高中數(shù)學(xué)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 33 復(fù)數(shù)的幾何意義習(xí)題 蘇教版選修22

1、第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 3.3 復(fù)數(shù)的幾何意義習(xí)題 蘇教版選修2-2明目標(biāo)、知重點(diǎn)1.了解復(fù)數(shù)的幾何意義，會(huì)用復(fù)平面上的點(diǎn)表示復(fù)數(shù).2.了解復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算的幾何意義.3.掌握用向量的模來(lái)表示復(fù)數(shù)的模的方法1復(fù)數(shù)的幾何意義任何一個(gè)復(fù)數(shù)zabi和復(fù)平面內(nèi)Z(a，b)一一對(duì)應(yīng)，和以原點(diǎn)為起點(diǎn)，以Z(a，b)為終點(diǎn)的向量一一對(duì)應(yīng)2復(fù)數(shù)的模設(shè)zabi，則|z|.3復(fù)平面中兩點(diǎn)的距離兩個(gè)復(fù)數(shù)差的模就是復(fù)平面內(nèi)與這兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離情境導(dǎo)學(xué)我們知道實(shí)數(shù)的幾何意義，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，實(shí)數(shù)可用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示，那么復(fù)數(shù)的幾何意義是什么呢？探究點(diǎn)一復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)思考1實(shí)數(shù)可用數(shù)軸上的點(diǎn)

2、來(lái)表示，類比一下，復(fù)數(shù)怎樣來(lái)表示呢？答任何一個(gè)復(fù)數(shù)zabi，都和一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(a，b)一一對(duì)應(yīng)，因此，復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集可以建立一一對(duì)應(yīng)小結(jié)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸顯然，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)思考2判斷下列命題的真假：在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)于實(shí)數(shù)的點(diǎn)都在實(shí)軸上；在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)于純虛數(shù)的點(diǎn)都在虛軸上；在復(fù)平面內(nèi)，實(shí)軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)；在復(fù)平面內(nèi)，虛軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù)；在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)于非純虛數(shù)的點(diǎn)都分布在四個(gè)象限答根據(jù)實(shí)軸的定義，x軸叫實(shí)軸，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，反過(guò)來(lái)，實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都

3、在實(shí)軸上，如實(shí)軸上的點(diǎn)(2,0)表示實(shí)數(shù)2，因此是真命題；根據(jù)虛軸的定義，y軸叫虛軸，顯然所有純虛數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在虛軸上，如純虛數(shù)5i對(duì)應(yīng)點(diǎn)(0,5)，但虛軸上的點(diǎn)卻不都是純虛數(shù)，這是因?yàn)樵c(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為(0,0)，它所確定的復(fù)數(shù)是z00i0表示的是實(shí)數(shù)，故除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)，所以是真命題，是假命題；對(duì)于非純虛數(shù)zabi，由于a0，所以它對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(a，b)不會(huì)落在虛軸上，但當(dāng)b0時(shí)，z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，故是假命題例 1在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z(m2m2)(m23m2)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(1)在虛軸上；(2)在第二象限；(3)在直線yx上，分別求實(shí)數(shù)m的取值范圍解復(fù)數(shù)z(m2m2)(

4、m23m2)i的實(shí)部為m2m2，虛部為m23m2.(1)由題意得m2m20.解得m2或m1.(2)由題意得，1m0，得m5，所以當(dāng)m5時(shí)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在x軸上方(2)由(m25m6)(m22m15)40，得m1或m，所以當(dāng)m1或m時(shí)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線xy40上探究點(diǎn)二復(fù)數(shù)與向量思考1復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量怎樣建立對(duì)應(yīng)關(guān)系？答當(dāng)向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，該向量可由終點(diǎn)唯一確定，從而可與該終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系思考2怎樣定義復(fù)數(shù)z的模？它有什么意義？答復(fù)數(shù)zabi(a，bR)的模就是向量(a，b)的模，記作|z|或|abi|.|z|abi|可以表示點(diǎn)Z(a，b)到原點(diǎn)的距離例 2已知復(fù)數(shù)z3

5、ai，且|z|4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解方法一z3ai(aR)，|z|，由已知得32a242，a27，a(，)方法二利用復(fù)數(shù)的幾何意義，由|z|4知，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，以4為半徑的圓內(nèi)(不包括邊界)，由z3ai知z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x3上，所以線段AB(除去端點(diǎn))為動(dòng)點(diǎn)Z的集合由圖可知：a，|z1|z2|.探究點(diǎn)三復(fù)數(shù)加減法的幾何意義思考1復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量一一對(duì)應(yīng)，你能從向量加法的幾何意義出發(fā)討論復(fù)數(shù)加法的幾何意義嗎？答如圖，設(shè)，分別與復(fù)數(shù)abi，cdi對(duì)應(yīng)，則有(a，b)，(c，d)，由向量加法的幾何意義(ac，bd)，所以與復(fù)數(shù)(ac)(bd)i對(duì)應(yīng)，復(fù)數(shù)的加法可以按照向量

6、的加法來(lái)進(jìn)行思考2怎樣作出與復(fù)數(shù)z1z2對(duì)應(yīng)的向量？答z1z2可以看作z1(z2)因?yàn)閺?fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來(lái)進(jìn)行所以可以按照平行四邊形法則或三角形法則作出與z1z2對(duì)應(yīng)的向量(如圖)圖中對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z1，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z2，則對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z1z2.例3如圖所示，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O，A，C分別表示0,32i，24i.求：(1)表示的復(fù)數(shù)；(2)對(duì)角線表示的復(fù)數(shù)；(3)對(duì)角線表示的復(fù)數(shù)解(1)因?yàn)?，所以表示的?fù)數(shù)為32i.(2)因?yàn)?，所以?duì)角線表示的復(fù)數(shù)為(32i)(24i)52i.(3)因?yàn)閷?duì)角線，所以對(duì)角線表示的復(fù)數(shù)為(32i)(24i)16i.反思與感悟復(fù)數(shù)的加減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加減法，

7、體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在復(fù)數(shù)中的運(yùn)用跟蹤訓(xùn)練 3已知|z1|z2|z1z2|1，求|z1z2|.解方法一設(shè)z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，|z1|z2|z1z2|1，a2b2c2d21，(ac)2(bd)21.由得2ac2bd1，|z1z2|.方法二設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，z1、z2、z1z2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為A、B、C.|z1|z2|z1z2|1，OAB是邊長(zhǎng)為1的正三角形，四邊形OACB是一個(gè)內(nèi)角為60，邊長(zhǎng)為1的菱形，且|z1z2|是菱形的較長(zhǎng)的對(duì)角線OC的長(zhǎng)，|z1z2|OC|.方法三|z1z2|2|z1z2|22(|z1|2|z2|2)|z1z2|22(|z1|2|z2|2)|z1z2

8、|22(1212)123.|z1z2|.1在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z(m3)2i的點(diǎn)在直線yx上，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)答案9解析z(m3)2i表示的點(diǎn)在直線yx上，m32，解之得m9.2已知復(fù)數(shù)(2k23k2)(k2k)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_答案(1,2)解析復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，即k的取值范圍為(1,2)3若復(fù)數(shù)z11，z22i分別對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)P、Q，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是_答案3i解析P(1,0)，Q(2,1)，(3,1)，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3i.4若|z2|z2|，則|z1|的最小值是_答案1解析由|z2|z2|，知z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是到(2,0)與到(2,0)距離相等的點(diǎn)

9、，即虛軸|z1|表示z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與(1,0)的距離|z1|min1.呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1復(fù)數(shù)的幾何意義有兩種：復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量一一對(duì)應(yīng)2研究復(fù)數(shù)的問(wèn)題可利用復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化思想轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)虛部的問(wèn)題，也可以結(jié)合圖形利用幾何關(guān)系考慮.一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1復(fù)數(shù)zi3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面第_象限答案四解析zi3i，z對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z(，1)在第四象限2當(dāng)0m1時(shí)，z(m1)(m1)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第_象限答案四解析0m0，1m10，故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限內(nèi)3在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)65i，23i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B.若C為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是_答案24i解析A(6,5)，B(2

10、,3)，C為AB的中點(diǎn)，C(2,4)，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為24i.4復(fù)數(shù)|z2i|1代表的曲線為_(kāi)答案以(2,1)為圓心，1為半徑的圓5已知復(fù)數(shù)zai在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，且|z|2，則復(fù)數(shù)z_.答案1i解析因?yàn)閦在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，所以a0，由|z|2知，2，解得a1，故a1，所以z1i.6若復(fù)數(shù)(6k2)(k24)i(kR)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則k的取值范圍是_答案2k或k2解析z位于第三象限，2k或k2.7(1)已知向量與實(shí)軸正向的夾角為45，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z的模為1，求z.(2)若z|z|2，求復(fù)數(shù)z.解(1)設(shè)zabi(a，bR)與x軸正向的夾角為45，|z|1，

11、或，或.zi或zi.(2)z|z|2，z2|z|R，當(dāng)z0時(shí)，|z|z，z1，當(dāng)z0時(shí)，無(wú)解，z1.二、能力提升8已知|z1|，|z2|，|z1z2|2，則|z1z2|_.答案解析|z1z2|2，即|2.228.28323.|z1z2|22223322.|z1z2|.9復(fù)數(shù)1cos isin (2)的模為_(kāi)答案2cos 解析|1cos isin |2|cos |，2，cos 0，|1cos isin |2cos .10已知復(fù)數(shù)z(x1)(2x1)i的模小于，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_答案解析根據(jù)模的定義得，5x26x80，(5x4)(x2)0，x2.11.實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z(m28m15)(m23m28)i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)：(1)位于第四象限；(2)位于x軸負(fù)半軸上；(3)在上半平面(含實(shí)軸)解(1)要使點(diǎn)位于第四象限，須，7m3.(2)要使點(diǎn)位于x軸負(fù)半軸上，須，m4.(3)要使點(diǎn)位于上半平面(含實(shí)軸)，須m23m280，解得m4或m7.12.已知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量為(O