高中數(shù)學(xué)推理與證明 221 綜合法和分析法課時(shí)作業(yè) 新人教版選修22

1、2.2.1綜合法和分析法明目標(biāo)、知重點(diǎn)1了解直接證明的兩種基本方法綜合法和分析法 2理解綜合法和分析法的思考過(guò)程、特點(diǎn)，會(huì)用綜合法和分析法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題1綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法，也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)常用的思維方式2一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法3分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止情境導(dǎo)學(xué)證明對(duì)我們來(lái)說(shuō)并不陌生，我們?cè)谏弦还?jié)學(xué)習(xí)的合情推理，所得的結(jié)論的正確性就是要證明的，并且

2、我們?cè)谝郧暗膶W(xué)習(xí)中，積累了較多的證明數(shù)學(xué)問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，但這些經(jīng)驗(yàn)是零散的、不系統(tǒng)的，這一節(jié)我們將通過(guò)熟悉的數(shù)學(xué)實(shí)例，對(duì)證明數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法形成較完整的認(rèn)識(shí)探究點(diǎn)一綜合法思考1請(qǐng)同學(xué)們證明下面的問(wèn)題，總結(jié)證明方法有什么特點(diǎn)？已知a，b>0，求證：a(b2c2)b(c2a2)4abc.證明因?yàn)閎2c22bc，a>0，所以a(b2c2)2abc.又因?yàn)閏2a22ac，b>0，所以b(c2a2)2abc.因此a(b2c2)b(c2a2)4abc.總結(jié)：此證明過(guò)程運(yùn)用了綜合法綜合法的定義：一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，

3、這種證明方法叫做綜合法思考2綜合法又叫由因?qū)Ч?，其推理過(guò)程是合情推理還是演繹推理？答因?yàn)榫C合法的每一步推理都是嚴(yán)密的邏輯推理，因此所得到的每一個(gè)結(jié)論都是正確的，不同于合情推理中的“猜想”，所以綜合法是演繹推理例1在ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，求證：ABC為等邊三角形證明由A，B，C成等差數(shù)列，有2BAC，由A，B，C為ABC的三個(gè)內(nèi)角，所以ABC.由，得B，由a，b，c成等比數(shù)列，有b2ac，由余弦定理及，可得b2a2c22accos Ba2c2ac，再由，得a2c2acac，即(ac)20，從而ac，所以AC.由，得AB

4、C，所以ABC為等邊三角形反思與感悟綜合法的證明步驟如下：(1)分析條件，選擇方向：確定已知條件和結(jié)論間的聯(lián)系，合理選擇相關(guān)定義、定理等；(2)轉(zhuǎn)化條件，組織過(guò)程：將條件合理轉(zhuǎn)化，書寫出嚴(yán)密的證明過(guò)程跟蹤訓(xùn)練1在ABC中，證明：BC.證明在ABC中，由正弦定理及已知得.于是sin Bcos Ccos Bsin C0，即sin(BC)0，因?yàn)?lt;BC<，從而BC0，所以BC.探究點(diǎn)二分析法思考1回顧一下：基本不等式(a>0，b>0)是怎樣證明的？答要證，只需證ab2，只需證ab20，只需證()20，因?yàn)?)20顯然成立，所以原不等式成立思考2證明過(guò)程有何特點(diǎn)？答從結(jié)論出發(fā)開

5、始證明，尋找使證明結(jié)論成立的條件，最終把要證明的結(jié)論變成一個(gè)顯然成立的條件小結(jié)分析法定義：一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理)為止，這種證明方法叫做分析法思考3綜合法和分析法的區(qū)別是什么？答綜合法是從已知條件出發(fā)，逐步推向未知，每步尋找的是必要條件；分析法是從待求結(jié)論出發(fā)，逐步靠攏已知，每步尋找的是充分條件例2求證：<2.證明因?yàn)楹?都是正數(shù)，所以要證<2，只需證()2<(2)2，展開得102<20，只需證<5，只需證21<25，因?yàn)?1<25成立，所

6、以<2成立反思與感悟當(dāng)已知條件和結(jié)論聯(lián)系不夠明顯、直接，證明中需要用哪些知識(shí)不太明確具體時(shí)，往往采用從結(jié)論出發(fā)，結(jié)合已知條件，用結(jié)論反推的方法跟蹤訓(xùn)練2求證：<(a3)證明方法一要證<，只需證<，只需證()2<()2，只需證2a32<2a32，只需證<，只需證0<2，而0<2顯然成立，所以<(a3)方法二>，<，<.探究點(diǎn)三綜合法和分析法的綜合應(yīng)用思考在實(shí)際證題中，怎樣選用綜合法或分析法？答對(duì)思路清楚，方向明確的題目，可直接使用綜合法；對(duì)于復(fù)雜的題目，常把分析法和綜合法結(jié)合起來(lái)，先用分析法去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；

7、再根據(jù)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論P(yáng).若PQ，則結(jié)論得證例3已知，k(kZ)，且sin cos 2sin ，sin cos sin2. 求證：.證明因?yàn)?sin cos )22sin cos 1，所以將代入，可得4sin22sin21. 另一方面，要證，即證，即證cos2sin2(cos2sin2)，即證12sin2(12sin2)，即證4sin22sin21.由于上式與相同，于是問(wèn)題得證反思與感悟用P表示已知條件、定義、定理、公理等，用Q表示要證明的結(jié)論，則綜合法和分析法的綜合應(yīng)用可用框圖表示為：跟蹤訓(xùn)練3若tan()2tan ，求證：3sin sin(2)證明由tan()2tan 得

8、，即sin()cos 2cos()sin .要證3sin sin(2)，即證3sin()sin()，即證3sin()cos cos()sin sin()cos cos()sin ，化簡(jiǎn)得sin()cos 2cos()sin .這就是式所以，命題成立1已知y>x>0，且xy1，那么()Ax<<y<2xy B2xy<x<<yCx<<2xy<y Dx<2xy<<y答案D解析y>x>0，且xy1，設(shè)y，x，則，2xy，x<2xy<<y，故選D.2欲證<成立，只需證()A()2<

9、()2B()2<()2C()2<()2D()2<()2答案C解析根據(jù)不等式性質(zhì)，a>b>0時(shí)，才有a2>b2，只需證：<，只需證：()2<()2.3求證：<2.解因?yàn)閘ogab，所以左邊log1952log1933log192log195log1932log1923log19(5×32×23)log19360.因?yàn)閘og19360<log193612，所以<2.4已知1，求證：cos sin 3(cos sin )證明要證cos sin 3(cos sin )，只需證3，只需證3，只需證1tan 3(1tan

10、 )，只需證tan ，1，1tan 2tan ，即2tan 1.tan 顯然成立，結(jié)論得證呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1綜合法證題是從條件出發(fā)，由因?qū)Ч?；分析法是從結(jié)論出發(fā)，執(zhí)果索因2分析法證題時(shí)，一定要恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用“要證”、“只需證”、“即證”等詞語(yǔ)3在解題時(shí)，往往把綜合法和分析法結(jié)合起來(lái)使用.一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1已知a，b，cR，那么下列命題中正確的是()A若a>b，則ac2>bc2B若>，則a>bC若a3>b3且ab<0，則>D若a2>b2且ab>0，則<答案C解析對(duì)于A：若c0，則A不成立，故A錯(cuò)；對(duì)于B：若c<0，則B不成立，B錯(cuò)；對(duì)于C：

11、若a3>b3且ab<0，則，所以>，故C對(duì)；對(duì)于D：若，則D不成立2A、B為ABC的內(nèi)角，A>B是sin A>sin B的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案C解析由正弦定理2R，又A、B為三角形的內(nèi)角，sin A>0，sin B>0，sin A>sin B2Rsin A>2Rsin Ba>bA>B.3已知直線l，m，平面，且l，m，給出下列四個(gè)命題：若，則lm；若lm，則；若，則lm；若lm，則.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A1 B2 C3 D4答案B解析若l，m，則l，所以lm，正確；若l

12、，m，lm，與可能相交，不正確；若l，m，l與m可能平行或異面，不正確；若l，m，lm，則m，所以，正確4設(shè)a，bR，且ab，ab2，則必有()A1ab Bab<1<Cab<<1 D.<ab<1答案B解析因?yàn)閍b，故>ab.又因?yàn)閍b2>2，故ab<1，2ab>1，即>1>ab.5已知a，b為非零實(shí)數(shù)，則使不等式：2成立的一個(gè)充分不必要條件是()Aab>0 Bab<0Ca>0，b<0 Da>0，b>0答案C解析與同號(hào)，由2，知<0，<0，即ab<0.又若ab<0，

13、則<0，<0.22，綜上，ab<0是2成立的充要條件，a>0，b<0是2成立的一個(gè)充分而不必要條件6要證明<2，可選擇的方法有很多，最合理的應(yīng)為_答案分析法7設(shè)ab>0，求證：3a32b33a2b2ab2.證明方法一3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2)(ab)因?yàn)閍b>0，所以ab0,3a22b2>0，從而(3a22b2)(ab)0，所以3a32b33a2b2ab2.方法二要證3a32b33a2b2ab2，只需證3a2(ab)2b2(ab)0，只需證(3a22b2)(ab)0，ab>0，ab0,

14、3a22b2>2a22b20，上式成立二、能力提升8已知a、b、cR，且abc0，abc>0，則的值()A一定是正數(shù) B一定是負(fù)數(shù)C可能是0 D正、負(fù)不能確定答案B解析(abc)2a2b2c22(abbcca)0，又abc>0，a，b，c均不為0，a2b2c2>0.abbcca<0，<0.9設(shè)a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系為_答案a>c>b解析a2c22(84)46>0，a>c.>1，c>b.10已知pa(a>2)，q2a24a2(a>2)，則p、q的大小關(guān)系為_答案p>q解析pa222·2

15、4，a24a22(a2)2<2，q<224p.11.如圖所示，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件_時(shí)，有A1CB1D1(注：填上你認(rèn)為正確的一個(gè)條件即可，不必考慮所有可能的情形)答案對(duì)角線互相垂直解析本題答案不唯一，要證A1CB1D1，只需證B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因?yàn)樵撍睦庵鶠橹彼睦庵?，所以B1D1CC1，故只需證B1D1A1C1即可12若1<x<1，1<y<1，求證：()2<1.證明要證明()2<1，只需證明(xy)2<(1xy)2，即x2y22xy<12xyx2y2，只需證明x2

16、y21x2y2<0，只需證明(y21)(1x2)<0，即(1y2)(1x2)>0(*)因?yàn)?<x<1，1<y<1，所以x2<1，y2<1.從而(*)式顯然成立，所以()2<1.13求證：拋物線y22px(p>0)，以過(guò)焦點(diǎn)的弦為直徑的圓必與x相切證明(如圖)作AA、BB垂直于準(zhǔn)線，取AB的中點(diǎn)M，作MM垂直于準(zhǔn)線只需證|MM|AB|.由拋物線的定義：|AA|AF|，|BB|BF|，所以|AB|AA|BB|.因此只需證|MM|(|AA|BB|)，根據(jù)梯形的中位線定理可知上式是成立的所以以過(guò)焦點(diǎn)的弦為直徑的圓必與x相切三、探究與拓展14已知a、b、c是不全相等的正數(shù)，且0<x<1.求