高等數(shù)學8-3全微分

1、一、全微分的定義二*、全微分在近似計算中的應用8.3 全微分及其應用一、全微分的定義函數(shù)f(x, y)對x的偏微分函數(shù)f(x, y)對y的偏增量函數(shù)f(x, y)對y的偏微分v全增量 zf(xx, yy)f(x, y). v偏增量與偏微分 f(xx, y)f(x, y)fx(x, y)x, f(x, yy)f(x, y)fy(x, y)y, 函數(shù)f(x, y)對x的偏增量 根據(jù)一元函數(shù)微分學中增量與微分的關系, 有 f(xx, y)f(x, y) f(x, yy)f(x, y) fx(x, y)x fy(x, y)yv全微分的定義其中A、B不依賴于x、y而僅與x、y有關, 則稱函數(shù)zf(x,

2、y)在點(x, y)可微分, 而AxBy稱為函數(shù)zf(x, y)在點(x, y)的全微分, 記作dz, 即 dzAxBy. 如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點處都可微分, 那么稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分. 如果函數(shù)zf(x, y)在點(x, y)的全增量 zf(xx, yy)f(x, y) 可表示為) )()( )(22yxoyBxAz, v可微分與連續(xù) 偏導數(shù)存在不一定連續(xù), 但可微分必連續(xù). 這是因為, 如果zf(x, y)在點(x, y)可微, 則 zf(xx, yy)f(x, y) AxByo(),因此函數(shù)zf(x, y)在點(x, y)處連續(xù). 0lim0z, 于是),(),(lim),(lim0)0

3、 , 0(),(yxfzyxfyyxxfyx從而),(),(lim),(lim0)0 , 0(),(yxfzyxfyyxxfyx),(),(lim),(lim0)0 , 0(),(yxfzyxfyyxxfyx. v可微分的必要條件v應注意的問題v可微分與連續(xù) 偏導數(shù)存在不一定連續(xù), 但可微分必連續(xù). 如果函數(shù)zf(x, y)在點(x, y)可微分, 則函數(shù)在該點的偏導 數(shù)xz、yz必定存在, 且函數(shù) zf(x, y)在點(x, y)的全微分為 yyzxxzdz. 偏導數(shù)存在是可微分的必要條件, 但不是充分條件. v可微分的充分條件則函數(shù)在該點可微分. 如果函數(shù) zf(x, y)的偏導數(shù)xz、y

4、z在點(x, y)連續(xù), v疊加原理 按著習慣, x、y分別記作dx、dy, 并分別稱為自變量的微分, 這樣函數(shù)zf(x, y)的全微分可寫作 二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理. 疊加原理也適用于二元以上的函數(shù), 例如uf(x, y, z)的全微分為dyyzdxxzdz. dzzudyyudxxudu. 例1 計算函數(shù)zx2yy2的全微分. 解 所以 例2 計算函數(shù)zexy在點(2, 1)處的全微分. 解 所以 dz2xydx(x22y)dy. dze2dx2e2dy. 設 zf(x, y), 則dyyzdxxzdz. xyxz2, , yxyz22,

5、 因為 因為 xyyexz, xyxeyz, 212exzyx, 212exzyx 2122eyzyx, 解 設 uf (x, y, z), 則dzzudyyudxxudu. 例3 例 3 計算函數(shù)yzeyxu2sin的全微分. 1xu, 因為 1xu, yzzeyyu2cos21, , yzyezu, dzyedyzeydxduyzyz)2cos21(. 所以22ln(1)1,2zxyxy練練習習：求求函函數(shù)數(shù)當當時時的的全全微微分分. .多元函數(shù)連續(xù)、可導、可微的關系多元函數(shù)連續(xù)、可導、可微的關系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)函數(shù)可導函數(shù)可導二*、全微分在近似計算中的

6、應用 當函數(shù)zf(x, y)在點(x, y)的兩個偏導數(shù)fx(x, y), fy(x, y)連續(xù), 并且|x|, |y|都較小時, 有近似等式zdzfx(x, y)xfy(x, y)y , 即 f(xx, yy)f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y . 我們可以利用上述近似等式對二元函數(shù)作近似計算. 例4 有一圓柱體, 受壓后發(fā)生形變, 它的半徑由20cm增大到20. 05cm, 高度由100cu減少到99cm. 求此圓柱體體積變化的近似值. 解 設圓柱體的半徑、高和體積依次為r、h和V, 則有 V r2h. 即此圓柱體在受壓后體積約減少了200 cm3. 2201000.052

7、02(1) VdV 2rhrr2h 200 (cm3), VrrVhh f(xx, yy)f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y. zdzfx(x, y)xfy(x, y)y, 已知r20, h100, r0. 05, h1, 根據(jù)近似公式, 有 例5 計算(1.04)2.02的近似值. (1.04)2.02 所以 x yyx y1xx yln x y, f(xx, yy) f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y1.08. 1221210.0412ln10.02 解 設函數(shù) f(x, y)x y. 顯然, 要計算的值就是函數(shù)在 x1.04, y2.02時的函數(shù)值f(1.

8、04, 2.02). f(xx, yy)f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y. zdzfx(x, y)xfy(x, y)y, 因為 取x1, y2, x0.04, y0.02. .多元函數(shù)全微分的概念；多元函數(shù)全微分的概念；.多元函數(shù)全微分的求法；多元函數(shù)全微分的求法；.多元函數(shù)連續(xù)、可導、可微的關系多元函數(shù)連續(xù)、可導、可微的關系（注意：與一元函數(shù)有很大區(qū)別）（注意：與一元函數(shù)有很大區(qū)別）三、小結(jié) 函數(shù)函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx處可微的充分條件是處可微的充分條件是:（1）),(yxf在點在點),(00yx處連續(xù)；處連續(xù)；（2）),(yxfx 、),(yxfy 在點在點),(00yx的的 某鄰域存在；某鄰域存在；（3