高中數(shù)學(xué)選修統(tǒng)計(jì)案例之線性回歸方程習(xí)題課

1、1相關(guān)關(guān)系的分類從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)；點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān)2線性相關(guān)從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在一條直線附近，則稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫回歸直線3回歸方程(1)最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離平方和最小的方法叫最小二乘法(2)回歸方程：兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回歸方程為x，則，其中，b是回歸方程的斜率，a是在y軸上的截距4樣本相關(guān)系數(shù)r，用它來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量間的線性相

2、關(guān)關(guān)系(1)當(dāng)r0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；(2)當(dāng)r0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)；(3)r的絕對(duì)值越接近1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；r的絕對(duì)值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系通常當(dāng)|r|0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系5線性回歸模型(1)ybxae中，a、b稱為模型的未知參數(shù)；e稱為隨機(jī)誤差(2)相關(guān)指數(shù)用相關(guān)指數(shù)R2來(lái)刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是：R2，R2的值越大，說(shuō)明殘差平方和越小，也就是說(shuō)模型的擬合效果越好在線性回歸模型中，R2表示解釋變量對(duì)預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率，R2越接近于1，表示回歸效果越好規(guī)律(1)函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)

3、系事實(shí)上，函數(shù)關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系注意(1)回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的回歸直線方程才有實(shí)際意義，否則，求出的回歸直線方程毫無(wú)意義(2)線性回歸方程中的截距和斜率都是通過(guò)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)而來(lái)的，存在誤差，這種誤差會(huì)導(dǎo)致預(yù)報(bào)結(jié)果的偏差；而且回歸方程只適用于我們所研究的樣本總體考向一相關(guān)關(guān)系的判斷例1下列選項(xiàng)中，兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的是()A正方形的面積與周長(zhǎng)B勻速行駛車輛的行駛路程與時(shí)間C人的身高與體重D人的身高與視力答案：C例2對(duì)變量x、y有觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i1,2，10)，得散點(diǎn)圖1；

4、對(duì)變量u，v有觀測(cè)數(shù)據(jù)(ui，vi)(i1,2，10)，得散點(diǎn)圖2.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷()A變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C.變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)解析：選C.由題圖1可知，各點(diǎn)整體呈遞減趨勢(shì)，x與y負(fù)相關(guān)，由題圖2可知，各點(diǎn)整體呈遞增趨勢(shì)，u與v正相關(guān)例3下面哪些變量是相關(guān)關(guān)系()A出租車車費(fèi)與行駛的里程 B房屋面積與房屋價(jià)格C身高與體重 D鐵塊的大小與質(zhì)量解析A，B，D都是函數(shù)關(guān)系，其中A一般是分段函數(shù)，只有C是相關(guān)關(guān)系答案C例4.如圖所示，有5組(x，y)數(shù)據(jù)，去掉_組數(shù)據(jù)后，剩下的4組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最大解析：

5、因?yàn)锳、B、C、E四點(diǎn)分布在一條直線附近且貼近某一直線，D點(diǎn)離得遠(yuǎn)答案：D例5對(duì)變量x，y有觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i1,2，10)，得散點(diǎn)圖(1)；對(duì)變量u，v有觀測(cè)數(shù)據(jù)(ui、vi)(i1,2，10)，得散點(diǎn)圖(2)由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷()A變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)解析由題圖(1)可知，各點(diǎn)整體呈遞減趨勢(shì)，x與y負(fù)相關(guān)；由題圖(2)可知，各點(diǎn)整體呈遞增趨勢(shì)，u與v正相關(guān)答案C例6下列關(guān)系屬于線性負(fù)相關(guān)的是()A父母的身高與子女身高的關(guān)系B球的體積與半徑之間的關(guān)系C汽車的重量與汽車每消耗1

6、 L汽油所行駛的平均路程D一個(gè)家庭的收入與支出解析：選C.A、D中的兩個(gè)變量屬于線性正相關(guān)，B中兩個(gè)變量是函數(shù)關(guān)系例7.山東魯潔棉業(yè)公司的科研人員在7塊并排、形狀大小相同的試驗(yàn)田上對(duì)某棉花新品種進(jìn)行施化肥量x對(duì)產(chǎn)量y影響的試驗(yàn)，得到如下表所示的一組數(shù)據(jù)(單位：kg)：施化肥量x15202530354045棉花產(chǎn)量y330345365405445450455(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)判斷是否具有相關(guān)關(guān)系審題視點(diǎn) (1)用x軸表示化肥施用量，y軸表示棉花產(chǎn)量，逐一畫點(diǎn)(2)根據(jù)散點(diǎn)圖，分析兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系解(1)散點(diǎn)圖如圖所示(2)由散點(diǎn)圖知，各組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)大致都在一條直線附近，所以施化肥量

7、x與產(chǎn)量y具有線性相關(guān)關(guān)系 利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量是否有相關(guān)關(guān)系是比較簡(jiǎn)便的方法在散點(diǎn)圖中如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)的曲線上，就用該函數(shù)來(lái)描述變量之間的關(guān)系即變量之間具有函數(shù)關(guān)系如果所有的樣本點(diǎn)落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系；如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系例8. 根據(jù)兩個(gè)變量x，y之間的觀測(cè)數(shù)據(jù)畫成散點(diǎn)圖如圖所示，這兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系_(填“是”與“否”)解析從散點(diǎn)圖看，散點(diǎn)圖的分布成團(tuán)狀，無(wú)任何規(guī)律，所以兩個(gè)變量不具有線性相關(guān)關(guān)系答案否考向二線性回歸方程例9對(duì)有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量建立的回歸直線方程abx中，回歸系數(shù)b()A不能小于

8、0 B不能大于0C不能等于0 D只能小于0解析：選C.b0時(shí)，r0，這時(shí)不具有線性相關(guān)關(guān)系，但b能大于0也能小于0.例10已知回歸方程4.4x838.19，則可估計(jì)x與y的增長(zhǎng)速度之比約為_(kāi)解析：x與y的增長(zhǎng)速度之比即為回歸方程的斜率的倒數(shù).答案：例11某商品銷售量y(件)與銷售價(jià)格x(元/件)負(fù)相關(guān)，則其回歸方程可能是()A.10x200 B.10x200C.10x200 D.10x200解析因?yàn)殇N量與價(jià)格負(fù)相關(guān)，由函數(shù)關(guān)系考慮為減函數(shù)，又因?yàn)閤，y不能為負(fù)數(shù)，再排除C，故選A.答案A例12.下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾

9、組對(duì)照數(shù)據(jù).x3456y2.5344.5(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程x；(3)已知該廠技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？(參考數(shù)值：3×2.54×35×46×4.566.5)審題視點(diǎn) (2)問(wèn)利用公式求、，即可求出線性回歸方程(3)問(wèn)將x100代入回歸直線方程即可解(1)由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點(diǎn)圖如圖所示(2)由對(duì)照數(shù)據(jù)，計(jì)算得：86，4.5(噸)，3.5(噸)已知iyi66.5，所以，

10、由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為：0.7，3.50.7×4.50.35.因此，所求的線性回歸方程為0.7x0.35.(3)由(2)的回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗，得降低的生產(chǎn)能耗為：90(0.7×1000.35)19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤) 在解決具體問(wèn)題時(shí)，要先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，通過(guò)檢驗(yàn)確認(rèn)兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系，若它們之間有線性相關(guān)關(guān)系，再求回歸直線方程例13.為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機(jī)抽取5對(duì)父子的身高數(shù)據(jù)如下：父親身高x/cm174176176176178兒子身高y/cm175175176177177則y對(duì)x的線性回歸方程為()Ayx1

11、Byx1Cy88x Dy176解析由題意得176(cm)，176(cm)，由于(，)一定滿足線性回歸方程，經(jīng)驗(yàn)證知選C.答案C例14.某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份20022004200620082010需求量(萬(wàn)噸)236246257276286(1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程bxa；(2)利用(1)中所求出的直線方程預(yù)測(cè)該地2012年的糧食需求量解(1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間是近似直線上升，下面來(lái)配回歸直線方程，為此對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)處理如下：年份200642024需求量257211101929對(duì)預(yù)處理后的數(shù)據(jù)，容易算得，0，3.2，b6.5

12、，ab3.2.由上述計(jì)算結(jié)果，知所求回歸直線方程為257b(x2 006)a6.5(x2 006)3.2，即6.5(x2 006)260.2.(2)利用直線方程，可預(yù)測(cè)2012年的糧食需求量為65(2 0122 006)260.26.5×6260.2299.2(萬(wàn)噸)例15下列有關(guān)回歸直線方程bxa的敘述正確的是()反映與x之間的函數(shù)關(guān)系；反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系；表示與x之間的不確定關(guān)系；表示最接近y與x之間真實(shí)關(guān)系的一條直線A BC D解析：選D.bxa表示與x之間的函數(shù)關(guān)系，而不是y與x之間的函數(shù)關(guān)系；但它反映的關(guān)系最接近y與x之間的真實(shí)關(guān)系，故選D.例16設(shè)有一個(gè)回歸方程35

13、x，變量x增加一個(gè)單位時(shí)()Ay平均增加3個(gè)單位By平均減少5個(gè)單位Cy平均增加5個(gè)單位Dy平均減少3個(gè)單位解析：選B.5是斜率的估計(jì)值，說(shuō)明x每增加一個(gè)單位，y平均減少5個(gè)單位例17對(duì)兩個(gè)變量y和x進(jìn)行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，則下列說(shuō)法中不正確的是()A由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程x必過(guò)樣本中心(，)B殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好C用相關(guān)指數(shù)R2來(lái)刻畫回歸效果，R2越小，說(shuō)明模型的擬合效果越好D若變量y和x之間的相關(guān)系數(shù)為r0.9362，則變量y和x之間具有線性相關(guān)關(guān)系解析：選C.C中應(yīng)為R2越大擬合效果越好例18已知回歸方程2x1，而

14、試驗(yàn)得到一組數(shù)據(jù)是(2,4.9)，(3,7.1)，(4,9.1)，則殘差平方和是()A0.01 B0.02C0.03 D0.04解析：選C.當(dāng)x2時(shí)，5，當(dāng)x3時(shí)，7，當(dāng)x4時(shí)，9.14.950.1，27.170.1，39.190.1.i2(0.1)2(0.1)2(0.1)20.03.例19下列說(shuō)法：將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差恒不變；回歸方程bxa必過(guò)點(diǎn)(，)；曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間具有相關(guān)關(guān)系；在一個(gè)2×2列聯(lián)表中，由計(jì)算得K213.079，則其兩個(gè)變量間有關(guān)系的可能性是 90%.其中錯(cuò)誤的是_解析：正確由回歸方程的定義及最小二乘法思想，知正確不正確答

15、案：例20在2009年十一國(guó)慶8天黃金周期間，某市物價(jià)部門，對(duì)本市五個(gè)商場(chǎng)銷售的某商品的一天銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，五個(gè)商場(chǎng)的售價(jià)x元和銷售量y件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：價(jià)格x99.51010.511銷售量y1110865通過(guò)分析，發(fā)現(xiàn)銷售量y對(duì)商品的價(jià)格x具有線性相關(guān)關(guān)系，則銷售量y對(duì)商品的價(jià)格x的回歸直線方程為_(kāi)解析：由數(shù)據(jù)表可得10，8，離差x：1，0.5,0，0.5,1；離差y：3,2,0，2，3.3.2，40，回歸直線方程為3.2x40.答案：3.2x40例21在某地區(qū)的1230歲居民中隨機(jī)抽取了10個(gè)人的身高和體重的統(tǒng)計(jì)資料如表：身高(cm)1431561591721651711

16、77161164160體重(kg)41496179686974696854根據(jù)上述數(shù)據(jù)，畫出散點(diǎn)圖并判斷居民的身高和體重之間是否有相關(guān)關(guān)系解：以x軸表示身高，y軸表示體重，可得到相應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示：由散點(diǎn)圖可知，兩者之間具有相關(guān)關(guān)系，且為正相關(guān)12.某農(nóng)科所對(duì)冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日溫差x()101113128發(fā)芽數(shù)y(顆)2325302616該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這5組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對(duì)被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天數(shù)據(jù)的概率；(2)若選取的是12月1日與12月5日的2組數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程x；(3)若由線性回歸方程得到的估