三棱錐的外接球問題教學(xué)設(shè)計與反思

1、三棱錐的外接球問題教學(xué)設(shè)計與反思福鼎市第六中學(xué)李靖一、課程整合點立體幾何需要有較強的空間想象能力、邏輯推理能力以及作圖能力。教學(xué)中，若依靠傳統(tǒng)的黑板或 PPT講解空間立體幾何問題，學(xué)生往往由于這些能力的不足造成解題困難，而白板，F(xiàn)LASH教學(xué)軟件則可以達(dá)到圖形的自由分解、拖拽、旋轉(zhuǎn)等效果，還可以在課堂上利用作圖工具直接作出標(biāo)準(zhǔn)圖，為研究立體幾何提供了新的思想方法和工具，具有相當(dāng)大 的優(yōu)越性。在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣吸引學(xué)生注意力方面能達(dá)到較好的效果。由于全國卷對立體幾何中球的考察，多以球內(nèi)切或外接于幾何體的形式出現(xiàn)，而三棱 錐外接球的問題是一種常見題型，某些具有垂直關(guān)系的三棱錐又可以化歸成正方體或長

2、方 體，進(jìn)而使求三棱錐外接球的體積問題就轉(zhuǎn)化為正方體或長方體外接球的相關(guān)問題。二、教材分析：(一)教材的地位、作用：本節(jié)課是在高三學(xué)生復(fù)習(xí)完高中數(shù)學(xué)必修2第一章球的表面積和體積公式的基礎(chǔ)上開的一節(jié)專題。由于高考對立體幾何中球的考察，多以球內(nèi)切或外接于幾何體的形式出 現(xiàn)，而三棱錐外接球的問題是一種常見題型，某些具有垂直關(guān)系的三棱錐又可以化歸成正 方體或長方體，進(jìn)而使求三棱錐外接球的體積問題就轉(zhuǎn)化為正方體或長方體外接球的相關(guān) 問題。另外，化歸思想是數(shù)學(xué)中的一種重要思想，通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生更好地體會化 歸的思想方法，感受數(shù)學(xué)的精妙之處。從而豐富學(xué)生的理論體系，體會分析問題、解決問 題的過程。在歷

3、年高考中的選擇、填空題中時有出現(xiàn)，加重了對這一方面的考查。(二)教學(xué)目標(biāo)：1、知識與技能：(1) 了解以正方體或長方體的頂點為頂點的三棱錐的結(jié)構(gòu)特點。(2)能熟練的把具有一些垂直特點的三棱錐化歸成正方體或長方體。并能夠利用正方 體或長方體外接球的特點求出球的體積。(3)啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和創(chuàng)新意識。2、過程與方法：(1)通過對例題的研究求解，歸納總結(jié)，從中體會分析問題、解決問題的過程，培養(yǎng) 其思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。(2)培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和化歸思想方法的運用。(3)激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，鍛煉數(shù)學(xué)品質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。3、情感、態(tài)度與價值觀：課堂

4、中進(jìn)行“師生交流”與“生生交流”，有利于提高學(xué)生的表達(dá)能力和總結(jié)概括的 能力，讓學(xué)生獲得成功的體驗，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。(三)教學(xué)重點：1 .對可劃歸為正方體或長方體的三棱錐結(jié)構(gòu)的認(rèn)識。2 .借助正方體或長方體與球的關(guān)系解決三棱錐外接球的體積問題。3 .可轉(zhuǎn)化為直棱柱，或構(gòu)建直角三角形解決三棱錐外接球的體積問題。教學(xué)難點：把三棱錐化歸成正方體或長方體，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化問題、分析問題的能 力。三、學(xué)法分析：高三年級的學(xué)生經(jīng)過了兩年多的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，已具備一定的分析問題解決問題的能力。但知識體系還不夠完整，運用所學(xué)知識解決問題的能力還有待提高，并且立體幾何一直是 學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難點，很多學(xué)生缺乏空間想象能

5、力，多個幾何體的組合更是難上加難。針 對這一節(jié)課來說，對于特殊的三棱錐可以通過化歸的方法使問題簡化，難題易解。學(xué)生們 通過課堂探討、學(xué)習(xí)，開闊思路，發(fā)散思維，并學(xué)會選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń忸}。四、教法分析：本節(jié)課針對高三年級學(xué)生的認(rèn)知特點，在遵循啟發(fā)式教學(xué)原則的基礎(chǔ)上，借助白板， FLASHY學(xué)軟件，采用以多媒體教學(xué)為主，以討論法、練習(xí)法為輔的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生 探索以正方體或長方體的頂點為頂點的三棱錐的結(jié)構(gòu)特點，由淺入深的研究三棱錐與球相 聯(lián)系的橋梁。本節(jié)課堅持以學(xué)生為主體，教學(xué)中讓學(xué)生自主地“做數(shù)學(xué)”，將傳統(tǒng)意義下的“學(xué) 習(xí)”數(shù)學(xué)改變?yōu)椤把芯俊睌?shù)學(xué)。從而，使傳授知識與培養(yǎng)能力融為一體，在轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方

6、式的同時學(xué)會數(shù)學(xué)地思考。五、教學(xué)過程設(shè)計:教學(xué) 劃、節(jié)教學(xué)程序及設(shè)計設(shè)計意圖復(fù) 習(xí) 回 顧引 入 新 課復(fù)習(xí)回顧：1.球的表面積公式2. 球的體積公式3. 長（方）體體對角線的求法4. 利用正弦定理求三角形外接圓的半徑課程導(dǎo)入引例1:給你一張長為8,寬為6的矩形紙張，沿著一條對角線折登成一個二梭錐，求該三梭錐外接球的表面積？多媒體FLASH動圓展示折疊，與外接與球的過程。讓 學(xué)生感受圖形的變化，激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣。引例2:認(rèn)識幾個特殊的三棱錐，并觀察它與長（正）方體的位置關(guān)系讓學(xué)生在動態(tài)圖中感受，三棱錐與正方體的位置關(guān)系， 并記住幾種特殊的三棱錐。這就是我們今天要研究的內(nèi)容 -三棱錐外接球的問題。

7、復(fù)習(xí)回顧學(xué) 過的相關(guān)公 式和內(nèi)容由它們之間 的相互關(guān)系 引出本節(jié)課 的課題。多媒體的動 回演小，讓學(xué) 生直觀的感 受到三棱錐 的結(jié)構(gòu)特點， 為后面的三 棱錐化歸做 好鋪墊思 考 問 題提出問題，引 發(fā)思考通過問題的 回答，順利的 把三棱錐的 外接球問題 化歸成長方 體的外接球 問題。點明這節(jié)課 的重點。小總結(jié)：把正四 面體補充成一 個正方體，借助 正方體的外接 球來求該四面 體的外接球，進(jìn) 而外接球的體 積和表面積可 解.讓學(xué)生初嘗 勝利的成果。小總結(jié)：把三垂 直模型補充成 正方體或者長 方體，借助正方 體或者長方體 的外接球來求 該四面體的外 接球，進(jìn)而外接 球的體積和表 面積可解.問題1:

8、長方體或正方體的體對角線和體心與它的外接球有什么關(guān)系？問題2:邊長為2的正方體的外接球的表面積為多少？問題3:假如一個正方體的8個頂點都在同一個球的球面上,那任意選出四個頂點，這四個頂點都在該球的球面上嗎 ？問題4:正四面體有什么特征？在正方體中能否切割出一個正四面體？假如能？應(yīng)該怎么切割？問題5:棱長為1的正四面體的外接球的表面積為多少？ 順勢推導(dǎo)正四面體的外接球的半徑公式，體會數(shù)學(xué)的由特殊到一般的思想。由學(xué)生回答，老師利用FLASH1件結(jié)合白板進(jìn)行展示， 并引導(dǎo)學(xué)生觀察三棱錐的結(jié)構(gòu)特點。類型一：正四面體的外接球問題例 1:在等腰梯形 ABCD 中，AB=2CD=2 , / DAB=60 &

9、#176; , E為AB的中點，ADE和4BEC分別沿著ED,EC向上 折起，使A,B重合于點P,則三棱錐P-DCE的外接球的體 積為（部分學(xué)生根據(jù)圖形特點直接判斷出是正四面體，直接套用公式計算，可以表揚并提倡。）類型二：三垂直的四面體的外接球問題例2:三棱錐P-ABC中，側(cè)棱AB,AC,AP兩兩垂直，4ABC ,ACP, 4APB的面積分別為 立 £3但,則該三棱錐的222外接球的表面積為多少？教師演示圖形，介紹三垂直模型的三棱錐結(jié)構(gòu)特點。引導(dǎo) 學(xué)生往長方體方向去思考外接球半徑的求法。 并做完整的板 書示范。類型三：雙垂直的四面體的外接球問題例 3：三棱錐 P-ABC中，PAL平面

10、 ABC, AC ± CB,AC=CB=1 , PA= x,3 ,則該三棱錐的外接球的表面積是多少？教師演示課件圖形，講解雙垂直模型三棱錐的特點，啟 發(fā)學(xué)生聯(lián)想到長方體的結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生朝補成長方體方 向去思考問題，解決問題。（調(diào)板學(xué)生完成，并對完成的情況給予點評。）例4:如圖是一個空間幾何體的三視圖，求該幾何體的外接類型四：一條測棱垂直底面，底面為非直角三角形的四面體的外接球問題例5已知點A,B,C,D,四點在同一個球面上，DAL平面引導(dǎo)學(xué)生，發(fā) 現(xiàn)用長方體 來解決此類 型的問題。并 體驗到“補 形”的優(yōu)越性由學(xué)生動手 作出直觀圖， 并在長方體 中找到符合 條件的三棱 錐，最后由學(xué)

11、生板書過程。 體驗做題過 程，體會成功 的喜悅感。通過練習(xí)進(jìn) 一步加深對 可劃歸三棱 錐結(jié)構(gòu)特點 的認(rèn)識。ABC,DA=AB=AC= <3 , / ABC=60 ° ,貝U 球半徑是小總結(jié)：把此類 模型的三棱錐“補形”成直棱 柱來解決問題。小總結(jié)：此類問 題通過構(gòu)建直 角三角形來處 理。體會數(shù)學(xué)中用 化歸思想解決 問題的思維過 程，并激發(fā)學(xué)生 積極思考。由于忽略了底面沒有直角這個條件，學(xué)生自然的會想到 化歸到長方體來處理該問題。碰壁后，讓他們交流討論。 師生互動，最后往直棱柱去化歸。（利用正弦定理求三角形外接圓的半徑的方法，在解題過程中得到再次的復(fù)習(xí)。）類型五：正三棱錐的外接球

12、問題例6:已知正三棱錐底面邊長為1,側(cè)棱長為2,求外接球 半徑利用正三棱錐的特點，由頂點到底面射影及底面任 一點，組成直角三角形來解決外接球的問題。（放手讓學(xué)生去構(gòu)建直角三角形，去考慮球心的位置，找到合理的解決途徑。）課堂小結(jié) 作業(yè)布置 板書設(shè)計總結(jié)：?1.止方體外接球半徑公式： R = ®?2.長方體外接球半徑公式：R2 = a2 + b2 + c2?3.三種特殊的三棱錐可通過“補體法”轉(zhuǎn)化為正方體或長方體的外接球問題(正四間體，三垂直，雙垂直模型)?4.直棱柱外接球半徑求法：R2 = r2十(h)22?5.正棱錐外接球：R2 =r2 +(h - R)2?6.其他：折疊問題；一般的

13、棱錐等等求二梭錐外接球的問題，要注思觀祭二梭錐的特點，有 些三棱錐可化歸成正方體或長方體，從而轉(zhuǎn)化為正方體或長 方體的外接球的問題，使問題簡化.有些可以補形成直棱柱， 或者構(gòu)建直角三角形來求解。解題時要注意三棱錐的結(jié)構(gòu)特 點選擇合適的方法來解決問題。練習(xí)紙 挑戰(zhàn)外接球提高題(多知道一點)對棱相等的三棱錐的外接球問題已知四間體 A-BCD AB=CD=8,BC=AD=6, AC=BD=10, 求四間體外接球的體積？三棱錐外接球的問題二，講練例題一，復(fù)習(xí)公式多媒體屏幕歸納總結(jié)題型 特點。練習(xí)紙練習(xí)是 本課知識的鞏 固與強化。提高 題是分層教學(xué) 中讓學(xué)有余力 的同學(xué)提升能 力的訓(xùn)練。由于白板的作 用，板書量變 少。幾個重要公 式，及解法過程 保留在黑板，供 學(xué)生隨時記憶。六、教學(xué)反思1 .本節(jié)課借助白板與 FLASH教學(xué)軟件，彌補傳統(tǒng)教學(xué)在直觀感、立體感和動態(tài)感方面的 不足，可以很容易的化解教學(xué)難點、突破教學(xué)重點、提高課堂效率。尤其在三棱錐化歸成正方體或長方體，圖形分解等方面表現(xiàn)出很大的優(yōu)勢。2 .本節(jié)課的設(shè)計，力求體現(xiàn)“以學(xué)生發(fā)展為本”的教學(xué)理念。教學(xué)過程中，以問題為載 體，學(xué)生活動為主線，為學(xué)生提供了探究問題、分析問題、解決問題的活動空間。本節(jié)課中 很多題都由學(xué)生自己