二次函數典型例題解析與習題訓練

1、)二次函數一i、知識點梳理2c,b, bx c(ay axxy)0a叫做，1.定義：一般地，如果那么是常數，的二次函數2cbx y ax y.軸的拋物線一次函數的圖像是對稱軸平行于(包括重合)2.2)0,c是常數，a ax bx c(a,by二次函數a>0a<0yyx 0x0(1)拋物線開口向上，并向上無限延伸；bb ,頂點坐標是(2 ()對稱軸是 x=,2a2a2bac 4 ；) a4b )在對稱軸的左側，即當(3x<時，ya2的增大而減??；在對稱軸的右側，隨xb的增大而增大 即當x>x時，y隨2ab (4)拋物線有最低點，當x=y時，有a224ac b y最小值，最

2、小值4a)拋物線開口向下，并向下無限延伸；(ibb ,頂點坐標是2)對稱軸是x=(a22a2ac b4；) 4ab 時，(3)在對稱軸 的左側，即當x<a2隨x的增大而增大；在 對稱軸的右側，b的增大而減小y隨即當 x>x時，a2b y時，(4)拋物線有最高點， 當x=a22b4ac y最大值，最大值a4用待定系數法求二次函數的解析式3. 2ycbx axy x.已知圖像上三點或三對1 () 一般式：、的值，通常選擇一般式.).).)頂點式已知圖像的頂點或對稱軸以及最值，通常選擇頂點 aab求拋物線的頂點、對稱軸的方法a.頂點，對稱軸是直軸的交點坐通常選用交點式交點式已知圖像 ab

3、 ba,由是方的兩個根，aAba中拋物的作決定開口方向及開口大小，開口向下 >,開口向上越大，開口越左同右決定拋物線對稱軸軸時，對稱軸軸左側同號)時，對稱軸(.(異號)時，對稱軸軸右.軸交點的位決定拋物線，拋物線經過原點軸交于正半軸軸交于負半 a軸的交點個決定拋物線個交，個交點).),無交 二、例題解x+m已知：二次函數 y=)寫出它的圖像的開口方向，對稱軸及頂點坐標軸上為何值時，頂點求時二軸交拋物線于另一軸交若拋物線 Aao二次函數的解析式軸的上方，即頂點的縱坐標為正)頂點【分析】)用配方法可以達到目的；的值兩點的縱坐標是相等的，從而可求軸A, 開口向上中，二次項系y=a=1>x

4、+【解答】):由已x+m=又y=+mx .,.對稱軸是直x,頂點坐標為)軸上方):頂點>0, ,頂點的縱坐標大 m軸上方m時，頂點x=, y=)軸交點的坐標即拋物 y=x+A點的縱坐標=x+m=時，解) 中 AB=OABAROAB= ao8, m 1 1 =故所求二次函數的解析式y(tǒng)=x+y=的符號與函數性質及位置的關系是解答【點評】正確理解并掌握二次函數中常b ).)題的關鍵之處的圖+bx+y6x+5=的兩個實數根， m<,拋物2已知是方)，如圖所示)經過（）求這個拋物線的解析式，拋物線的頂軸的另一交點）設）中的拋物線的坐標和BC的面積，試求出軸，與拋物線 P是線。上的一點，過的兩

5、部分點，若直 B把PC分成面積之比請求點的坐 標的值的值.用待定系數法求【分析】 ）解方程求的面積，BO,可求出DM，梯BDB）軸的垂 線軸于點 BCD的面積.割補法可求出23 EH=EP . EP的交點設為 E點，則點E有兩種可能： EH=,（3）PH 與 BC322 6x+5=0【解答】（1）解方程 x, .=5 得 x,x=l2i n=5 由 m<n,有m=1,.）的坐50B （, A5 ）.將（1, 0）, 0A 所以點，B的坐標分別為 A （1,）, B（0,2 x, +bx+c標分別代入y= 4,b b c 0,1 得解這個方程組，得5c c 5 24x+5y= x.一所以拋

6、物線的解析式為 22 x . 4x+5=0y= - x 4x+5 ,令 y=0 ,得 （2）由.，x=1解這個方程，得 x=-5 21 ,9）. ,0）,由頂點坐標公式計算， 得點D（ 2所以點 C的坐標為(一,如圖所示.x軸的垂線交 x軸于M作過D271=S) 52=.貝UX (x 9DMC221 = SX =149+5 X () , 2mdbo 棉衫 2251 .XX =S55=bdca22 ).)22 =14=1 =所+BOBCMDBDM棉)點的坐標為所在的直線方程 y=x+兩點，所B因為線B的交點+4x+與拋物y)與直B的交點坐標a+P那么P), 4a+標 EH 由題意，得，E4a+)

7、 - a+a+ () aa (舍去)解這個方程，E, EHa+) (4a+) - a+ (舍去)aa解這個方程，)點的坐標為()或(這兩個二次函數y=m3已知關的二次函 y=mx兩個不同的點圖像中的一條軸交兩點)試判斷哪個二次函數的圖像經點坐標)，試點坐標為()值取何值時的值兩點的二次函數，)的條件下，對于經)在增大而減小 mx)對于關的二次函 y=【解答】 2<4ac由()軸沒有交點所以此函數的圖像 的二次函對于關 y=m2 ). )=3+4>由4ac (軸有兩個不同的交點所以此函數的圖像兩點的二次函數 y=m故圖像經)代y=m ) (=1+2m=整理， m=解 m=1=y= .

8、 y=, m=時 =解這個方程，)此時，的坐標 ,3=2m=時 y=2 , y=解這個方程，=)的坐標此時，x=y= ) m=時，二次函數，此函數的圖像開口向上，對稱軸 的增大而減小時，函數所以x<,此函數的圖像開口向上，對稱3m=時，二次函數y=2的增大而減小x=,所以x<時，函數但它仍然是反映函不等式有關知識的綜合題【點評本題是一道關于二 次函數與方程這類綜合抓住問題的實質靈活運用所學知識圖像上點的坐標與函數解析式間的關 系并不難解決 課堂習-、 填空題2的圖像，和一次函數 y=mx+n1 .右圖是二次函數 y=ax+bx+c 21. >yy時，x的取值范 圍觀察圖像寫出

9、122）, 767,）, B （, 2Ay=a2.已知拋物線+bx+c經過點（一）.）的另一點的坐標 ,）,則該拋物線上縱坐標為的值 軸相交于點.已知二次函y+2x+）,的對稱軸c=個交點，4x+的圖像.若二次函 丫=軸只的值 ）,.已知拋物y=aa+bx+ 經過點）與（，羽毛球飛行的水.甲，乙兩人進行羽毛球比賽，甲發(fā)出一十分關鍵的球，出手點之間的關系式h距s如下左圖所示與其距地面高1,設乙的起跳表示）扣球的最大高度已知球A距原5,乙（用線C,若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而導致接球失敗的橫坐標 的取值范圍二次函y=軸兩交點之間的距離 2）隨樓層（/.杭州市“安居工程”新建成的一

10、批樓房都層 高，房子的價）都在一個二次），已知點（樓）的變化而變化x=/數的圖像上（如上右圖），樓房子的價格 二、選擇則下列關系式不正確的是y=a+bx+的圖像如圖所示.二次函 4ac>02 （ （5,）.若點 M7c32y=ax10 .已知二次函數 A+bx+c的圖像過點（1,）, B （, 2）, 2的圖像 上，則下列結論 Ky） ,（8,y=ax+bx+cy ）也在二次函數，（），y2,Nl3i2中正確的是（）.)<<<<<<<<a+b+的值的對稱軸 x=且經過1拋物y=a+bx+210 . 11.如圖所示，拋物線的函數表達式是）第1

11、5題(12 題)(9題)（第加m 1CD+x+2yy=+x+2x+2yx+2y=,平移方法是經過平移得平A個單位.向左平移1個單位，再向上平移34y21 .拋物y2個單.向左平個單位，再向下B個單位1個單位，再向下平移3 C.向右平移個單位1個單位，再向上平移 3 D.向右平移2取得最小值，則這個二次函數圖像的頂點在1時，y=xy+bx+3 ,當x= 14.已知二次函數)(D.第四象限B.第二象限C.第三象限A.第一象限22軸交點x+2的一部分圖像如圖所示，那么該拋物線在y15.拋物線y=ax軸右側與+2ax+a )的坐標是(1,0) D. (3, B. (1, 0) C. (20). ( A

12、), 022)的圖像w 0+2x+2 (m是常數，且 m16.在同一直角坐標系中，函數 y=mx+m和丫=mx )可能是AB三、解答題2,拋物線Cy軸于點x(a>0)交軸A , B兩點，交17 .如圖所示，已知拋物線y=ax+4ax+t ) 的坐標為(一E,點B1, 0軸于點的對稱軸交 x (1)求拋物線的對稱軸及點A的坐標；P,你能作(2)過點Cx軸的平行線交拋物線的對稱軸于點判斷四邊形 ABCP是什么四邊形？并證明你的結論；).)+bx+拋物y是方6x+5=的兩個實數根， m<1 .如圖所示)圖像經過)求這個拋物線的解析式， 拋物)中拋物線軸的另一交點)設的面積的坐標和BC的頂點，試求出 B軸，與拋物線交于，若直上的一點，過是線 OPH車通過隧道時車身距隧道壁的的廂式貨車.按規(guī)定,.為設計這條能使上述廂式貨車恰好完全通過的隧0.5m水平距離和鉛直距離最小都是軸，建,而且？其截面是拋物線拱形 ACB19 .某地計劃開鑿一條單向行駛（從正中通過）的隧道，機動?,最高能通過最寬 3m3.5m立如圖所示的直角 AB的垂直平分線為 y軸，線段道，在圖紙上以直線 AB為x . OC坐標系,求拋物線拱形的表達式，隧道的跨度AB和拱高).)y軸的直）2.已知一個二次函數的圖