內(nèi)切球與外接球習(xí)題講義教師版

1、立體幾何中的“內(nèi)切”與“外接”問題的探究AA, DD1的中點(diǎn)，則直線EF被球。截得的線段長(zhǎng)為（畫址 =T1球與柱體規(guī)則的柱體，如正方體、長(zhǎng)方體、正棱柱等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi) 切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者 表面積等相關(guān)問題.1.1球與正方體如圖1所示，正方體ABCD-ABiGDi,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a, E,F ,H ,G為棱的中點(diǎn)，O 為球的球心。常見組合方式有三類：一是球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，截面圖為正方形EFHG和其內(nèi)切圓，則 OJ = r = a ；二是與正方體各棱相切的球，截面圖為正方形EFH前其外接圓，則OG = R = -a

2、；2三是球?yàn)檎襟w的外接球，截面圖為長(zhǎng)方形 ACGA和其外接圓，則AiO=R'=3a.2通過這三種類型可以發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球的組合問題，常用工具是截面圖，即根 據(jù)組合的形式找到兩個(gè)幾何體的軸截面，通過兩個(gè)截面圖的位置關(guān)系，確定好正方體的 棱與球的半徑的關(guān)系，進(jìn)而將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題 。A.夸 B . 1 C. 1+2 D. 72解；由題意可知，然為正方體的外接球.平面兒3A前面所得匾面的半徑酸匚 酮。%,直蔑即被球。踹的雌為球的武而園謔役球=1.2 球與長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體各頂點(diǎn)可在一個(gè)球面上，故長(zhǎng)方體存在外切球.但是不一定存在內(nèi)切球.設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)為a,b,c,具體對(duì)角線為1.當(dāng)球?yàn)殚L(zhǎng)

3、方體的外接球時(shí)，截面圖為長(zhǎng)方體的對(duì)角一2-22面和其外接圓，和正方體的外接球的道理是一樣的，故球的半徑R=、a b c .22例2在長(zhǎng)、寬、高分別為2, 2, 4的長(zhǎng)方體內(nèi)有一個(gè)半徑為1的球，任意擺動(dòng)此長(zhǎng)方 體，則球經(jīng)過的空間部分的體積為（）A.野 B.4兀 C號(hào) D片 333懈，利用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)分析在小球移動(dòng)的過程中.進(jìn)過部分的幾何體，因半徑為1的d礴恰好為棱長(zhǎng)為2的正方體的內(nèi)切球,故小球經(jīng)過空間由上往下看為：半個(gè)小球、高為2的圓柱和半個(gè)小球，三部分的體積為：x3xlx2 + Jixlix2= jt. 3231.3 球與正棱柱球與一般的正棱柱的組合體，常以外接形態(tài)居多。下面以正三棱柱為例，介紹

4、本類題目的解法構(gòu)造直角三角形法。設(shè)正三棱柱ABC-AiBCi的高為h,底面邊長(zhǎng)為a,如圖2所示，D和Di分別為上下底面的中心。根據(jù)幾何體的特點(diǎn)，球心必落在高 DDi的中例1 棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-ABCiDi的8個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，E, F分別是棱點(diǎn) O , OD =h,AO = R, ad =i!a,借助直角三角形AO D的勾股定理，可求2R =Ci例3正四棱柱ABCD-ABCiDi的各頂點(diǎn)都在半徑為R的球面上，則正四棱柱的側(cè)面積有用這點(diǎn)可順利解決球的半徑與正四面體的棱長(zhǎng)關(guān)系。如圖4,設(shè)正四面體SABC的棱長(zhǎng)為a,內(nèi)切球半徑為r,外接球的半徑為R,取AB的 中點(diǎn)為D, E為S在底面的

5、射影，連接CD,SD,SE為正四面體的高。在截面三角形 SDC , 作一個(gè)與邊SD和DC相切，圓心在高SE上的圓，即為內(nèi)切球的截面。因?yàn)檎拿骟w本身的對(duì)稱性可知，外接球和內(nèi)切球的球心同為0。此時(shí)，CO = OS= R,OE= r,SE=Ja,CE = ""a,貝U有 R+r= J2a, R2r2=|CE2 = a，解得: 33 33R = 攵 a,r =炎a.這個(gè)解法是通過利用兩心合一的思路，建立含有兩個(gè)球的半徑的等量關(guān) 412系進(jìn)行求解.同時(shí)我們可以發(fā)現(xiàn)，球心O為正四面體高的四等分點(diǎn).如果我們牢記這些數(shù)量關(guān)系，可為解題帶來極大的方便.4爐=2a1十,則正四棱柱的廁面和:圖

6、4最 值，為 .第:加圖九 截面圖為長(zhǎng)方形用和其外接應(yīng)一球心為后耳的中點(diǎn)則氏三G4 .設(shè)正四棱柱的側(cè)接長(zhǎng)為方.底面邊長(zhǎng)為由，則AC 42a,AE arOE=-,J 22故側(cè)血積有聚六值，為當(dāng)且僅當(dāng)中 = W時(shí)等討咸立.A.J b. 2+ 三633C. 4+ 氣6 D.4, 3 2. 633倍3 于是燈容器正四面體總的高為2球與錐體規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進(jìn)行充分的組合， 以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾 何體的體積或者表面積等相關(guān)問題.2.1 球與正四面體正四面體作為一個(gè)規(guī)則的幾何體，它既存在外接球，也存在內(nèi)切球，并且

7、兩心合一，利例4將半徑都為1的四個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個(gè)正四面體的高的最小值為（）皆，“容器四面體,中的這四個(gè)小球，以四個(gè)1 射為球心為頂點(diǎn)構(gòu)成了一個(gè)楨長(zhǎng)為2的.球心五四面彼，逮個(gè)四面體的高是"單位正四面體”高C 當(dāng)）的2倘即為考5 .“球心正四面體制的底面到 .容等正四面體”的地面為小球半徑1-而“球心正四面體”頂曲至（I，容器正四面體內(nèi)的頂點(diǎn)的距離沌3 C卜球半徑的球的外切正四面體，這個(gè)小球球心與外切正四面體的中心重合，而正四面體的中心到頂點(diǎn)的距離是中心到地面距離的3倍.2.2 球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐組合問題，主要是體現(xiàn)在球?yàn)槿?/p>

8、棱錐的外接球.解決的基本方法是補(bǔ)形法，即把三棱柱補(bǔ)形成正方體或者長(zhǎng)方體。常見兩種形式：一是三棱錐的三條棱互相垂直且相等，則可以補(bǔ)形為一個(gè)正方體，它的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心。如圖5,三棱錐Ai ABiDi的外接球的球心和正方體ABCD -A1B1C1D1的外接球的球心重合，設(shè) AA1 =a ,則R = 苴a。2二是如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直且不相等，則可以補(bǔ)形為一個(gè)長(zhǎng)方體，它的外2. 22. 2接球的球心就是三棱錐的外接球的球心，R2 =- = 一（I為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)）。44三橋鍵W - T與U外接球的表面積是.W.如圖日，正三棱雄對(duì)垓相互垂亙，即上二_1_芯況又If MN,

9、.也討 L工U又AtfN_L平面國U干呈陶_L平面皮4。從而應(yīng)此時(shí)正三棱鎮(zhèn)總-5正二的三條惻倭互相垂直并且相呼，故將IE三楨椎補(bǔ)形為正方體一球的半徑2.3 球與正棱錐球與正棱錐的組合，常見的有兩類，一是球?yàn)槿忮F的外接球，此時(shí)三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，根據(jù)截面圖的特點(diǎn),可以構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解二是球?yàn)檎忮F的內(nèi)切球，例如正三棱錐的內(nèi)切球，球與正三棱錐四個(gè)面相切，球心到四個(gè)面的距離相等，都為球半徑 R.這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個(gè)小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積兀JIB.一3C. 4_ 4 二D.3例5 在正三棱錐S - ABC中，M、N分別是棱S

10、C、BC的中點(diǎn)，且AM _L MN，若側(cè)棱SA = 273,則正三棱錐S-ABC外接球的表面積是 例6在三棱錐P ABCfr , PA PB=PC=3,側(cè)棱PA與底面AB所成的角為60° ,則該三棱錐外接球的體積為（）解;如圖7所示，過F點(diǎn)作底面抽(7的垂線，垂足為0.設(shè)H為外接域的球心.連接，因乙FAO = 6U,PA = S、故 A0 = ,戶。=之.又 AHO 為直角三角形，"22圖？AH = FH =八:、AH2 = AOl+OH1,.r2 = (J;1 +(_ -7)二 r = L： K = - zrxF = -7T 22332.4 球與特殊的棱錐球與一些特殊的棱

11、錐進(jìn)行組合，一定要抓住棱錐的幾何性質(zhì)，可綜合利用截面法、補(bǔ) 形法、等進(jìn)行求解。例如，四面體都是直角三角形的三棱錐，可利用直角三角形斜邊中點(diǎn)幾何特征，巧定 球心位置。如圖8,三棱錐S - ABC ,滿足5慶，面ABC , AB _L BC ,取SC的中點(diǎn)為O ,由直角三角形的性 質(zhì)可得：OA=OS=OB=OC,所以。點(diǎn)為三棱錐S-ABC的外接球的球心，則r = SC .2解二由題意分析可知，四面體面的外接球的球心落在HC的中點(diǎn)，此時(shí)滿足8 =。二。3 二。匕3球與球?qū)€(gè)多個(gè)小球結(jié)合在一起，組合成復(fù)雜的幾何體問題，要求有豐富的空間想象能力, 解決本類問題需掌握恰當(dāng)?shù)奶幚硎侄?，如?zhǔn)確確定各個(gè)小球的球

12、心的位置關(guān)系，或者巧 借截面圖等方法，將空間問題轉(zhuǎn)化平面問題求解.例8在半徑為的球內(nèi)放入大小相等的4個(gè)小球，則小球的半徑的最大值為()例7在半徑為R的球內(nèi)放入大臼可目等的4個(gè)小球，則小球半徑r的最大值為().工力一1建 B1巡一2)五 C.-D.解要使得小球的半徑髭大，需使得4個(gè)小球的球心為一個(gè)正四面體的四個(gè)頂卓，如圖9所示，此時(shí)正四面體總-BCD的外接球的球心為即沏半徑為艮的球的球心，則為O = 我-尸.又因O為4Q的四分點(diǎn).故4AO=(R _ 玲；,在RtLABOx中 ，= 2* BO = |怎Q戌= (2r)a例7矩形ABCD中，AB=4, BC =3,沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面

13、角B-AC-D,則四面體ABCD的外接球的體積是()A.125 二 b. /二 C. 您二D. 您二12r = (-2)R4球與幾何體的各條棱相切球與幾何體的各條棱相切問題，關(guān)鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，達(dá)到明確球心的位置為目的，然后通過構(gòu)造直角三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)換和求解.、2.r = a如與正四面體各棱都相切的球的半徑為相對(duì)棱的一半：4 .例8把一個(gè)皮球放入如圖10所示的由8根長(zhǎng)均為20 cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi),使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點(diǎn)，則皮球的半徑為（）A. 10、3cm B. 10cm C. 10,2cm D. 30cm過球心的對(duì)角面來作；把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即為

14、球的內(nèi)接問題.解決這 類問題的關(guān)鍵是抓住內(nèi)接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑.發(fā)揮好 空間想象力，借助于數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)化，問題即可得解.如果是一些特殊的幾何體，如 正方體、正四面體等可以借助結(jié)論直接求解，此時(shí)結(jié)論的記憶必須準(zhǔn)確.外接球內(nèi)切球問題1.（陜西理）一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為 1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)解：如圖11所示，由題意球心在細(xì)上.球心為5 過。作的垂線QN垂足為m02艮，因?yàn)楦鱾€(gè)犢部為2。，所以AM=10» EP=20j BM=10t AB= 102,Z.BPA = a »在風(fēng)nm 中，BF3 uBAfN十尸Af" 所以=

15、的.在此 PAM 中，F(xiàn)W，= 加+且產(chǎn)，所以小二十1072V2=圖11 ON Ri,= 1 (J* 在 鼠2b AEP 中手 win 2 m . =, 在 在£1A QNP 中 5 sin手所"kABP 202OF QP,所以 8-0我.在正必。AM中，CAf? =+ H山" 所以，=(1。/-在宜/+ 100，OP 2AB = AC = AA = 2, N BAC = 120" 則解得，氏=10或30 （舍），所1加 &=1配列,故選E.綜合上面的四種類型，解決與球的外切問題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截面來解決

16、.如果外切的是多面體，則作截面時(shí)主要抓住多面體在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（）A受 b._ C .沖 D .書答案 B2 .直三棱柱ABC-ABG的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若此球的表面積等于。解：在MBC中AB =AC =2 , /BAC =120 口,可得BC =2曲,由正弦定理，可得AABC外接圓半 徑r=2,設(shè)此圓圓心為0球心為O,在RTAOBO沖，易得球半徑r=75,故此球的 表面積為4二R2 =20二.3 .正三棱柱ABCAB©內(nèi)接于半徑為2的球，若A,B兩點(diǎn)的球面距離為冗，則正三棱柱 的體積為.答案84 .表面積為2“的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球

17、的體積為A. n B . -n C . -n D .9 n3333答案A3a24=2« 知，a = 1 ,【解析】此正八面體是每個(gè)面的邊長(zhǎng)均為a的正三角形，所以由8M為.答案生38 .（天津理）一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1, 2, 3,則此球的表面積為 .答案14冗答案 2 4.2p9 .（全國II理）一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為 2 cm的球面上。如果正四棱柱 的底面邊長(zhǎng)為1 cm,那么該棱柱的表面積為cm 2.則此球的直徑為金,故選A。5.已知正方體外接球的體積是爭(zhēng)，那么正方體的棱長(zhǎng)等于A.2 2B.廠2、33C.f4-23D.10.（遼寧）如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐P-ABCDEF ,則此正六棱錐的側(cè)面積是:答案 6. 7答案D6.（山東卷）正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為11.（遼寧省撫順一中）棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過該球A. 1 ： J3B . 1 ： 3 C . 1 ： 3<3球心的一個(gè)截面如圖，則圖中三角形（正四面體的截面）的面積是答案 2答案 C7.（海南、寧夏理科）一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面.已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為9,底面周長(zhǎng)為3,則這個(gè)球的體積812.（棗莊一模）A. 3