推理與證明教案

1、富 縣 高 級(jí) 中 學(xué)集體 備課教 案年級(jí)：高二 科目：數(shù)學(xué)授課人：授課時(shí)間： 序號(hào)： 第 節(jié)課題第三章§ 1.1歸納推理第1課時(shí)教學(xué) 目標(biāo)1、掌握歸納推理的技巧，并能運(yùn)用解決實(shí)際問題。2、通過“自主、合作與探究”實(shí)現(xiàn)“一切以學(xué)生為中心”的理念。3、感受數(shù)學(xué)的人文價(jià)值，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使其體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的美感。重點(diǎn)歸納推理及方法的總結(jié)中心發(fā)言人王 曉 君難點(diǎn)歸納推理的含義及其具體應(yīng)用教具課型新授課課時(shí) 安排上課時(shí)教法講練結(jié)合學(xué)法歸納總結(jié)個(gè)人主頁教學(xué)過程教學(xué)一、原理初探引入：“阿基米德曾對(duì)國王說， 給人個(gè)支點(diǎn)，我將撬起整彳地球！”提問：大家認(rèn)為可能嗎？他為何敢令卜如此?？冢坷碛珊卧?/p>

2、？探究：他是怎么發(fā)現(xiàn)“杠桿原理”的？正是基于這兩個(gè)發(fā)現(xiàn)，阿基米德大膽地猜想，然后小心求證，終于發(fā)現(xiàn)了偉大的“杠桿原理”。思考：整個(gè)過程對(duì)你肩什么啟發(fā)？過 啟發(fā)：在教師的引導(dǎo)下歸納出：“科學(xué)離不開生活，離不開程 觀察，也離不開猜想和證明”。觀察 臺(tái) 猜想 川證明 歸納推理的發(fā)展過 二、新課學(xué)習(xí) 1、哥德巴赫猜想哥德巴赫在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)， 每個(gè)不小于6的偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)（只能被和它本身整除的數(shù)）之和。如6 = 3+3, 12=5+7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫（Goldbach）寫信給當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）,提出了以下的猜想：（a） 任何一個(gè)方6之偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。（

3、b）任何一個(gè)方9之奇數(shù)，都可以表示成三個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。這就是著名的哥德巴赫猜想200年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學(xué)皇冠上一顆可望不可及的“明珠”。到了20世紀(jì)20年代，才有人開始向它靠近。1920年、挪威數(shù)學(xué)家布爵用一種古老的篩選法證明，得得出了一個(gè)結(jié)論：每一個(gè)比大的偶數(shù)都可以表示為（99）。這種縮小包圍圈的辦法很管用，科學(xué)家們于是從（9十9）開始，逐步減少每個(gè)數(shù)里所含質(zhì)數(shù)因子的個(gè)數(shù)， 直到最后使每個(gè)數(shù)里都是一個(gè)質(zhì)數(shù)為止，這樣就證明了 “哥德巴赫”。2、數(shù)學(xué)建構(gòu)把從個(gè)別事實(shí)中推演出一般性結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）.注：歸納推理的特點(diǎn)；簡言之，歸納推理是由部分到整體、由

4、特殊到一般的推理。3、師生活動(dòng)例1前提：蛇是用肺呼吸的，鱷魚是用肺呼吸的，海龜是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鱷魚、海龜、蜥蜴都是爬行動(dòng)物.結(jié)論：所有的爬行動(dòng)物都是用肺呼吸的。例2 :前提：三角形的內(nèi)角和是1800,凸四邊形的內(nèi)角和是3600,凸五邊形的內(nèi)角和是 540°,結(jié)論：凸n?邊形的內(nèi)角和是（n2） x180°o,一 22 1 2 2 2 2 2 3例3: 2一,*上上,2。八 探究：述結(jié)論都成立 3 3 1 3 3 2 3 3 3嗎？強(qiáng)調(diào)：歸納推理的結(jié)果不一定成立！“ 一切皆有可能！”三、課堂練習(xí)四、課堂小結(jié)（1）歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理。通

5、常歸 納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題 也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。（2）歸納推理的一般步驟：通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性匠-從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般命題（猜想）證明五、作業(yè)：教后 反 思審核人簽字：富縣高級(jí)中學(xué)集體備課教案年級(jí)：高二 科目：數(shù)學(xué)授課人：授課時(shí)間：序號(hào)： 第 節(jié)課題第三章§ 1.1 類比推理第1課時(shí)教學(xué) 目標(biāo)1、通過對(duì)已學(xué)知識(shí)的回顧，認(rèn)識(shí)類比推理這一種合情推理的基本方法，并把它用于對(duì)問題的發(fā)現(xiàn)中去。2、類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)，類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間

6、的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。3、正確認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)中的重要作用，養(yǎng)成從小開始認(rèn)真觀察事物、分析問題、發(fā)現(xiàn)事物之間的質(zhì)的聯(lián)系的良好個(gè)性品質(zhì)，善于發(fā)現(xiàn)問題，探求新知識(shí)。重點(diǎn)了解合情推理的含義，能利用類比進(jìn)行簡單的推理中心發(fā)言人王曉君難點(diǎn)用類比進(jìn)行推理，做出猜想教具課型新授課課時(shí)安排工課時(shí)教法講練結(jié)合學(xué)法歸納總結(jié)個(gè)人主頁教學(xué)過程教學(xué)過程一 .問題情境從一個(gè)傳說說起：春秋時(shí)代魯國的公輸班(后人稱魯班，被認(rèn) 為是木匠業(yè)的祖師)一次去林中砍樹時(shí)被一株齒形的茅草割破 了手，這樁倒霉事卻使他發(fā)明了鋸子.他的思路是這樣的：茅草是齒形的；茅草能割破手.我需要種能割斷木頭的工具；它也可以是齒形的

7、。這個(gè)推理過程是歸 納推理嗎？二.新課學(xué)習(xí)我們?cè)倏磶讉€(gè)類似的推理實(shí)例。例1、試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。等式的性質(zhì)：猜想不等式的性質(zhì)： a=b*ia+c=b+c;(1) a >b?a+c>b+c; a=b ? ac=bc; (2) a > b ? ac>bc;a=b 療=9;等等。 (3) a> b匕2>b2；等等。問：這樣猜想出的結(jié)論是否一定正確？例2、試將平面上的圓與空間的球進(jìn)行類 比.圓日勺定義：平向內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)日勺距離等十定長日勺點(diǎn)日勺集合.球的定義：到一個(gè)定點(diǎn)的品目離等于定長的點(diǎn)的集合.圓球圓球圓球圓球弦一f 截向圓直徑一f 大圓周長一表面積

8、面沙一體積圓的性質(zhì)球的性質(zhì)圓心與弦（不是直徑）的中點(diǎn)的連線垂直于弦球心與截面圓（不是大圓）的圓點(diǎn)的連線垂直于截面圓與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離/、等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長與球心距離相等的 兩截間圓相等；與 球心距離/、等的兩 截面圓不等，距球 心較近的截面圓較 大圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)球的切向垂直于過 切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過 球心且垂直于切向 的直線必經(jīng)過切點(diǎn)經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過切向的直線必經(jīng)過圓心球心上述兩個(gè)例子均是這種由兩個(gè)（兩類）對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推演出他們?cè)谄渌矫嬉蚕嗨苹蛳嗤?；或其中一類?duì)象

9、的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）.簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.類比推理的一般步驟： 找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似特征；用一類對(duì)象的已知特征去推測另一類對(duì)象的特征，從而得出一個(gè)猜想；檢驗(yàn)猜想。即 1 : : “ 二:觀烝比較工聯(lián)M%（范.想.新納3例3.類比平面內(nèi)直角二角形的勾股定埋 ,試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想.S1個(gè)直角三角形?3個(gè)面兩兩垂直的四面體/0= 90°3個(gè)邊的長度a, b, c2條直角邊a, b和1條斜邊c?/ PD已 / PD打 / ED已 904個(gè)面的面積 S1, S2, S3和；3個(gè)“直角面” S1,S2

10、, S3和面” S三、課堂小結(jié)1.類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。2.類比推理的般步驟：四、作業(yè)布置教后反思審核人簽字：富縣高級(jí)中學(xué)集體備課教案年級(jí)：高二 科目：數(shù)學(xué)授課人：授課時(shí)間：序號(hào)： 第 節(jié)課題第三章§ 2.1直接證明-綜合法第1課時(shí)教學(xué) 目標(biāo)1、結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法之一綜 合法；2、能夠運(yùn)用綜合法證明數(shù)學(xué)問題3、通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作 用，養(yǎng)成言之有理，論證有據(jù)的習(xí)慣。重點(diǎn)了解綜合法的思考過程、特占八、中心發(fā)言人王 曉 君難點(diǎn)用綜合法證明時(shí)的解題過程教具課型新授課課時(shí) 安排上課時(shí)教法講

11、練結(jié)合學(xué)法歸納總結(jié)個(gè)人主頁教一、新課引入1、比較a2+b2與2ab的大小關(guān)系.生：a2 +b2 >2ab。22222學(xué)過程教學(xué)過已知 ：a , b > 0,求證 ：a(b +c )+ b(c +a ) > 4 abc生：討論、交流完成，對(duì)比解答二、新課學(xué)習(xí)1、綜合法：一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、 公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所 要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法。(也形 象地稱為“順推證法”或“由因?qū)Чā?242、2例 2、若實(shí)數(shù) x#1 ,求證：3(1+x +x)>(1+x + x ).程證明：采用差值比較法:_242 23(1 x

12、x ) -(1 x x )二24.24233 3x 3x -1-x - x 2x-2x - 2x 2(x4 -x42 2 3(1 x x ) (1 x x ).例3、已知a,b R：求證aabb之a(chǎn)bba.本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進(jìn)行證明：1)差值比較法：注意到要證的不等式關(guān)于a，b對(duì)稱,不妨設(shè)a -b 0.從而原不等式得證2)商值比較法：設(shè)a -b>0 -x 1)22= 2(x -1) (x x 1)Ga. baa b,a、a_b ,一至 1, a b 至 0,-b-a- = （一） 1.1.bOV b故原/、等式得證。注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法

13、。用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號(hào)。三、課堂練習(xí)四、課堂小結(jié)綜合法的一般思路：五、作業(yè)布置教 后 反 思審核人簽字：富縣高級(jí)中學(xué)集體備課教案年級(jí)：高二 科目：數(shù)學(xué)授課人：授課時(shí)間：序號(hào)： 第 節(jié)課題第三章§ 2.1直接證明一分析法第1課時(shí)教學(xué) 目標(biāo)1、結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的基本方法之二分析法；2、了解分析法的思考過程、特點(diǎn)。3、多讓學(xué)生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析問題和 解決問題的能力；重點(diǎn)了解分析法的思考過程、 特點(diǎn)中心友口人王 曉 君難點(diǎn)分析法的思考過程、特點(diǎn)教具課型新授課課時(shí) 安排。課時(shí)教法講練結(jié)合學(xué)法歸納總結(jié)個(gè)

14、人主頁.新課引入學(xué)過程教學(xué)過程證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，還經(jīng)常從要證的結(jié)論Q出發(fā)，反推回去，尋求保證Q成立的條件，明確 M成立，再去尋求 M成立 的充分條件（利用定理、定義、公理等）； 直到找到一個(gè) 明顯成立的事實(shí)。二.新課學(xué)習(xí)1、分析法：證明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法叫做分析法2、用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：3、分析法的思維特點(diǎn)是：執(zhí)果索因.4、分析法的書寫格式：要證明命題B為真，只需要證明命題B1為真，從而有這只需要證明命題B2為真，從而又有這只

15、需要證明命題 A為真. 而已知A為真，故命題B必 為真.三、例題分析例 1、求證 33 +V7 <2a/5證明：因?yàn)?向十V7和2北都是正數(shù)，所以為了證明<37 ； 2'.5只需證明（國+、1'7）2 <（2痣）2 展開得 10 + 2V,51<20即 2V21 <10,21 <25因?yàn)?1 <25成立，所以（J3+V7）2 <（275）2成立即證明了 石+J7<W5說明：分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的 充分條件，它與綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩種方法-分析法論證“若A則B”這個(gè)命題的模式是：為了證明命題B為真，這只需要

16、證明命題這只需要證明命題 這只需要證明命題 而已知A為真，故B為真，從而有一B2為真，從而又有 A為真B必真在本例中，如果我們從“ 21<25 ”出發(fā)，逐步倒推回去,就可以用綜合法證出結(jié)論。但由于我們很難想到從“21<25”入手，所以用綜合法比較困難。事實(shí)上，在解決問題時(shí)，我們經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合 起來使用：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論， 得到中間結(jié)論Q; 根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件， 得到中間結(jié)論P(yáng)'.若由P可 以推出Q成立，就可以證明結(jié)論成立.下面來看一個(gè)例子.例 4 已知 口，p # 陋 + = (k w Z),且 sin日 +cos日=2sina sin C

17、cosB =sin2 B求證:1 -tan2 ：1 -tan2 :證明： 代入，可得22T； - 01 tan =2(1 tan ：)因?yàn)?sin 8+cos8)2-2sin 8 cos8 =1 ,所以將4sin2 二。2sin2 :另一方面，要證=1.21 - tan -2-1 tan -1 - tan2 :2(1 tan2 '), sin2 ;12即證 Cos2 ：1 sin ; cos2 ;1-sin”cos2 :2(1 sin2 :)cos即證 cos2« -sin2a = - (cos2 P -sin2 P),212 :即證 1-2sin 汽=(1 一2sin 0)

18、，2即證 4sin 2a -2sin 2 B =1。由于上式與相同，于是問題得證。三、課堂練習(xí) 四、課堂小結(jié) 綜合法的一般思路: 五、作業(yè)布置教 后 反 思審核人簽字：富縣高級(jí)中學(xué)集體備課教案年級(jí)：高二 科目：數(shù)學(xué)授課人：授課時(shí)間：序號(hào)： 第 節(jié)課題第三章§ 3接接證明一反證法第1課時(shí)教學(xué) 目標(biāo)合、結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解間接證明的一種基本方法反證法；了 解反證法的思考過程、特點(diǎn)。2、多讓學(xué)生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析問題 和解決問題的能力；3、通過學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。重點(diǎn)了解反證法的思考過程、特點(diǎn)中心友口人王 曉 君難點(diǎn)反證法的思考過程

19、、特點(diǎn)教具課型新授課課時(shí) 安排工課教法講練結(jié)合學(xué)法歸納總結(jié)個(gè)人主頁教學(xué)過程教學(xué)過一.新課引入反證法是一種間接證法，它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反 的假設(shè)，然后，從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過止確的推理，導(dǎo)致矛盾， 從而否定相反的假設(shè)，達(dá)到肯定原命題止確的一種方法。反證法 可以分為歸謬反證法（結(jié)論的反面只有一種）與窮舉反證法（結(jié)論 的反向/、只一種）。用反證法證明一個(gè)命題的步驟，大體上分為： 反設(shè)；（2）歸謬；結(jié)論。二、新課學(xué)習(xí)1、反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些 常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是 /不是；存在/ /、存在;平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大（

20、小） 于/不大（?。┯冢欢际?不都是；至少有一個(gè)/一個(gè)也沒有；至少有n 個(gè)/至多有（n 1）個(gè)；至多有一個(gè)/至少后兩個(gè)；唯一/至少后兩個(gè)。2、歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過程沒有固定的 模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，否則推導(dǎo)將成為無源之水，無本之木。 推理必須嚴(yán)謹(jǐn)。導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相矛盾。三、例題分析例1、已知直線a,b和平面，如果a<Za,buot,且a|b,求 證a |a。下面用反證法證明直線a與平面«沒有公共點(diǎn).假設(shè)直線a與平面a有公共點(diǎn)P,則Pwotl B=b,即點(diǎn)P是直線a與b的公共點(diǎn)，這與a |b矛盾.所以a|> .點(diǎn)評(píng)：線面平行的判定定理：如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直 線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.推理模式：a<Za,b<za,a/b=> a/a .例2、求證：不是有