數(shù)學(xué)建模第七章

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第七章  生態(tài)學(xué)模型§7.1 微分方程穩(wěn)定性理論簡(jiǎn)介一 基本概念考慮維空間中的向量值函數(shù)，當(dāng)、時(shí)我們可以將之想象為平面或空間中一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)曲線，它描述質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的位置。許多物理或社會(huì)系統(tǒng)均可以被一組形如的微分方程描述，簡(jiǎn)記為，其中，通常稱之為自治的動(dòng)力系統(tǒng)。稱點(diǎn)為動(dòng)力系統(tǒng)的一個(gè)平衡點(diǎn)，若。這時(shí)為動(dòng)力系統(tǒng)的一個(gè)奇解。平衡點(diǎn)在對(duì)一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)的定性分析中具有特殊的意義，稱動(dòng)力系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是（漸近）穩(wěn)定的，若對(duì)該動(dòng)力系統(tǒng)的任一解，均有。例：求解微分方程組 的平衡點(diǎn)，并討論其穩(wěn)定性。解：很容易該微分方程組的唯一平衡點(diǎn)；

2、由已知微分方程組可以得到，進(jìn)而，對(duì)該微分方程組的任一解，因此，因此平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。讀者可以自己驗(yàn)證是微分方程組的唯一平衡點(diǎn)，但不是穩(wěn)定的。對(duì)于一個(gè)齊次的線性微分方程組（為一階實(shí)方陣），有如下結(jié)果： 定理：若非退化，則是線性動(dòng)力系統(tǒng)唯一平衡點(diǎn)，且平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的充分必要條件為的所有特征值的實(shí)部均小于0。 二 二階方程平衡點(diǎn)的拓?fù)浞诸惻c判別   對(duì)于二維平面中（二階方程）的情形，根據(jù)平衡點(diǎn)的局部拓?fù)湫誀罘譃榻Y(jié)點(diǎn)、焦點(diǎn)、鞍點(diǎn)以及中心等四類，其中鞍點(diǎn)、中心這兩類型的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的，而結(jié)點(diǎn)、焦點(diǎn)類型的平衡點(diǎn)還可以分為穩(wěn)定與不穩(wěn)定的情形，可參照。

3、就二階齊次線性微分方程組（），下表給出其平衡點(diǎn)的類型和穩(wěn)定性：二特征值，平衡點(diǎn)類型穩(wěn)定性，穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)穩(wěn)定，不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定鞍點(diǎn)不穩(wěn)定，穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn)穩(wěn)定，不穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定，穩(wěn)定焦點(diǎn)穩(wěn)定，不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定，中心不穩(wěn)定（其中、分別表示復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部） 對(duì)于一般的非線性微分方程組的討論，由于其平衡點(diǎn)不存在或者存在但并不唯一，因此需引入局部穩(wěn)定的概念：稱動(dòng)力系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是局部（漸近）穩(wěn)定的，若存在，對(duì)該動(dòng)力系統(tǒng)的任一解，只要存在某滿足，均有。而對(duì)平衡點(diǎn)局部（漸近）穩(wěn)定性的判別，只須對(duì)原微分方程的右端項(xiàng)取一階Taylor展式，構(gòu)造線性動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行討論，這里。§7.2 種群

4、競(jìng)爭(zhēng)問(wèn)題：在自然環(huán)境中，生物種群豐富多彩，它們之間通常存在著或是相互競(jìng)爭(zhēng)，或是相互依存，或是弱肉強(qiáng)食等這樣的三種基本關(guān)系。在本章，我們將從穩(wěn)定狀態(tài)的角度，對(duì)具有如上提及的某種關(guān)系的兩個(gè)種群的人口發(fā)展進(jìn)行討論。設(shè)想有兩個(gè)種群為了爭(zhēng)奪有限的同一食物來(lái)源和生活空間時(shí)，從長(zhǎng)遠(yuǎn)的眼光來(lái)審視，其最終結(jié)局是它們中的競(jìng)爭(zhēng)力若的一方首先被淘汰，然后另一方獨(dú)占全部資源而以單種群模式發(fā)展；還是存在某種穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，兩個(gè)物種按照某種規(guī)模構(gòu)成雙方長(zhǎng)期共存？    這里不妨將我們討論的對(duì)象想象為生活在同一草原上的羚羊和老鼠。 一   模型假

5、設(shè)以、表示處于相互競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系中甲、乙二種群在時(shí)刻的數(shù)量，1資源有限，設(shè)為，分別表示甲、乙二種群在單種群情況下自然資源所能承受的最大種群數(shù)量；2種群數(shù)量的增長(zhǎng)率與該種群數(shù)量成正比，同時(shí)也與有閑資源成正比；3各種群在對(duì)所占據(jù)資源的利用上是不充分的，分別表示甲、乙二種群對(duì)對(duì)方以占用資源的相對(duì)挑剔程度，通俗的講，是在對(duì)方用過(guò)的盤子里撿“剩骨頭”。比方，若時(shí)，表示在甲種群看來(lái)，乙種群是“奢侈的”，它可以在乙種群用過(guò)的盤子里撿到“剩骨頭”，若時(shí)，說(shuō)明甲種群在食物選擇上是“過(guò)分”挑剔的，或者可理解為，對(duì)于甲種群，乙種群在資源利用上對(duì)資源有破壞性；換一個(gè)說(shuō)法，反映了甲、乙二種群適應(yīng)能力，越小、越大，則甲種群的相

6、對(duì)適應(yīng)能力越強(qiáng)；4分別表示甲、乙二種群的固有增長(zhǎng)率。  二    模型建立根據(jù)模型假設(shè)，可得如下數(shù)學(xué)模型：經(jīng)化簡(jiǎn)，得： 三   模型求解令，可得該模型的四個(gè)平衡點(diǎn)：、。先討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，為此，將微分方程的右端項(xiàng)以其在的一階Taylor展式取代，構(gòu)造線性動(dòng)力系統(tǒng)，此時(shí)系數(shù)矩陣，其二特征值（，），故是不穩(wěn)定性的（結(jié)點(diǎn)）；就平衡點(diǎn)，將微分方程的右端項(xiàng)以其在的一階Taylor展式取代，構(gòu)造線性動(dòng)力系統(tǒng)，此時(shí)系數(shù)矩陣，其二特征值，當(dāng)且僅當(dāng)，平衡點(diǎn)是（局部）穩(wěn)定的；類似可以得平衡點(diǎn)是（局部）穩(wěn)定的充要條

7、件為；平衡點(diǎn)只有在第一象限內(nèi)方有實(shí)際意義，為此應(yīng)有同時(shí)大于“1”或同時(shí)小于“1”，采用類似的分析，可以得到當(dāng)同時(shí)大于“1”時(shí)，平衡點(diǎn)為一鞍點(diǎn)，是不穩(wěn)定的；當(dāng)同時(shí)小于“1”時(shí)，平衡點(diǎn)為一穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)。§7.3 種群相互依存問(wèn)題：自然界中處于同一環(huán)境下兩個(gè)種群相互依存而共生的現(xiàn)象是很普遍的。比方植物與昆蟲(chóng)，一方面植物為昆蟲(chóng)提供了食物資源，另一方面，盡管植物可以獨(dú)立生存，但昆蟲(chóng)的授粉作用又可以提高植物的增長(zhǎng)率。事實(shí)上，人類與人工飼養(yǎng)的牲畜之間也有類似的關(guān)系。我們關(guān)心兩個(gè)相互依存的種群，它們之間有著類似于在農(nóng)業(yè)社會(huì)中人和牛的關(guān)系。其發(fā)展和演進(jìn)有著一些什么樣的定性性質(zhì)呢？ 一

8、   模型假設(shè)以、表示處于相互依存關(guān)系中甲、乙二種群在時(shí)刻的數(shù)量，1種群數(shù)量的增長(zhǎng)率與該種群數(shù)量成正比，同時(shí)也與有閑資源成正比；2兩個(gè)種群均可以獨(dú)立存在，而可被其直接利用的自然資源有限，均設(shè)為“”，分別表示甲、乙二種群在單種群情況下自然資源所能承受的最大種群數(shù)量；此外，兩種群的存在均可以促進(jìn)另一種群的發(fā)展，我們視之為另一種群發(fā)展中可以利用的資源，為二折算因子，表示一個(gè)單位數(shù)量的乙可以充當(dāng)種群甲的生存資源的量，表示一個(gè)單位數(shù)量的甲可以充當(dāng)種群乙的生存資源的量；3分別表示甲、乙二種群的固有增長(zhǎng)率。 二 模型建立根據(jù)模型假設(shè)，可得如下數(shù)學(xué)模型：經(jīng)化簡(jiǎn)

9、，得： 三 模型求解令，可得該模型的四個(gè)平衡點(diǎn)：、。    類似于在種群競(jìng)爭(zhēng)模型中的討論，我們可以得到平衡點(diǎn)均不穩(wěn)定，而只有當(dāng)時(shí)，平衡點(diǎn)為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，可以論證它是穩(wěn)定的。§7.4 弱肉強(qiáng)食模型問(wèn)題：在自然界中，像生活在草原上的狼和羊，種群之間捕食與被捕食的關(guān)系普遍存在。兩個(gè)弱肉強(qiáng)食的種群，其發(fā)展和演進(jìn)又會(huì)遵循一些什么樣的規(guī)律呢？ 一 模型假設(shè)以、表示處于弱肉強(qiáng)食關(guān)系中甲、乙二種群在時(shí)刻的數(shù)量，1、甲種群只以乙種群為食物資源，為兩個(gè)折算因子，分別表示一個(gè)單位數(shù)量的甲物種維持其正常生存需占用的資

10、源量、一個(gè)單位數(shù)量的乙物種為甲種群提供的資源量；甲種群數(shù)量的增長(zhǎng)率與該種群數(shù)量成正比，同時(shí)也與有閑資源成正比。表示甲種群的固有增長(zhǎng)率；2、乙種群可以獨(dú)立存在，而可被其直接利用的自然資源有限，設(shè)為“”，表示一個(gè)單位數(shù)量的乙物種維持其正常生存需占用的資源量，表示乙種群在單種群情況下自然資源所能承受的最大種群數(shù)量。乙種群數(shù)量的增長(zhǎng)率可以分解為兩部分考慮：其一，不考慮甲種群的影響，乙種群自由發(fā)展，其增長(zhǎng)率與該種群數(shù)量成正比，同時(shí)也與有閑資源成正比，表示甲種群的固有增長(zhǎng)率；其二，由于被甲種群捕食造成乙種群增長(zhǎng)的負(fù)面影響，稱這一部分為被捕殺率，它與甲乙兩個(gè)種群的數(shù)量均正相關(guān)，這里簡(jiǎn)單地設(shè)為服從正比例關(guān)系，比例系數(shù)取為。 二 模型建立根據(jù)模型假設(shè)，可得如下數(shù)學(xué)模型：經(jīng)化簡(jiǎn)，得：  三 模型求解令，可得該模型的三個(gè)平衡點(diǎn)：、。類似于在種群競(jìng)爭(zhēng)模型中的討論，我們可以得到平衡點(diǎn)均不穩(wěn)定；討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，為此，將微分方程的右端項(xiàng)以其在的一階Taylor展式取代，構(gòu)造線性動(dòng)力系統(tǒng)：此時(shí)系數(shù)矩陣，故的。  四 點(diǎn)評(píng)本章介紹了三個(gè)生態(tài)學(xué)模型，盡管所處理的對(duì)象均為多（二）種群系統(tǒng)，但