二次函數(shù)幾何最值問題

1、二次函數(shù)與幾何圖形結(jié)合-探究面積最值問題K方法總結(jié)R :在解答面積最值存在性問題時(shí)，具體方法如下：根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)關(guān)系式設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，用其表示出所求圖形的線段長(zhǎng)；觀察所求圖形的面積能不能直接利用面積公式求出，若能，根據(jù)幾何圖形面積公式得到點(diǎn)的坐標(biāo)或線段長(zhǎng)關(guān)于面積的二次函數(shù)關(guān)系式，若所求圖形的面積不能直接利用面積公式求出時(shí)，則需 將所求圖形分割成幾個(gè)可直接利用面積公式計(jì)算的圖形，進(jìn)行求解；結(jié)合已知條件和函數(shù)圖象性質(zhì)求出面積取最大值時(shí)的點(diǎn)坐標(biāo)或字母范圍。(2014?達(dá)州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知點(diǎn) O (0, 0) , A (5, 0) , B (4, 4).(1)求過O、B、A三點(diǎn)的

2、拋物線的解析式.(2)在第一象限的拋物線上存在點(diǎn)M ,使以O(shè)、A、B、M為頂點(diǎn)的四邊形面積最大，求點(diǎn) M的坐標(biāo).(3)作直線x=m交拋物線于點(diǎn)P,交線段OB于點(diǎn)Q,當(dāng)4PQB為等腰三角形時(shí)，求 m的值.2 31_ .(2014自貝)如圖，已知拋物線 y = ax x十c與x軸相交于 A、B兩點(diǎn)，并與直線 y = -x-2交于B、C兩 221點(diǎn)，其中點(diǎn) C是直線y =-x 2與y軸的交點(diǎn)，連接 AC.2(1)求拋物線的解析式；(2)證明：4ABC為直角三角形；(3)評(píng)BC內(nèi)部能否截出面積最大的矩形DEFG?(頂點(diǎn)D、E、F、G在那BC各邊上)若能，求出最大面積；若不能，請(qǐng)說明理由.(2014黔西

3、南州)(16分)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 y=ax2+bx+c 經(jīng)過A ( - 3 , 0)、B (1, 0)、C (0, 3)三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為 D,連接AD,點(diǎn)P是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與 A、D重合)，過點(diǎn)P作y軸 的垂線，垂足點(diǎn)為 E,連接AE.(1)求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x, y) , 4PAE的面積為S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；(3)在(2)的條件下，當(dāng)S取到最大值時(shí)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為F,連接EF,把4PEF沿直線EF折疊， 點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P',求出P'的

4、坐標(biāo)，并判斷P'是否在該拋物線上.mx + n與x軸交于 A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的1 2(2014蘭州)(12分)如圖，拋物線 y= - -x +對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D,已知A ( - 1 , 0) , C (0, 2).(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使4PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在，請(qǐng)說明理由；(3)點(diǎn)E時(shí)線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn) F,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊 形CDBF的面積最大？求出四邊形 CDBF的最大面積及此時(shí) E點(diǎn)的坐標(biāo).(2014?衡陽)二次函數(shù)y=a

5、x，bx+c (a卻)的圖象與x軸的交點(diǎn)為 A (-3, 0)、B (1, 0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C (0, -3m )(其中m >0),頂點(diǎn)為D.(1)求該二次函數(shù)的解析式(系數(shù)用含m的代數(shù)式表示)；(2)如圖，當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)P為第三象限內(nèi)的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè) APC的面積為S,試求出S與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x之間的函數(shù)關(guān)系式及 S的最大值；(3)如圖，當(dāng) m取何值時(shí)，以A、D、C為頂點(diǎn)的三角形與 BOC相似？二次函數(shù)與幾何圖形結(jié)合一探究等腰三角形存在性問題K方法總結(jié)R :在解答面積最值存在性問題時(shí)，具體方法如下：假設(shè)結(jié)論成立；當(dāng)所給條件中沒有說明哪條邊是等腰三角形的底、哪條是腰時(shí)，要對(duì)其

6、進(jìn)行分類討論，假設(shè)某兩條邊相等，等到三種情況；設(shè)未知量，求邊長(zhǎng)，在每種情況下，直接或間接設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，并用所設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)表示出 假設(shè)相等的兩條邊的長(zhǎng)或第三邊的長(zhǎng)；計(jì)算求解，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)或利用勾股定理或相似三角形的性質(zhì)列等量關(guān)系式，根據(jù)等量關(guān)系式求解即可。（2014長(zhǎng)沙）如圖，拋物線y=技+板+m#為吊數(shù)）的對(duì)稱軸為，軸，且經(jīng)過（0,0）, （16）兩點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，以 P為圓心的。P經(jīng)過定點(diǎn)A （0,2）,求見“C的值；（2）求證：點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，O P始終與二軸相交；設(shè)。P與工軸相交于M&用，N （玉，丹（4<4）兩點(diǎn)，當(dāng)那MN為等腰三角形時(shí)，求圓心P的縱坐標(biāo)

7、。(2014?綿陽)如圖，拋物線 y=ax，bx+c (aw0)的圖象過點(diǎn) M (-2, £),頂點(diǎn)坐標(biāo)為 N (- 1,曳至)，3且與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn).(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) PBC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo)；(3)在直線AC上是否存在一點(diǎn) Q,使4QBM的周長(zhǎng)最??？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.(2014?張家界)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線 y=ax2+bx+c (aw0)過O、B、C三點(diǎn)，1824B、C坐標(biāo)分別為(10 , 0)和(5 , - 5 ),以O(shè)B為直徑的。A經(jīng)過C點(diǎn)，直線l

8、垂直x軸于B點(diǎn).(1 )求直線BC的解析式；(2)求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(3)點(diǎn)M是。A上一動(dòng)點(diǎn)(不同于 O, B),過點(diǎn)M作。A的切線，交y軸于點(diǎn)E,交直線l于點(diǎn)F,設(shè)線段ME長(zhǎng)為m , MF長(zhǎng)為n,請(qǐng)猜想m ?n的值，并證明你的結(jié)論；(4)若點(diǎn)P從O出發(fā)，以每秒一個(gè)單位的速度向點(diǎn)B作直線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) Q同時(shí)從B出發(fā)，以相同速度向點(diǎn) C作直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過t (0vtW8)秒時(shí)恰好使 BPQ為等腰三角形，請(qǐng)求出滿足條件的t值.(2014年四川資陽)如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為 A (3, 0),與y軸的交點(diǎn)為B(0, 3),其頂點(diǎn)為C,對(duì)稱軸為x=1 .(1)求拋物線的解析式