安工大數(shù)學(xué)建?？荚囎鳂I(yè)答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上作業(yè)11、四腳呈長(zhǎng)方形的椅子在不平的地上能放穩(wěn)嗎？問題分析：把椅子往不平的地面上放，通常是只有三只腳觸地，放不穩(wěn)的，然而，只需要稍微的挪動(dòng)幾次，一般都可以使四只腳同時(shí)觸地。模型假設(shè)：為了使問題數(shù)學(xué)化，可以用建模的思想求解，可做如下三種假設(shè)。 椅子的四條腿長(zhǎng)度一樣，四個(gè)椅腳與地面均點(diǎn)接觸，四角連線呈長(zhǎng)方形。 地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會(huì)出現(xiàn)間斷 (沒有像臺(tái)階那樣的情況)，即從數(shù)學(xué)的角度看，地面是連續(xù)曲面。 地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少有三只腳觸地。模型構(gòu)成：解決問題的關(guān)鍵在于選擇合適的變量，把椅子四只腳同時(shí)著地表示出來。我們很容易注意到，椅腳連線呈長(zhǎng)方形

2、，長(zhǎng)方形是中心對(duì)稱圖形，繞它的對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)后，椅子仍在原地把長(zhǎng)方形繞它的對(duì)稱中心O旋轉(zhuǎn)，這可以表示椅子位置的改變。于是，旋轉(zhuǎn)角度這一變量就表示了椅子的位置。為此，在平面上建立直角坐標(biāo)系來解決問題，其圖形如圖一所示；其次，把椅腳是否著地用數(shù)學(xué)形式表示出來。 圖一 椅子四只腳旋轉(zhuǎn)示意圖 容易得知當(dāng)椅腳與地面的豎直距離為零時(shí)，椅腳就著地了，而當(dāng)這個(gè)距離大于零時(shí)，椅腳不著地。由于椅子在不同的位置是的函數(shù)，因此，椅腳與地面的豎直距離也是的函數(shù)。由于椅子有四只腳，因而椅腳與地面的豎直距離有四個(gè)，它們都是的函數(shù)而由假設(shè)(3)可知，椅子在任何位置至少有三只腳同時(shí)著地，即這四個(gè)函數(shù)對(duì)于任意的，其函數(shù)值至少有三個(gè)

3、同時(shí)為0，因此，只需引入兩個(gè)距離函數(shù)即可。考慮到長(zhǎng)方形ABCD是中心對(duì)稱圖形，繞其對(duì)稱中心 O沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°后，長(zhǎng)方形位置不變，但A,C和B,D對(duì)換了。因此，記A、B兩腳與地面豎直距離之和為，C、D兩腳與地面豎直距離之和為，其中0，從而將原問題數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)模型：已知和是的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，對(duì)任意，0，證明：存在0，使得0成立。 模型求解：1.如果0，那么結(jié)論成立。2.如果與不同時(shí)為零，不妨設(shè)0，0。這時(shí)，將長(zhǎng)方形ABCD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度后，點(diǎn)A，B分別與C，D互換，但長(zhǎng)方形ABCD在地面上所處的位置不變，由此可知，。而由0，0，得0，0。令，由和的連續(xù)性知也是連續(xù)函數(shù)。又0

4、，0，,根據(jù)連續(xù)函數(shù)介值定理，必存在（0，）使得0，即 ；又因?yàn)?，所以0。于是，椅子的四只腳同時(shí)著地，放穩(wěn)了。2、有四個(gè)商人帶四個(gè)隨從過河，船只能容納2人,由人劃。隨從們密約：一旦河的任一岸隨從數(shù)比商人多，就殺商人。但是乘船渡河的方案由商人決定，且商人已獲知該密約，問商人們?cè)鯓影踩^河？（寫出模型即可）問題分析：多步?jīng)Q策過程決策：每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求：在安全的前提下（兩岸的隨從數(shù)不比商人多）目標(biāo)：經(jīng)有限步使全體人員過河模型構(gòu)成： S允許狀態(tài)集合S=(x, y)|x =0, y =0,1,2,3,4; x =4,y =0,1,2,3,4; x =y =1,2,3 D=

5、(u,v)|u+v=1,2允許決策集合 狀態(tài)轉(zhuǎn)移律多步?jīng)Q策問題：作業(yè)2請(qǐng)舉例說明數(shù)學(xué)建模解決工程研究問題（或者實(shí)際生活問題）的例子。有完整的解決過程最好，沒有的話，提出問題也可以（只要你認(rèn)為是可以通過數(shù)學(xué)建模去解決的）通過數(shù)學(xué)建模解決污水處理問題問題說明：如圖1，有若干工廠的污水經(jīng)排污口流入某江，各口均有污水處理站，處理站對(duì)面是居民點(diǎn)，工廠1上游的江水流量和污水濃度、國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的水污染濃度以及各個(gè)工廠的污水流量和污水濃度均為已知。設(shè)污水處理費(fèi)用與污水處理前后的濃度差及污水流量成正比，每單位流量的污水下降一個(gè)濃度單位需要的處理費(fèi)用(稱處理系數(shù))為已知.處理后的污水與江水混合，流到下一個(gè)排污口之

6、前，江水會(huì)使污水濃度降低一個(gè)比例系數(shù)(稱自凈系數(shù)，該系數(shù)可以估計(jì))，試確定各污水處理廠出口的污水濃度在符合國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的條件下為多少時(shí)總費(fèi)用最小。圖1 沿江污水處理點(diǎn)與居民點(diǎn)分布圖對(duì)此問題，我們應(yīng)先建立一般情況的數(shù)學(xué)模型再求具體問題。設(shè)上游江水流量為，污水濃度為，3個(gè)工廠的污水流量均為，污水濃度(從上游到下游排列)分別為100 mg/ L, 60 mg/ L, 50 mg/ L，處理系數(shù)均為1萬(wàn)元/，3個(gè)工廠之間兩段江面的自凈系數(shù)(從上游到下游)分別為0.9和0.6國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定水的污染濃度不能超過。問題分析：將上述情況分為兩個(gè)問題來解決，問題1：使江面上所有地段的污水達(dá)到國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，最少需要花費(fèi)

7、多少？問題2：如果只要求三個(gè)居民點(diǎn)上游的污水達(dá)到國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，最少需要花費(fèi)多少？根據(jù)上文假設(shè)知，三個(gè)工廠污水總量均為，從上游到下游工廠污水濃度分別為100 mg/ L, 60 mg/ L和50 mg/ L，上游流量為，上游污水濃度為，3個(gè)工廠之間的兩段江面的自凈系數(shù)(上游至下游)為0. 9和0. 6.根據(jù)污水處理費(fèi)用與污水處理前后的濃度關(guān)系可以得出，式中：為污水處理費(fèi)用，為處理前后的污水濃度差，為污水流量。由假設(shè)知處理系數(shù)均為1萬(wàn)元，得k= 1，污水經(jīng)工廠處理站處理后與江水混合流入對(duì)面居民點(diǎn)。問題1：如果使江面上所有地段的污水均達(dá)到國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，那么各居民點(diǎn)污水的污染濃度均不得超過國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)()。問題2

8、：要求三個(gè)居民點(diǎn)上游的水污染達(dá)標(biāo)，即江水流入各居民點(diǎn)之前均達(dá)到國(guó)家污水標(biāo)準(zhǔn).在分析過程中作如下假設(shè)：(1)假設(shè)處理前后污水中的雜質(zhì)均勻地分布在水中。(2)假設(shè)污水和江水混合后水的總量不變。(3)假設(shè)除工廠外沒有其他污染源. (4)假設(shè)處理過程不受人為因素的影響。模型的建立與求解：在問題1中，為了得到所在地段水質(zhì)都達(dá)標(biāo)的情況下的費(fèi)用最低方案，得如下方程：式中，分別為工廠1，2，3排出的污水經(jīng)污水處理廠處理后的污水濃度。（1）當(dāng)江水流過工廠1的處理廠時(shí)，江水的濃度為，流量為。問題要求所有地段污水都達(dá)標(biāo)，即排出的污水與江水混合也要達(dá)標(biāo)，也就是說混合后的濃度不超過國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，約束條件為：（2）工廠1的污

9、水與江水混合后濃度變?yōu)椋旌虾蟮慕c工廠2處的污水再混合后的濃度也要達(dá)標(biāo).約束條件為： ( 3)同理，工廠3處混合后的污水濃度達(dá)標(biāo)的約束條件為：(4)考慮到與實(shí)際問題的一致性，處理廠排出的污水濃度，必須小于工廠排出的污水濃度，即，此時(shí)為工廠排出的污水經(jīng)處理廠處理后的濃度(i= 1,2,3)，為處理廠排出的污水與江水混合的后的濃度(i= 1, 2, 3)，利用lingo軟件求解，編寫程序如下：運(yùn)行知，在滿足問題1的要求時(shí)，3個(gè)污水處理廠排出的污水濃度分別是，此時(shí)，污水與江水混合后的濃度分別為，此時(shí)可計(jì)算得出最低費(fèi)用為489.5萬(wàn)元。在問題2中，只要求3個(gè)居民點(diǎn)上游的污水濃度達(dá)到國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，即不需

10、要考慮處理廠排出的污水與江水混合后的濃度，只要在江水流過下一個(gè)居民區(qū)時(shí)，水質(zhì)達(dá)標(biāo)就可以了.可建立如下方程：（1）工廠1的上游水流過居民區(qū)時(shí)，滿足題目要求，即污水與江水混合后，通過江水的自凈功能，到達(dá)居民點(diǎn)2時(shí)水質(zhì)達(dá)標(biāo)就可以。居民點(diǎn)2處的江水濃度的約束條件為：(2)從居民點(diǎn)2處流過的江水與工廠3的處理廠排出的污水混合后水質(zhì)依然要達(dá)標(biāo).即的約束條件為：( 3)與實(shí)際一致，污水與江水混合后的濃度要低于工廠排出的污水濃度，即和的約束條件為：；利用lingo軟件求解，編寫程序如下：運(yùn)行知，滿足問題2的要求時(shí)，污水處理廠1排出的污水濃度為63. 3 mg/ L，污水處理廠2排出的污水濃度為60 mg/ L

11、，而工廠3的污水可不經(jīng)過處理直接排入江中.污水與江水混合后在達(dá)到第二、三個(gè)居民區(qū)時(shí)江水濃度分別為1 mg/ L和0. 78 mg/ L。進(jìn)而計(jì)算得污水處理費(fèi)用為183. 3萬(wàn)元.通過上述污水處理問題的數(shù)學(xué)模型的建立過程可以看到，利用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題的基本過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)軟件相結(jié)合處理實(shí)際問題的方便之處.理解數(shù)學(xué)建模的作用有利于進(jìn)一步推動(dòng)數(shù)學(xué)思想與專業(yè)問題的結(jié)合。參考文獻(xiàn)1 薛毅.數(shù)學(xué)建?；A(chǔ)M北京：北京工業(yè)大學(xué)出版社，2004：3-4.2 李志林，歐宜貴數(shù)學(xué)建模及典型案例分析M北京：化學(xué)工業(yè)出版社,2007: 160-168.3母麗華，周永芳數(shù)學(xué)建模M科學(xué)出版社，20114彭紅軍，

12、張偉，李媛微積分M機(jī)械工業(yè)出版社，20135譚永基等經(jīng)濟(jì)管理數(shù)學(xué)模型案例教程M高等教育出版社，2006作業(yè)3飛機(jī)貨艙分為5個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域的最大載重（噸）及最大容積(米3)如下表所示 最大載重 (噸)最大容積 (米3)貨艙1106800貨艙2127600貨艙3158700貨艙4106800貨艙585300飛機(jī)平衡要求五個(gè)貨艙中實(shí)際載重必須與其最大載重成比例?，F(xiàn)有8種貨物待運(yùn)輸，假定每種貨物可以分割到任意小，可以在一個(gè)或多個(gè)貨艙中任意分布且多種貨物可以混裝，8種貨物信息如下表所示，問如何裝載使本次飛行獲利最大？ 重量 (噸)空間 (米3/噸)利潤(rùn) (元/噸)貨物1106803

13、100貨物2126503800貨物384003000貨物4157004000貨物5235803500貨物6185502800貨物7202001400貨物8123902850此題中已經(jīng)給出假設(shè)：每種貨物可以分割到任意小；每種貨物可以在一個(gè)或多個(gè)貨艙中任意分布；多種貨物可以混裝，并保證不留空隙。模型建立：決策變量：用表示第i種貨物裝入第j個(gè)貨倉(cāng)的重量（噸），i=1，2，3，4，5，6，7，8；j=1，2，3，4，5；決策目標(biāo)可獲得的最大總利潤(rùn)，即目標(biāo)函數(shù)約束條件有以下四個(gè)：供裝載的八種貨物的總重量約束：五個(gè)貨倉(cāng)的重量限制：五個(gè)貨倉(cāng)的空間限制：五個(gè)貨倉(cāng)裝入重量的平衡約束：到這40個(gè)變量都是非負(fù)數(shù)才有

14、實(shí)際意義，即編程得到： 【LINGO命令】  Model:max=3100*(x11+x12+x13+x14+x15)+3800*(x21+x22+x23+x24+x25)+3000*(x31+x32+x33+x34+x35)+4000*(x41+x42+x43+x44+x45)+3500*(x51+x52+x53+x54+x55)+2800*(x61+x62+x63+x64+x65)+1400*(x71+x72+x73+x74+x75)+2850*(x81+x82+x83+x84+x85); x11+x12+x13+x14+x15<=10;x21+x22+x23+x

15、24+x25<=12;x31+x32+x33+x34+x35<=8;x41+x42+x43+x44+x45<=15;x51+x52+x53+x54+x55<=23;x61+x62+x63+x64+x65<=18;x71+x72+x73+x74+x75<=20;x81+x82+x83+x84+x85<=12;x11+x21+x31+x41+x51+x61+x71+x81<=10;x12+x22+x33+x44+x55+x62+x72+x82<=12;x13+x23+x33+x43+x53+x63+x73+x83<=15;x14+x24+

16、x34+x44+x54+x64+x74+x84<=10;x15+x25+x35+x45+x55+x65+x75+x85<=8;680*x11+650*x21+400*x31+700*x41+580*x51+550*x61+200*x71+390*x81<=6800;680*x12+650*x22+400*x32+700*x42+580*x52+550*x62+200*x72+390*x82<=7600;680*x13+650*x23+400*x33+700*x43+580*x53+550*x63+200*x73+390*x83<=8700;680*x14+650*

17、x24+400*x34+700*x44+580*x54+550*x64+200*x74+390*x84<=6800;680*x15+650*x25+400*x35+700*x45+580*x55+550*x65+200*x75+390*x85<=5300;(x11+x21+x31+x41+x51+x61+x71+x81)/10=(x12+x22+x32+x42+x52+x62+x72+x82)/12;(x12+x22+x32+x42+x52+x62+x72+x82)/12=(x13+x23+x33+x43+x53+x63+x73+x83)/15;(x13+x23+x33+x43+x

18、53+x63+x73+x83)/15=(x14+x24+x34+x44+x54+x64+x74+x84)/10;(x14+x24+x34+x44+x54+x64+x74+x84)/10=(x15+x25+x35+x45+x55+x65+x75+x85)/8;x11>=0;x12>=0;x13>=0;x14>=0;x15>=0;x21>=0;x22>=0;x23>=0;x24>=0;x25>=0;x31>=0;x32>=0;x33>=0;x34>=0;x35>=0;x41>=0;x42>=0;x

19、43>=0;x44>=0;x45>=0;x51>=0;x52>=0;x53>=0;x54>=0;x55>=0;x61>=0;x62>=0;x63>=0;x64>=0;x65>=0;x71>=0;x72>=0;x73>=0;x74>=0;x75>=0;x81>=0;x82>=0;x83>=0;x84>=0;x85>=0;endGlobal optimal solution found. Objective value: .0 Infeasibilities:

20、0. Total solver iterations: 34 Variable Value Reduced Cost X11 0. 0. X12 0. 0. X13 0. 55.55556 X14 5. 0. X15 0. 0. X21 6. 0. X22 5. 0. X23 0. 38.88889 X24 0. 0. X25 0. 0. X31 0. 100.0000 X32 0. 100.0000 X33 0. 0. X34 0. 100.0000 X35 0. 100.0000 X41 3. 0. X42 2. 0. X43 0. 66.66667 X44 4. 0. X45 5. 0.

21、 X51 0. 0. X52 4. 0. X53 15.00000 0. X54 0. 0. X55 2. 0. X61 0. 300.0000 X62 0. 300.0000 X63 0. 283.3333 X64 0. 300.0000 X65 0. 300.0000 X71 0. 1700.000 X72 0. 1700.000 X73 0. 1488.889 X74 0. 1700.000 X75 0. 1700.000 X81 0. 250.0000 X82 0. 250.0000 X83 0. 144.4444 X84 0. 250.0000 X85 0. 250.0000 Row

22、 Slack or Surplus Dual Price 1 .0 1. 2 5. 0. 3 0. 700.0000 4 8. 0. 5 0. 900.0000 6 0. 400.0000 7 18.00000 0. 8 20.00000 0. 9 12.00000 0. 10 0. 3100.000 11 0. 0. 12 0. 5257.778 13 0. 3100.000 14 0. 3100.000 15 160.0000 0. 16 0. 0. 17 0. 0. 18 0. 0. 19 0. 0. 20 0. 0. 21 0. 37200.00 22 0. 0. 23 0. 0. 2

23、4 0. 0. 25 0. 0. 26 0. 0. 27 5. 0. 28 0. 0. 29 6. 0. 30 5. 0. 31 0. 0. 32 0. 0. 33 0. 0. 34 0. 0. 35 0. 0. 36 0. 0. 37 0. 0. 38 0. 0. 39 3. 0. 40 2. 0. 41 0. 0. 42 4. 0. 43 5. 0. 44 0. 0. 45 4. 0. 46 15.00000 0. 47 0. 0. 48 2. 0. 49 0. 0. 50 0. 0. 51 0. 0. 52 0. 0. 53 0. 0. 54 0. 0. 55 0. 0. 56 0. 0

24、. 57 0. 0. 58 0. 0. 59 0. 0. 60 0. 0. 61 0. 0. 62 0. 0. 63 0. 0.實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析：第一種貨物裝在第四個(gè)貨倉(cāng)為5噸，第二種貨物裝在第一個(gè)貨倉(cāng)為6.噸，第二種貨物裝在第二個(gè)貨倉(cāng)為5.噸，第四種貨物裝在第一個(gè)貨倉(cāng)為3.噸，第四種貨物裝在第二個(gè)貨倉(cāng)為2.噸，第四種貨物裝在第四個(gè)貨倉(cāng)為4.噸，第四種貨物裝在第五個(gè)貨倉(cāng)為5.噸，第五種貨物裝在第一個(gè)貨倉(cāng)為0.噸，第五種貨物裝在第二個(gè)貨倉(cāng)為4.噸，第五種貨物裝在第三個(gè)貨倉(cāng)為15噸，第五種貨物裝在第四個(gè)貨倉(cāng)為0.噸，第五種貨物裝在第五個(gè)貨倉(cāng)為2.噸。獲得的總利潤(rùn)為.0元。作業(yè)4有四個(gè)工人，要分別指派他

25、們完成四項(xiàng)不同的工作，每個(gè)人做各項(xiàng)工作所消耗的時(shí)間如表。問應(yīng)該如何指派，才能使總的消耗時(shí)間為最小？17232119丁19161726丙18222319乙24211815甲DCBA 工作 所耗時(shí)間 工人模型建立：當(dāng) = 1時(shí)派第 i人去完成第j項(xiàng)工作；當(dāng) = 0時(shí)不指派第 i人去完成第j項(xiàng)工作，= 1,2,3,4。這可以表示為一個(gè)0-1整數(shù)規(guī)劃問題：約束條件：甲乙丙丁四個(gè)人每個(gè)人有且僅能干一樣工作，其約束條件為：ABCD四種工作，每種工作只能一個(gè)人干，其約束條件為：編程得到： 【LINGO命令】 Model:min=15*x11+18*x12+21*x13+24*x14+19

26、*x21+23*x22+22*x23+18*x24+ 26*x31+17*x32+16*x33+19*x34+19*x41+21*x42+23*x43+17*x44; x11+x12+x13+x14=1; x21+x22+x23+x24=1; x31+x32+x33+x34=1; x41+x42+x43+x44=1; x11+x21+x31+x41=1; x12+x22+x32+x42=1; x13+x23+x33+x43=1; x14+x24+x34+x44=1; BIN(x11);BIN(x12);BIN(x13);BIN(x14); BIN(x21);BIN(x22);BIN(x23);

27、BIN(x24); BIN(x31);BIN(x32);BIN(x33);BIN(x34); BIN(x41);BIN(x42);BIN(x43);BIN(x44); end Global optimal solution found. Objective value: 70.00000 Objective bound: 70.00000 Infeasibilities: 0. Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X11 0. 15.00000 X12 1. 18.00000 X13 0. 21.00000 X14 0. 24.00000 X21 1. 19.0