條曲線斜率為：任一條曲線斜率為：利用方程得：兩曲線正交。不妨設(shè)平行與 軸，平行與 軸顯然兩曲線正交（詳見(jiàn)高數(shù)第9章9.4節(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)公式）1910111108642x2468v=101y1086

12、42u=02468uv10101010例如函數(shù)w=z2對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù):u=x2-y2, v=2xy.設(shè) u=c1,v=c2, （分別為z平面上的兩族平行直線）相應(yīng)的有 x2-y2=c1, 2xy=c2（直角坐標(biāo)平面上的兩族分別以直線y=x和坐標(biāo)軸為漸近線的等軸雙曲線）由于w=z2解析，因此它們必互相正交.203 初初 等等 函函 數(shù)數(shù), log , , sin, Ln , , sin ,xxnazaexxezzz本課程針對(duì)實(shí)變函數(shù)中的4個(gè)基本初等函數(shù)：介紹其相應(yīng)的初等復(fù)變函數(shù)：在此基礎(chǔ)上用初等函數(shù)的四則和復(fù)合運(yùn)算得到一般函數(shù)。注注意意性性質(zhì)質(zhì)：周周期期性性、多多值值性性、奇奇偶偶性性、

13、解解析析性性在工程中, 往往是要用復(fù)變函數(shù)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題. 而實(shí)際問(wèn)題中遇到的復(fù)變函數(shù), 通常都是某個(gè)實(shí)變函數(shù)延拓而來(lái)的. 例如實(shí)變函數(shù) f (x)=x2-x+1, 相應(yīng)的復(fù)變函數(shù)就是f (z)=z2-z+1.21exp ,zz e一、指數(shù)函數(shù)： （周期性）( )31( )2( )( )3 Im( )0.zxf zf zfzf zzee定義：滿足 個(gè)條件為指數(shù)函數(shù)： （ ）在復(fù)平面內(nèi)處處解析； （ ）； （ ）時(shí)有( ) exp(cossin )xf zzeyiy|exp|,Arg(exp )2, ()xzezykk其中 為任何整數(shù):( )exp0f zz顯然 exp zze指數(shù)函數(shù)可以用來(lái)表

14、示)sin(cosyiyeexz . exp , 的的符符號(hào)號(hào)只只是是代代替替沒(méi)沒(méi)有有冪冪的的意意義義注注意意zez22加法定理加法定理)exp(expexp2121zzzz 證 , , 222111iyxziyxz 設(shè)設(shè)12expexpzz)sin(cos)sin(cos221121yiyeyiyexx )sincoscos(sin)sinsincos(cos2121212121yyyyiyyyyexx )sin()cos(212121yyiyyexx 12exp()zz2cos2sin21iei2 k i周期為（實(shí)變函數(shù)不具有的性質(zhì)）22zizizee ee指數(shù)函數(shù)的周期性：指數(shù)函數(shù)的周期

15、性：證 , , 222111iyxziyxz 設(shè)設(shè)23例例1 );Re()3(;)2(;) 1 ( , 122zzzieeeiyxz求設(shè)解解zie2)1( )(2iyxie ,)21(2yixe ;22xziee 2)2(ze2)(iyxe ,222xyiyxe ;222yxzee ze1)3(yixe 1,2222yxyiyxxe .cos)Re(22122yxyeeyxxz 24例例2 求出下列復(fù)數(shù)的輻角及輻角主值求出下列復(fù)數(shù)的輻角及輻角主值:22 33 43 4(1); (2); (3); (4)iiiieeee )1( ,21Arg2 kei; 1arg2 ie)2( ,23Arg32

16、 kei; 3arg32 ie3 4(3)Arg42, iek;24arg43 ie3 44Arg42, iek （ ）;24arg43 ie25例例3 的周期的周期求函數(shù)求函數(shù). )( 5zezf 解解,2ikez 的的周周期期是是5)(zezf ikze 25510ikze 的周期是的周期是故函數(shù)故函數(shù).10 )( 5ikezfz ),10(ikzf 26 12121. ( )02. 3. 4. 2zzzzzzzf zeeee eek i處處解析滿足加法定理：周期性：周期為(4)ze 的性質(zhì)：條 問(wèn)題： ？2121)(zzzzee27Ln z二、對(duì)數(shù)函數(shù)：（多值）(0)Lnwez zwz使

17、成立的函數(shù)lnlnargargLnln21, 2zzizzzzkik 對(duì)數(shù)函數(shù)主值：分支：LnlnArgzziz多值！lnarg2zizi k 0 , Ln lnln ,.zxzzx當(dāng)時(shí)的主值是實(shí)變對(duì)數(shù)函數(shù)1. 定義定義28例例4 解解 . )1(Ln , 2Ln 以以及及與與它它們們相相應(yīng)應(yīng)的的主主值值求求 Ln2ln22,k i Ln2 ln2. 的的主主值值就就是是 Ln( 1)ln1Arg( 1) (21) 0, 1, 2,ikik Ln( 1) . i的的主主值值就就是是注意注意: 在實(shí)變函數(shù)中在實(shí)變函數(shù)中, 負(fù)數(shù)無(wú)對(duì)數(shù)負(fù)數(shù)無(wú)對(duì)數(shù), 而復(fù)變數(shù)對(duì)而復(fù)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)是實(shí)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的拓廣數(shù)

18、函數(shù)是實(shí)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的拓廣.29例例5解解. 031 iez解方程解方程 13 ,zei Ln(13 )ziln 132 3iikln223ik(0, 1, 2,)k 302. 性質(zhì)性質(zhì)1212(1) Ln()LnLn,zzzz1122(2) LnLnzLn,zzz(3) (), , , 在除去負(fù)實(shí)軸 包括原點(diǎn) 的復(fù)平面內(nèi) 主值支和其它各分支處處連續(xù) 處處可導(dǎo) 且1(ln ),1(Ln ).zzzz兩端可能取的函數(shù)值的全體是相同的1LnLnLnLnnnznzzzn？ ？31 , ln arg是是單單值值的的內(nèi)內(nèi)的的反反函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)域域zwzezw ln11wdzdedzzdwln|argW

19、hy zz除原點(diǎn)外，在其它點(diǎn)都是連續(xù)的而在原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸上都不連續(xù)(?)性質(zhì)（性質(zhì)（3）的證明）的證明所以除原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸外，在復(fù)平面內(nèi)其它點(diǎn)lnz處處連續(xù)由反函數(shù)求導(dǎo)法則可得由反函數(shù)求導(dǎo)法則可得以上是對(duì)主值支的證明，對(duì)其它各個(gè)分支 ，有類(lèi)似的結(jié)論。321. 乘冪乘冪 , , , Lnabbeaba定義為定義為乘冪乘冪復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)為任意一個(gè)為任意一個(gè)為不等于零的一個(gè)復(fù)數(shù)為不等于零的一個(gè)復(fù)數(shù)設(shè)設(shè) . Lnabbea 即即注意注意: :. , )2arg(lnLn 也也是是多多值值的的因因而而是是多多值值的的由由于于bakaiaa bbaz三、乘冪與冪函數(shù)：、定義：定義： 33abikbaiabeeln2

20、)arg(ln .具有單一的值ba ,0) ,( )2(時(shí)為互質(zhì)的整數(shù)與當(dāng)qqpqpbln(arg2)ln(arg2)lnarg2 ppppppaiakaiakaiaikbqqqqqqaeeee , 個(gè)值具有 qab .) 1( , 2 , 1 , 0 時(shí)相應(yīng)的值即取qk , ) 1 (為整數(shù)時(shí)當(dāng)b)2arg(lnLn kaiababbeea2種特殊情況：種特殊情況： , 無(wú)窮多個(gè)值具有除此以外，ba34LnLnLnLnLnLnLnLn1 e, . :) , ee: eee bbannaaaaaaaabnnananibnaa aa 定義當(dāng) 為正整數(shù) 及分?jǐn)?shù)時(shí)是與 的 次冪及 的 次根的定義是完

21、全一致的 因?yàn)楫?dāng) 為正整數(shù) 時(shí) 根據(jù)定義注意111Lnln| |11) ,arg2arg2eecossinarg2arg2 |cossin,0,1,2,(1).aannnnniibnakakainnakakaiannkn若 是分述有其中35; , bzwza 就就得得到到一一般般的的冪冪函函數(shù)數(shù)為為一一復(fù)復(fù)變變數(shù)數(shù)如如果果. , 1 1nnnnzzwwzzwnnb 的的反反函函數(shù)數(shù)及及數(shù)數(shù)就就分分別別得得到到通通常常的的冪冪函函時(shí)時(shí)與與當(dāng)當(dāng)2. 冪函數(shù)冪函數(shù)36Lnln22( )bbzbzb kibb kif zzeeeze所以： 的多值性取決于的多值性。1111(1) (2) ,1nnnnb

22、znzmbbnnzzn為整數(shù)，為單值，處處解析，；為有理數(shù)有 個(gè)分支多值函數(shù)，除原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸外處處解析，；1(3) bbbbzzbz為一般數(shù)，有無(wú)窮多個(gè)分支，除原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸外處處解析，3. 冪函數(shù)的解析性冪函數(shù)的解析性(單值、有限個(gè)值、無(wú)窮多值單值、有限個(gè)值、無(wú)窮多值)37例例7 72 1 . ii求和的值解解22Ln11e2 2 k iecos(2 2)sin(2 2)kik 0, 1, 2,. k 其中Lniiiie22 iik ie22 ke 0, 1, 2,. k 其中1,bbbbazzbz目標(biāo)：求的值。38例例8 8解解Ln(1)(1)iiiie1ln2224 iik ie 0, 1

23、, 2,. k 其其中中l(wèi)n1(1)iiiArgie 12ln242 kie2411 cosln2sinln222kei ln2.21 )(1 的的輻輻角角的的主主值值為為故故ii 計(jì)算計(jì)算 并求其輻角的主值并求其輻角的主值 (1)ii39四、三角函數(shù)1. 三角函數(shù)三角函數(shù) cossin ,iyeyiy因?yàn)?cossin ,iyeyiy:cos,2iyiyeey所以sin.2iyiyeeyi推廣到自變數(shù)取復(fù)值的情況推廣到自變數(shù)取復(fù)值的情況,定義復(fù)變數(shù)的三角函數(shù)定義復(fù)變數(shù)的三角函數(shù):cos2izizeezsin2izizeezisin tan,coszzz正切函數(shù)cos cot,sinzzz余切

24、函數(shù)1 sec,coszz正割函數(shù)1 csc.sinzz余割函數(shù)40.cos)cos(,sin)sin(zzzz .cos)2cos(,sin)2sin(zzzz 奇偶性周期性.sin)(cos,cos)(sinzzzz 解析性正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都是解析函數(shù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都是解析函數(shù).cos2izizeezsin2izizeezicossinizeziz歐拉公式41有關(guān)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的幾組重要公式有關(guān)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的幾組重要公式 . 1cossin,sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()1(22212121212121zzzzz

25、zzzzzzzzz .sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()2(yixyixyixyixyixyix42例例9 9 . 5sin)( 的的周周期期求求zzf 解解,sin)2sin( zz 因因?yàn)闉?5sin)25sin( zz 所所以以 525sin)25sin( zz又又因因?yàn)闉?5sin525sin zz 所所以以 .52 5sin)( 的的周周期期是是故故zzf43sin0z 例10：解方程 sin0022izizizizizizeezeeieezzkzk 44 不不成成立立但但；一一些些三三角角公公式式仍仍然然成成立立歐歐拉拉公公式式仍仍然然成成立立；在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析；的的周周期期函函數(shù)數(shù)；周周期期為為1cos&1sin, 1cossin)sin(, )cos(sincossincos,cossin2222121 zzzzzzzzzizezzzziz 有有本本質(zhì)質(zhì)的的差差異異有有相相同同的的基基本本性性質(zhì)質(zhì)，但但與與解解釋釋當(dāng)當(dāng)：zxzeeeeziyzyyyiyiiyisinsincoslim22cos)()( 2. 三角函數(shù)性質(zhì)（三角函數(shù)性質(zhì)（5條）：條）：45小結(jié)小結(jié)第二章第二章一一、導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)與與解解析析：、導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)定定義義：10000()()(