預測與決策--8.增長曲線預測法G

1、第第 五五 章章 趨勢外推預測方法趨勢外推預測方法 趨勢外推預測原理趨勢外推預測原理當預測對象依時間變化當預測對象依時間變化呈現某種上升或下降的趨向，呈現某種上升或下降的趨向，且無明顯的季節(jié)波動時，且無明顯的季節(jié)波動時，若能找到一條若能找到一條合適的函數合適的函數曲線曲線反映這種變化趨勢，就可用時間反映這種變化趨勢，就可用時間t t為自變量，為自變量，時序數值時序數值y y為因變量建立趨勢模型為因變量建立趨勢模型 y yf(tf(t) )如果有理由相信這種趨勢能夠延伸到未來，在上式如果有理由相信這種趨勢能夠延伸到未來，在上式中賦予變量中賦予變量t t 在未來時刻的一個具體數值，可以得在未來時刻

2、的一個具體數值，可以得到相應時刻的時間序列未來值。這就是趨勢外推法。到相應時刻的時間序列未來值。這就是趨勢外推法。 趨勢外推法的假設條件： (1) (1)假設事物發(fā)展過程假設事物發(fā)展過程沒有沒有跳躍式變化跳躍式變化，即事物的發(fā)展變，即事物的發(fā)展變化是漸進型的?；菨u進型的。 (2)(2)假設所研究假設所研究系統(tǒng)的結構、系統(tǒng)的結構、功能等基本保持不變功能等基本保持不變，即假定，即假定根據過去資料建立的趨勢外推根據過去資料建立的趨勢外推模型能適合未來，能代表未來模型能適合未來，能代表未來趨勢變化的情況。趨勢變化的情況?；舅枷牖舅枷雟第一節(jié)第一節(jié) 直線模型預測法直線模型預測法v第二節(jié)第二節(jié) 指數

3、曲線預測模型指數曲線預測模型 v第三節(jié)第三節(jié) 修正指數曲線預測模型修正指數曲線預測模型v第四節(jié)第四節(jié) 龔伯茲曲線預測模型龔伯茲曲線預測模型 v第五節(jié)第五節(jié) 羅吉斯曲線預測模型羅吉斯曲線預測模型第一節(jié)第一節(jié) 直線趨勢模型直線趨勢模型v 直線預測模型為：直線預測模型為：tyabt式中：式中：a代表當代表當t=0時的預測值。時的預測值。直線預測模型的特點是：一階差分為常數直線預測模型的特點是：一階差分為常數b。 直線預測模型中參數直線預測模型中參數a、b的求法可采用的求法可采用“最小二乘法最小二乘法”或或“折扣最小平方和法折扣最小平方和法”。1tttyyyb第一節(jié)第一節(jié) 直線趨勢模型直線趨勢模型年份

4、年份199819992000200120022003200420052006時間時間432101234銷售量銷售量265297333370405443474508541一階差分一階差分3236373538313433采用最小二乘法求參數的方法與步驟同前。采用最小二乘法求參數的方法與步驟同前。 例例1：某市：某市19982006年某產品銷售量如表所示，試預年某產品銷售量如表所示，試預測測2007年銷量。年銷量。解：采用最小二乘法，代入相關公式得解：采用最小二乘法，代入相關公式得36364049tyan2209234.8760ttybt40434.87yt所求方程為：所求方程為：2007578.3

5、5y例例1的點估計：的點估計：21()32.9342.169192ntttyyySnm0.025(7)2.365t2020072211()yttyt Sntt計算結果為：（計算結果為：（572.01，584.69）預測區(qū)間：預測區(qū)間：05,0tt第一節(jié)第一節(jié) 直線趨勢模型直線趨勢模型v折扣最小平方和法折扣最小平方和法 最小二乘法的缺陷：把遠期誤差與近期誤差最小二乘法的缺陷：把遠期誤差與近期誤差的重要性等同看待。的重要性等同看待。 為了克服上述缺陷，常采用為了克服上述缺陷，常采用“折扣最小平方折扣最小平方和法和法”，進行合理的加權，對近期誤差比對，進行合理的加權，對近期誤差比對遠期誤差給以較大的

6、權重。遠期誤差給以較大的權重。折扣最小平方和法折扣最小平方和法v 折扣最小平方和法就是對誤差平方在進行指數折扣加折扣最小平方和法就是對誤差平方在進行指數折扣加權后，使其總和達到最小。權后，使其總和達到最小。21min:()nn ttttQyy為折扣系數，為折扣系數，01效果分析：效果分析： 1、越近期的數據權重越大，越遠期數據權重越?。?、越近期的數據權重越大，越遠期數據權重越?。?2、折扣程度視、折扣程度視 值大小而異：值大小而異：越接近越接近0，折扣程度越大；，折扣程度越大；越接近越接近1，折扣程度越?。?，折扣程度越小；折扣最小平方和法折扣最小平方和法v折扣最小平方和法的參數估計：折扣最小平

7、方和法的參數估計：21min :()nn ttttQyy21()nn tttyabt上式對上式對a和和b分別求偏導，整理得：分別求偏導，整理得：1112111nnnn tn tn tttttnnnn tn tn tttttyabttyatbt上述方程組可求出上述方程組可求出a和和b 的值。的值。折扣最小平方和法折扣最小平方和法0.8v例例2：對例：對例1的數據試用折扣最小平方和法進行計算的數據試用折扣最小平方和法進行計算 （ ），預測），預測2007年銷量。年銷量。解：列表進行計算，得到方程組：解：列表進行計算，得到方程組：1958.74464.328927.684413349.934727.

8、6844200.8408abab解得：解得：231.1832,34.6034ab模型為：模型為：231.183234.6034tyt 將各年將各年t值代入，可得各年的追溯預測值（見計算表），值代入，可得各年的追溯預測值（見計算表），并計算標準誤差：并計算標準誤差：21()15.71651.498492nn ttttyyySnm折扣最小平方和法折扣最小平方和法2007577.22y預測：以預測：以t0=10值代入模型，計算得：值代入模型，計算得：0.0250(7)2.365,1027.68446.39524.3289n tn ttttt2()23.7933n ttt20200722121()yn

9、 tttytnSntt預測區(qū)間為：預測區(qū)間為：計算結果為：（計算結果為：（572.66，581.78）第二節(jié)第二節(jié) 指數曲線指數曲線指數曲線指數曲線第二節(jié)第二節(jié) 指數曲線指數曲線指數曲線模型差分計算表指數曲線模型差分計算表結論：指數曲線的結論：指數曲線的一階環(huán)比為常數一階環(huán)比為常數 。be例例3：某城市近：某城市近5年來電視機的家庭擁有率的抽樣調查數年來電視機的家庭擁有率的抽樣調查數據見表。試建立指數增長預測模型，并預測第據見表。試建立指數增長預測模型，并預測第6年的擁有率。年的擁有率。 ln4.18360.62514.1836.6251abyt ln0.40.67yy 第第6年的擁有率年的擁

10、有率第二節(jié)第二節(jié) 指數曲線指數曲線修正指數曲線圖修正指數曲線圖第三節(jié)第三節(jié) 修正指數曲線修正指數曲線第三節(jié)第三節(jié) 修正指數曲線修正指數曲線時序（t） ttabky 一階差分一階差分 （1ttyy） 一階差分比率一階差分比率)(211ttttyyyy 1 abk 2 2abk ) 1( bab 3 3abk ) 1(2bab 4 4abk ) 1(3bab b t-1 1tabk ) 1(2babt b t tabk ) 1(1babt b 修正指數曲線模型差分計算表修正指數曲線模型差分計算表結論：修正指數曲線的結論：修正指數曲線的一階差分比率一階差分比率為常數為常數 b。三和法（三段法）v將整

11、個序列分成三個相等的時間周期，并對每一個時間周期的數據求和以估計參數。1212221223(1,),(2,),( ,)(1,),(2,),(2 ,)(21,),(22,),(3 ,)nnnnnnnyyn ynynyn ynynyn y1122101122122nnnnnnnttt nnnyKabyKabyynKabbbbyKab 112011211nntttnnyKabyKabyynKab bbbyKab2121223210112232133nnnnnnntttnnnyKabyKabyynKabbbbyKab第三節(jié)第三節(jié) 修正指數曲線修正指數曲線011112101121321011321nnt

12、ttnnnttt nnnntttnyynKab bbbyynKabbbbyynKabbbb 11110bbbbbnn112213111111ntnntnntbynKabbbynKabbbynKabbttttttttnnttttyyyyyynKyybbbayyyyb231223112212232111第三節(jié)第三節(jié) 修正指數曲線修正指數曲線第四節(jié)第四節(jié) 龔伯茲曲線龔伯茲曲線 生物的生長過程一般經歷發(fā)生、發(fā)展、成熟到衰老幾個生物的生長過程一般經歷發(fā)生、發(fā)展、成熟到衰老幾個階段，在不同的生長階段，生物生長的速度也不一樣。階段，在不同的生長階段，生物生長的速度也不一樣。 發(fā)生初期成長速度較慢，由慢到快；

13、發(fā)生初期成長速度較慢，由慢到快； 發(fā)展時期生長速度則較快；發(fā)展時期生長速度則較快； 成熟時期，生長速度由達到最快而后逐漸變慢；成熟時期，生長速度由達到最快而后逐漸變慢； 到衰老期則幾乎停止生長。到衰老期則幾乎停止生長。v 指數曲線模型不能預測接近極限值時生物生長的特性值，指數曲線模型不能預測接近極限值時生物生長的特性值，因為趨近極限值時，生物生長特性值已不按指數規(guī)律增長。因為趨近極限值時，生物生長特性值已不按指數規(guī)律增長。龔帕茲生長曲線龔帕茲生長曲線 -6-4-20246800.511.52-3-2-10123400.250.50.7511.251.51.7502460510152025-0.

14、500.511.520255075100125150 (a) ln a0, 0b1 (b) ln a1 (c) ln a0, 0b0, b1第四節(jié)第四節(jié) 龔伯茲曲線龔伯茲曲線第四節(jié)第四節(jié) 龔伯茲龔伯茲曲線曲線 結論：龔伯茲曲線的結論：龔伯茲曲線的對數一階差分比率對數一階差分比率為常數為常數 b。龔珀茲曲線模型一階差的比率計算表龔珀茲曲線模型一階差的比率計算表第四節(jié)第四節(jié) 龔伯茲曲線龔伯茲曲線第四節(jié)第四節(jié) 龔伯茲龔伯茲曲線曲線查反對數表，求出參數查反對數表，求出參數k、a、b，并將，并將k、a、b代入公式代入公式tbkay ，即得龔珀茲預測模型。，即得龔珀茲預測模型。 32212121lnlnl

15、nln1lnlnln111lnlnln1ttnttttnntyybyybayybbbKybanb 例例4：設某軍工企業(yè)從：設某軍工企業(yè)從1993年年1月開始為海軍月開始為海軍批量生產某型裝備，從元月到批量生產某型裝備，從元月到9月平均每臺節(jié)月平均每臺節(jié)省原材料如表所示，試用龔伯茲曲線預測法預省原材料如表所示，試用龔伯茲曲線預測法預測測10月份，每臺可能節(jié)約原材料費多少？月份，每臺可能節(jié)約原材料費多少？第四節(jié)第四節(jié) 龔伯茲龔伯茲曲線曲線求解過程求解過程32333321lnln7.711 7.3400.3710.42110.7495lnln7.3406.4590.881ttttyybyy0.517

16、8a14.2962K ttbtKay7495. 05178. 02962.14龔伯茲曲線方程為：龔伯茲曲線方程為： 將將t10代入，得：代入，得： 78.135178. 02962.145178. 02962.140559. 07495. 01010y第五節(jié)第五節(jié) 羅吉斯羅吉斯曲線曲線羅吉斯曲線圖羅吉斯曲線圖 1938年比利時數學家年比利時數學家P.F.Verhulst在研究人口增殖規(guī)在研究人口增殖規(guī)律時，歸納出了著名的羅吉斯曲線律時，歸納出了著名的羅吉斯曲線(Logistic curve)，又稱，又稱生長理論曲線或推理曲線生長理論曲線或推理曲線，廣泛用于長期預測的數學模型。廣泛用于長期預測的

17、數學模型。適合用羅吉斯曲線表示：適合用羅吉斯曲線表示：某種耐用消費品的普及過程某種耐用消費品的普及過程流行商品的累積銷售額流行商品的累積銷售額被置于孤島的動植物生長現象等被置于孤島的動植物生長現象等 1atKybe倒數總和法倒數總和法v求倒數v三和法求參數11,1,2,3attbetnyK(1)1112(1)(21)(1)21213(2321321(1)111(1)1111naa naanatnaatttna nana nanatnaat nt ntnaatntntnteeeenbenbnbeeSyKKKeeeenbenbnbeeSyKKKenbenbSyK 1)(31)(21)(1)11na

18、nananaaeeenbeeKK倒數總和法倒數總和法v構造v則(1)(21)2(1)12(1)()(1)(1)(1)()ana na naaanaa nanaanaanaanaDbeeeKeDKebeeeeeeeeeee (1)112(1)(21)223(1)()(1)(1)()(1)anaa naana nanabeeeDSSKebeeeDSSKe121(lnln)aDDn倒數總和法倒數總和法v構造v則2111122112()1(1)aanaDK nSD DeDb KeeD D 2(1)211(1)(21)12(1)()(1)(1)(2)(1)anaa nanaaaa nanaDbeeebe

19、enSDDKeeeeKeK第五節(jié)第五節(jié) 羅吉斯曲線羅吉斯曲線v 例例5：某石油公司的天然氣歷年產量見表。試建立羅吉：某石油公司的天然氣歷年產量見表。試建立羅吉斯增長曲線，并用模型預測未來一年的天然氣產量。斯增長曲線，并用模型預測未來一年的天然氣產量。解：由表中數據求得解：由表中數據求得235. 0819. 021DD0.3125.5023.247aKb0.3125.5021 3.247tye得得增長曲線特征比較增長曲線特征比較曲線類型曲線類型特特 點點指數曲線一階環(huán)比為常數一階環(huán)比為常數eb（或對數的一階差分近似為一常數）修正指數曲線一階差分環(huán)比為常數一階差分環(huán)比為常數b龔伯茲曲線其對數的一階

20、差分的環(huán)比為一常數其對數的一階差分的環(huán)比為一常數b羅吉斯曲線倒數的一階差分環(huán)比為一常數倒數的一階差分環(huán)比為一常數e-a預測模型的識別方法預測模型的識別方法v1.繪圖目估法繪圖目估法v2.離差平方和最小法離差平方和最小法v3.增長特征法增長特征法曲線擬合優(yōu)度分析曲線擬合優(yōu)度分析 一、曲線的擬合優(yōu)度分析一、曲線的擬合優(yōu)度分析 如前所述，實際的預測對象往往無法通過圖形如前所述，實際的預測對象往往無法通過圖形直觀確認某種模型，而是與幾種模型接近。這時，直觀確認某種模型，而是與幾種模型接近。這時，一般先初選幾個模型，待對模型的擬合優(yōu)度分析后一般先初選幾個模型，待對模型的擬合優(yōu)度分析后再確定究竟用哪一種模

21、型。再確定究竟用哪一種模型。 擬合優(yōu)度指標：擬合優(yōu)度指標： 評判擬合優(yōu)度的好壞一般使用標準誤差來作評判擬合優(yōu)度的好壞一般使用標準誤差來作 為優(yōu)度好壞的指標：為優(yōu)度好壞的指標：2()yySEn曲線擬合優(yōu)度分析曲線擬合優(yōu)度分析年份年份時序時序（t）總額總額 （ yt ）年份年份時序時序（t）總額總額 （ yt ）年份年份時序時序（t）總額總額（ yt ）19521276.8196312604.51974231163.619532348.0196413638.21975241271.119543381.1196514670.31976251339.419554392.2196615732.81977

22、261432.819565461.0196716770.51978271558.619576474.2196817737.31979281800.019587548.0196918801.51980292140.019598638.0197019858.01981302350.019609696.9197120929.21982312570.0196110607.71972211023.31983322849.4196211604.01973221106.7 例例 6：下表是我國：下表是我國1952年到年到1983年社會商品零售總額年社會商品零售總額（按當年價格計算），分析預測我國社會商品零售

23、總額（按當年價格計算），分析預測我國社會商品零售總額 。曲線擬合優(yōu)度分析曲線擬合優(yōu)度分析（1）對數據畫折線圖分析，以社會商品零售總額為）對數據畫折線圖分析，以社會商品零售總額為 y軸，年份軸，年份為為x軸。軸。曲線擬合優(yōu)度分析曲線擬合優(yōu)度分析（2）從圖形可以看出大致的曲線增長模式，較符合）從圖形可以看出大致的曲線增長模式，較符合 的模型有二次曲線和指數曲線模型。但無法確的模型有二次曲線和指數曲線模型。但無法確 定哪一個模型能更好地擬合該曲線，則我們將定哪一個模型能更好地擬合該曲線，則我們將 分別對該兩種模型進行參數擬合。分別對該兩種模型進行參數擬合。 適用的二次曲線模型為：適用的二次曲線模型為： 適用的指數曲線模型為適用的指數曲線模型為： 2012tybbtb tbttyae曲線擬合優(yōu)度分析曲線擬合優(yōu)度分析（3）進行二次曲線擬合進行二次曲線擬合。首先產生