數(shù)量關(guān)系公式大全

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第一課 數(shù)字特性及數(shù)列相關(guān)一、整除特性1、 能被常見數(shù)字整除的數(shù)字特性（1） 被2整除特性：偶數(shù)（2） 能被3整除特性：一個數(shù)字每位數(shù)字相加能被3整除?？梢园驯蝗膫€別數(shù)字直接消掉，以減少計算量（3） 被4和25整除特性：只看一個數(shù)字的末兩位能不能被4（25）整除（4） 被5整除特性：末尾是0或5（5） 被6整除特性：兼被2和3整除的特性（6） 被7整除特性：劃分出末尾3位，大數(shù)減小數(shù)除以7，能整除說明這個數(shù)能被7整除（7） 被8和125整除特性：看一個數(shù)的末3位，能被8（125）整除（8） 被9整除特性：一個數(shù)字每位數(shù)字相加能被9整除?？梢园驯蝗膫€別數(shù)字直

2、接消掉，以減少計算量（9） 被11整除：奇數(shù)位的和-偶數(shù)位的和，能被11整除2、 關(guān)于整除的其他注意事項（1） 被合數(shù)整除的數(shù)字，也能被其因數(shù)整除（2） 三個連續(xù)的自然數(shù)之和（積）能被3整除（3） 四個連續(xù)自然數(shù)之和是偶數(shù)，但不能被4整除（4） 平方數(shù)的尾數(shù)只能是0、1、4、5、6、9。二、奇、偶、質(zhì)、合性1、奇偶性奇數(shù)：不能被2整除的整數(shù)偶數(shù)：能被2整除的整數(shù)（0是偶數(shù)）2、 奇數(shù)和偶數(shù)的運算規(guī)律奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)；偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)；奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)3、 質(zhì)合性質(zhì)數(shù)：一個大于1的正整數(shù)

3、，只能被1和它本身整除，那么這個正整數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（質(zhì)數(shù)也稱為素數(shù)），如2、5、7、11、13合數(shù)：一個正整數(shù)除了能被1和它本身整除外，還能被其他的正整數(shù)整除，這樣的正整數(shù)叫做合數(shù)1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)4、 方法技巧及規(guī)律（1） 兩個連續(xù)的自然數(shù)之和（或差）必為奇數(shù)。（2） 兩個連續(xù)自然數(shù)之積必為偶數(shù)。（3） 乘方運算后，數(shù)字的奇偶性不變。（4） 2是唯一一個為偶數(shù)的質(zhì)數(shù)如果兩個質(zhì)數(shù)的和（或差）是奇數(shù)，那么其中必有一個是2如果兩個質(zhì)數(shù)的積是偶數(shù)，那么其中必有一個是2三、公倍數(shù)、公約數(shù)(往往考察周期性問題)四、余數(shù)問題基本形式：被除數(shù)=除數(shù)×商余數(shù)（都是正整數(shù)）1、 同余定義兩個整數(shù)a、b

4、除以自然數(shù)m(m1)，所得余數(shù)相同，則稱整數(shù)a、b對自然數(shù)m同余。2、 四種?？夹问剑河嗤∮唷⒑屯雍?，差同減差，最小公倍數(shù)做周期。（1） 余同取余，公倍數(shù)做周期：一個數(shù)除以幾個不同的數(shù)，余數(shù)相同，則這個數(shù)可以表示成這幾個除數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)與余數(shù)相加的形式。（2） 和同加和，公倍數(shù)做周期：一個數(shù)除以幾個不同的數(shù)，除數(shù)與余數(shù)之和相同，則這個數(shù)可以表示成這幾個除數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)與該和相加的形式。（3） 差同減差，公倍數(shù)做周期：一個數(shù)除以幾個不同的數(shù)，除數(shù)與余數(shù)之差相同，則這個數(shù)可以表示成這幾個除數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)與該差相減的形式。（4） 如果三個不符合口訣，先兩個結(jié)合，再跟第三結(jié)合五、

5、尾數(shù)乘方問題尾數(shù)變化規(guī)律：底數(shù)留個位，指數(shù)除4留余數(shù)，余數(shù)為0轉(zhuǎn)成4六、數(shù)的拆分與重排數(shù)的拆分是將一個數(shù)拆分成幾個因數(shù)相乘或者相加的形式，經(jīng)常需要綜合應(yīng)用整除性質(zhì)、奇偶性質(zhì)、因式分解、同余理論等解答數(shù)字的重排問題時，經(jīng)常需要借助于尾數(shù)法進行考慮、判斷，同時可以利用列方程法、代入法、假設(shè)法等一些方法，進行快速求解。七、不定方程未知數(shù)個數(shù)多于方程個數(shù)叫做不定方程。通常只考慮他的整數(shù)解或正整數(shù)解。常用解法有：綜合利用整數(shù)的奇偶性，質(zhì)合性、整除特性、尾數(shù)法、余數(shù)特性、特殊之法、代入排除法等多種數(shù)學(xué)知識得到答案。八、數(shù)列（等差與等比）（1） 等差數(shù)列：求和公式（上底下底×高÷2）、中

6、位數(shù)求和公式（重點）。（2） 等比數(shù)列：an=a1q(n-1)第二課 終極比例法 比例就是數(shù)量之間的對比關(guān)系，或指一種事物在整體中所占的分量，運用比例法是將繁瑣的數(shù)值簡化為簡單的數(shù)值進行分析。 比例問題的重點在于找出兩種相關(guān)聯(lián)的量，并明確兩者間的比例關(guān)系。比和比例的性質(zhì)1. 正比：a÷b=k(k=常數(shù))，則稱a、b成正比2. 反比：a×b=k(k=常數(shù))，則稱a、b成反比 采用比例法的一個重要條件是含有一個固定的乘除等式關(guān)系，及1、2所述的正反比例，實際應(yīng)用中的路程=速度×時間，總量=效率×時間，溶劑=溶液×濃度，利潤=成本×利潤率。

7、需特別注意：三個量中必須有一個量是固定的，另外兩個量才有相對關(guān)系。差值比例：一、常規(guī)比例二、工程問題工程問題是重點一、工程問題的本質(zhì)：將一般的工作問題分數(shù)化，就是研究工作總量、工作效率、工作時間三者之間的關(guān)系問題。二、常用的數(shù)量關(guān)系式為：工作總量=工作效率×工作時間3、 工程問題的兩大利器1、 比例法2、 特殊值法4、 核心要點：方程問題，用比例不用方程，用份數(shù)不用分數(shù)5、 題型分類：單人完成工程問題、全程合作問題、分階工程問題、輪流合作型、水管問題、時間效率轉(zhuǎn)化三、和差比例法4、 三量比例法遇到三個量或者多個量，建立比例關(guān)系，需要通過某一個量的統(tǒng)一，比如甲：乙=2：3，乙：丙=4:

8、5，需要對乙進行搭橋統(tǒng)一成12。5、 恒值比例法 恒值比例法，在研究比例問題的時候，有一個量是恒定不變的，在題干所述的情況下，從頭到尾沒有發(fā)生變化，那么我們可以利用這樣的一個對象所代表的比例點來求解。一般情況下，這種恒量對象在不同的情況下代表的比例點不同，這個時候，需要把不同的比例點化為相同的數(shù)值來代替。第三課 行程問題基礎(chǔ)模型之一、相遇追擊1. 基本公式：距離=速度×時間2. 相遇及追及問題：相遇距離=（大速度小速度）×相遇時間相向追及距離=（大速度小速度）×相遇時間同向3. 核心方法：比例、公式、畫圖法4. 解決要點：用比例不用方程、用份數(shù)不用分數(shù)基礎(chǔ)模型之二

9、、順流逆流1、 基本行船問題：順水速度=船速水速 逆水速度=船速水速 船速=（順水速度逆水速度）÷2 水速=（順水速度逆水速度）÷22、 順水漂流問題:漂流速度=水速 漂流時間基礎(chǔ)模型之三、上下扶梯1、 順行扶梯長度=（人速+電梯速度）×順行時間2、 逆行扶梯長度=（人速電梯速度）×逆行時間3、 順行扶梯級數(shù)=人走過的梯級數(shù)+扶梯運行梯級數(shù)4、 逆行扶梯級數(shù)=人走過的梯級數(shù)扶梯運行梯級數(shù)基礎(chǔ)模型之四、環(huán)形運動1、 同向運動：環(huán)形周長=（大速度-小速度）×時間2、 反向運動：環(huán)形周長=（大速度+小速度）×時間基礎(chǔ)模型之五、等距離平均速度

10、公式基礎(chǔ)模型之六、公車模型（雙向數(shù)車）1、題型特征：人按一定速度出行，每隔一段時間迎面遇到一輛公交車，每隔一段時間從背后超出一輛公交車，求發(fā)車間隔或撤人速度2、經(jīng)典公式：發(fā)車間隔時間=，基礎(chǔ)模型之七、隊首隊尾1. 隊尾隊首：隊伍長度=（人的速度-隊伍速度）×時間2. 隊首隊尾：隊伍長度=（人的速度+隊伍速度）×時間3. 從隊尾趕到隊首，可看做該人與隊首的追擊過程4. 從隊首趕到隊尾，可看做該人與隊尾的相遇過程基礎(chǔ)模型之八、火車過橋1、 核心思維：火車本身長度也是路程的一部分，以火車的頭或為作為運動點，按相遇或追擊問題考慮基礎(chǔ)模型之九、往返相遇1、 題目特征：題目表述為兩個運

11、動體從一條線段的兩端或一端出發(fā)，在兩端點之間不斷往返，求一定時間后相遇次數(shù)或第N次相遇時間等。2、 核心知識：（1） 兩運動體從兩端同時出發(fā)，相向而行，不斷往返：第N次迎面相遇，路程和=全程×（2n-1）第N次追上相遇，路程差=全程×（2n-1）（2）兩運動體從一端同時出發(fā)，同向而行，不斷往返：第N次迎面相遇，路程和=全程×2n第N次追上相遇，路程差=全程×2n（3） 單人的路程第N次迎面相遇，路程=第一次相遇時所走的路程×2n（或2n-1）第N次追上相遇，路程=第一次相遇時所走的路程×2n（或2n-1）基礎(chǔ)模型之十、二次相遇1、 題

12、型特征：兩物體從兩端點，相向而行，相遇后繼續(xù)前行到達端點后折返至而次相遇。題目給出的相遇點到端點的距離，帶球兩端點距離。2、 核心知識：兩邊型：S=3S1-S2單邊型：S=（3S1+S2）/2其中，S表示兩端點之間的距離，單邊型兩次距離都是相對于統(tǒng)一端點。兩邊型指兩次距離分別相對于兩端點。第四課 計數(shù)模型雞兔同籠1、 列方程法2、假設(shè)法：先假設(shè)全部是某一種，然后求出的值與實際值的差值，除以它們單個的差值，得出來的是另一種。 植樹問題關(guān)鍵在于理清間隔數(shù)與端點數(shù)之間的關(guān)系1、 兩端植樹：棵樹=線路總長÷株距12、 一端植樹：棵樹=線路總長÷株距3、 兩端都不栽樹：棵樹=線路總長

13、÷株距14、 雙邊植樹需要在一條的基礎(chǔ)上乘以25、 封閉性植樹，棵樹=線路總長÷株距=總段數(shù)6、 類似于兩端不植樹的還有“上樓梯問題”，則上每層用M/(N-1)分鐘。鋸木頭，劍圣自，鋸成N段需要鋸N-1次；站成一列，相鄰兩人間隔M米，隊伍長M×（N-1）米。方陣問題1、方陣的核心是一個等差數(shù)列。可以將方陣的每一層看做是一項。每一層邊長之差是2，每層周長之差為8，也就是方陣等差數(shù)列的所謂公差。 2、每一層，邊長和周長的關(guān)系：（1）周長=（邊長-1）×4（2）邊長=周長÷413、方陣總數(shù)：（1）實心方陣：m=a2（a為最外層每邊人數(shù)，即邊長）（2）

14、空心方陣：m=(最外層每邊人數(shù)-層數(shù))×層數(shù)×44.增加或取消行列（1）增加m行n列，人數(shù)增加=邊長×（m+n）+mn（2）取消m行n列，人數(shù)減少=邊長×（m+n）-mn剪繩問題1、 題目表述：將一根繩子折成幾段，然后在上面剪幾刀，求分成段數(shù)。2、 經(jīng)典公式：2N×M1（一根繩子連續(xù)對折N次，剪M刀，問繩子被剪成幾段）3、實戰(zhàn)秒殺：最后的段數(shù)一定是奇數(shù)，直接秒殺過河問題1. 題目表述：一只船只能運送N個人，現(xiàn)在M個人等待過河，求過河安排信息2. 核心知識：共需：次，如需N個人劃船，則1變成N；過一次河指的是單程，往返一次指的是雙程。3. 載人過

15、河時，最后一次不需要返回。空瓶換水1、 題目特征：一定數(shù)量的空瓶子可以換到一瓶水，已有部分空瓶子，求可以換取水的瓶數(shù)。2、 經(jīng)典公式：若M個空瓶換一瓶水，相當(dāng)于M-1個空瓶喝到一瓶水。第五課 星期、日期、鐘表、年齡一、年月、星期問題1、 星期推移口訣：平年就是1，閏年再加1，小月就是2，大月要補加1,7天一循環(huán)，28年一周期2、 閏年判定口訣：四年一閏，百年不閏，四百年再閏。3、 平年是52周余1天，該年最后一天與第一天星期數(shù)相同。閏年是52周余2天，該年最后一天是第一天星期數(shù)加1.二、緊鄰的兩日：多的在前，墊后；多的在后，墊前。 當(dāng)題目中出現(xiàn)連續(xù)多個日期之和，或連續(xù)幾個星期幾的日期之和時，這

16、些日期本質(zhì)上都是等差數(shù)列，可以通過計算其平均數(shù)來定位這些日期的中位數(shù)，從而完成打答題 三、解題技巧（求某一天是星期幾）（1）所求日期與已知日期同月同日不同年。 解決此類問題只用記住一句話，每過一年星期數(shù)增加1。過閏年再加1，也就是說，每過一年星期數(shù)就在原來的基礎(chǔ)上加1，如果這個時間段包含2月29日這一天則需要再加1。有幾個2月29日就加幾個1。（2）所求日期與已知日期同年同日不同月解決此類問題，同樣只用記住一句話，每過一個月星期數(shù)將增加2（或3）。 （3）所求日期與已知日期同年同月不同日 日期之差除以七所得的余數(shù)。年齡問題1、 年齡問題的主要特點：隨著時間推移，年齡差始終不變、年齡倍數(shù)變小2、

17、 三大必殺技：方程、畫圖、代入排除鐘表問題 鐘表問題即時針和分針之間的運動規(guī)律和的位置關(guān)系。因此鐘表問題其實就是追擊問題的變形，從而可以利用鐘面上的路程時間以及速度的關(guān)系來求解。 一、按格來分，則鐘面上的路程（角度）和速度（角速度）有如下關(guān)系。 1、 每小時：時針走1大格，5小格；分鐘走一圈12大格，60小格2、每小時：時針走30°。分針走360°，他們每小時相差330°。 3、每分鐘：時針0.5°，分鐘走6°。他們每分鐘相差5.5°。 4、分針的速度是時針的12倍，時針是分針速度的1/12。 三、解題技巧。 1、可以轉(zhuǎn)化成時針和分針

18、的相遇追及問題，時針速度為0.5°/min；分針速度為6°/min，該方法適用于定量計算。 2、借助畫圖縮小范圍然后進行排除該方法適用于定性計算。 3、直接應(yīng)用是工具手表通過旋轉(zhuǎn)手表解體。 第六課 排列組合1、 排列及組合問題2、 特殊優(yōu)先法三、捆綁法四、插空法五、插板法六、逆向計算法七、錯位排列：元素數(shù)為1、2、3、4、5、6時，情況數(shù)為：0、1、2、9、44、265八、圓周排列：n個元素，共有(n-1)!種排列方法。9、 多人傳球問題M個人傳N次球，X=,與X最接近的整數(shù)為傳給非自己的某人的方法數(shù)，第二接近的整數(shù)便是傳給自己的方法數(shù)。10、 比賽問題涉及多支隊伍比賽場次的問題(N個隊伍)淘汰賽：僅需決出冠亞軍：N-1；需決出1234：N循環(huán)賽：單循環(huán)：；雙循環(huán)：單循環(huán)：任意兩只隊伍打一場比賽雙循環(huán)：任意兩只隊伍打兩場比賽第七課 幾何統(tǒng)籌問題一、幾何問題1. 直線和線段的性質(zhì)：過兩點有且