求導法則與求導公式

1、【精品文檔】如有侵權，請聯系網站刪除，僅供學習與交流求導法則與求導公式.精品文檔.§2.2 求導法則與導數的基本公式教學目標與要求1. 掌握并能運用函數的和、差、積、商的求導法則2. 理解反函數的導數并能應用；3. 理解復合函數的導數并會求復合函數的導數；4. 熟記求導法則以及基本初等函數的導數公式。教學重點與難度1. 會用函數的和、差、積、商的求導法則求導；2. 會求反函數的導數；3. 會求復合函數的導數前面，我們根據導數的定義，求出了一些簡單函數的導數。但是，如果對每一個函數都用定義去求它的導數,有時候將是一件非常復雜或困難的事情。因此，本節(jié)介紹求導數的幾個基本法則和基本初等函數

2、的導數公式。鑒于初等函數的定義，有了這些法則和公式，就能比較方便地求出常見的函數初等函數的導數。一、函數的和、差、積、商求導法則1.函數的和、差求導法則定理1 函數與在點x處可導，則函數在點x處也可導，且 同理可證：即證。注意：這個法則可以推廣到有限個函數的代數和，即即有限個函數代數和的導數等于導數的代數和。例1 求函數的導數解 2.函數積的求導公式定理2 函數與在點x處可導，則函數在點x也可導，且注意：1）特別地，當（c為常數）時，即常數因子可以從導數的符號中提出來。而且將其與和、差的求導法則結合，可得：2）函數積的求導法則，也可以推廣到有限個函數乘積的情形，即例2 求下列函數的導數。1）；

3、 解 2）解 例3 求下列函數的導數1）； 2）解 1）2）3.函數商的求導法則定理3 函數與在點x處可導，且，則函數在點x處也可導，且所以 因為可導,必連續(xù),故,于是注意：特別地，當（c為常數）時，總結：根據上一節(jié)中求出的正弦和余弦的導數公式，可得三角函數的導數為：二、反函數的導數想一想：在基本初等函數中，還有哪些函數沒有求導法則？在基本初等函數中，我們還有反三角函數和指數函數的導數求法沒有討論，如何求呢？易知，反三角函數和指數函數分別是三角函數和對數函數的反函數。能否通過三角函數和對數函數的導數來求反三角函數和指數函數呢？這是可以的，這就是我們下面將要介紹的反函數的導數：定理4 設函數在某

4、一區(qū)間是單調連續(xù)，在區(qū)間任一點x處可導，且，則它的反函數在相應區(qū)間內也處處可導，且或證 因為函數在某一區(qū)間內是單調連續(xù)函數，可知其反函數在相應區(qū)間內也是單調連續(xù)函數。當的反函數的自變量y取得改變量時，由的單調性知，于是又因為連續(xù)，所以當時，。由條件知，所以故或即證。 例6 求下列反三角函數的導數。 1）； 2）；3）； 4）。 例7 求函數的導數。解 由于為對數函數的反函數，根據反函數的導數法則得所以，指數函數的導數公式為特別地，當時，有三、復合函數的求導法則綜上，我們對基本初等函數的導數都進行討論，根據基本初等函數的求導公式，以及求導法則，就可以求一些較復雜的初等函數了。但是，在初等函數的構

5、成過程中，除了四則運算外，還有復合函數形式，例如：。思考：如果，是否有？因此，要完全解決初等函數的求導法則還必須研究復合函數的求導法則。定理 設函數在點x處有導數，函數在對應點u處有導數，則復合函數在點x處也有導數，且簡記為或。（證明略）注意：（1）復合函數的求導法則表明：復合函數對自變量的的導數等于復合函數對中間變量求導乘以中間變量對自變量求導。這種從外向內逐層的求導的方法，形象稱為鏈式法則。（2）復合函數的求導法則可以推廣到有限個中間變量的情形。例如，設，則或（3）在熟練掌握復合函數的求導法則后，求導時不必寫出具體的復合步驟。只需記住哪些變量是自變量，哪些變量是中間變量，然后由外向內逐層依次求導。例8 求函數的導數解 例9 求函數的導數解 例10 求冪函數的導數。例11 求函數的導數。解 例12 求下列函數的導數。1）； 2）。本節(jié)小結通過本節(jié)以及上一節(jié)學習，到目前為止。我們已經學習了全部初等函數的求導公式和函數的求導法則，以及反函數、復合函數、隱函數的求導法則。從而解決了初等函數的求導問題