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1、不與凡花爭奇艷 傲霜斗雪笑風(fēng)寒基于核心素養(yǎng)背景下對一道高考數(shù)學(xué)試題的賞析與啟示1 問題呈現(xiàn)2018年高考數(shù)學(xué)浙江卷第9題已知a、b、e是平面向量,e是單位向量。若非零向量a、e的夾角為,向量b滿足,則的最小值是( )A. B。 C。 2 D。2. 命題賞析與啟示本題內(nèi)容表述簡約緊湊,看似簡單,其實內(nèi)涵豐富,堪稱經(jīng)典。題面涉及平面向量概念(非零向量,單位向量),向量特性(夾角,模,最值),向量數(shù)量積的關(guān)系式(核心條件)。命題角度新穎別致,具有靈動于內(nèi),淡中見雋,韻味無窮。令人耳目一新,卻又似曾相識,真可謂“不與凡花爭奇艷 傲霜斗雪笑風(fēng)寒”的墨梅風(fēng)骨。要求學(xué)生會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界,深刻理解數(shù)學(xué)概念
2、,領(lǐng)會數(shù)學(xué)本質(zhì),靈活運用。豐富而深刻地考查了數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。2.1 數(shù)形結(jié)合思想,體現(xiàn)數(shù)與形交乳之美。人教A版數(shù)學(xué)必修4第2.5節(jié)平面向量應(yīng)用舉例中寫道“因為有了運算,向量的力量無窮。如果不能進(jìn)行運算,向量只是示意方向的路標(biāo)”,可見向量的靈魂在于運算。本題核心條件是,如何破解呢?從向量數(shù)量積的運算尋找突破口。由數(shù)量積的運算律將條件式等價變形為?!皵?shù)”轉(zhuǎn)化為“形”,發(fā)揮直觀想象。下面圖解問題:如圖,設(shè),,,則,.因為,所以,。以線段BC為直徑作圓M,半徑為1,點D在該圓上運動。原問題轉(zhuǎn)化為:點D在圓上運動時,求向量的模最小值。由于非零向量a模沒有具體確定(選擇題靈活性特點),因此,考慮D
3、點在圓上運動時觀察向量a模長情況。過圓心M作向量a所在直線的垂線,垂足是A,并交圓于點D,則線段AD長度為向量模的最小值。在直角三角形OAM中,OM=2, 則,所以,選A.若非零向量a的模具體確定時,如(),則問題轉(zhuǎn)化為圓外一點到該圓上點距離最小值求法。顯然當(dāng)點M、D、A共線時,線段AD距離最短,利用余弦定理解決問題。在教學(xué)中,變式探究往往可以透過現(xiàn)象揭示本質(zhì),收到理想的教學(xué)效果。如果以線段AC為直徑作圓,點D是圓上動點,求線段AD最大值。即已知非零向量a、e為單位向量,若,則的最大值是。特別地,已知a、e是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量,若向量b滿足,則的最大值是( )A. 1 B。2 C。
4、D。這就是2008年高考數(shù)學(xué)浙江卷理第9題。似曾相識,卻令人耳目一新的感覺。高考命題,針對重點知識且又能較好的考查學(xué)生素養(yǎng),出現(xiàn)同源異構(gòu)屬于正?,F(xiàn)象,但對每年的命題規(guī)律窺見一斑,對復(fù)習(xí)教學(xué)工作起引領(lǐng)作用。把握好方向復(fù)習(xí)會更有效。2.2。坐標(biāo)思想,實現(xiàn)數(shù)與形交融之美。本題另思路是坐標(biāo)法。取,設(shè),。因,則表示圓;又,則表示圓上點到直線距離最小值。如圖易求出與直線平行的圓切線方程為,進(jìn)而求出切點坐標(biāo)為,所以切點到直線距離為 即最小值是,選A。上面兩種不同的解法,體現(xiàn)命題對考生的不同知識水平能力的考查,具有多角度,易入口,難深入命題特點。在復(fù)習(xí)教學(xué)中,做好復(fù)習(xí)策略,加強構(gòu)建知識,把零碎知識片有機的結(jié)合在核心觀念周圍,提高應(yīng)變能力,化歸轉(zhuǎn)化思想等綜合能力。找到高考題在教材或近幾年真題中的原型,進(jìn)行變式探究,發(fā)揮高考試題的導(dǎo)向作用。通過本次研修培訓(xùn),筆者提高教學(xué)認(rèn)識,對高考的研究,發(fā)掘數(shù)學(xué)
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