第1講變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

1、精品文檔精品文檔導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)川第1講變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【2013年高考會(huì)這樣考】1 .利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在某點(diǎn)處的切線方程.2 .考查導(dǎo)數(shù)的有關(guān)計(jì)算，尤其是簡(jiǎn)單的函數(shù)求導(dǎo).【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】本講復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)充分利用具體實(shí)際情景，理解導(dǎo)數(shù)的意義及幾何意義，應(yīng)能靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行某些函數(shù)求導(dǎo).科*KAOJIZIZHUDAOKUE一一2一一一一一一八一一一一一一一八一一一一八一一屆”一占一一一一一一4一一一4Q1*考基自主導(dǎo)學(xué)的看感記j教學(xué)相長(zhǎng)基礎(chǔ)梳理1.函數(shù)y=f(x)從xi到X2的平均變化率函數(shù)y=f(x)從X1到X2的平均變化率為.X2X1若Ax=X2-X1,®=f

2、(X2)f(X1),則平均變化率可表示為1y.LjX2,函數(shù)y=f(X)在x=X0處的導(dǎo)數(shù)定義稱函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率liAxm»0§=liAxm>0f(X0+彳廠f(X0%函數(shù)y=f(x)在X=X0處的導(dǎo)數(shù)，記作f'(x0)或y1|x=X0,即4.Xf'(X0)=liAxm»0y.ZAX(2)幾何意義函數(shù)f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f'%)的幾何意義是在曲線y=f(x)上點(diǎn)(X0,f%)處切線的斜_率.相應(yīng)地,切線方程為y-f(X0)=f'(x0)(x-X0).3.函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)稱函數(shù)f'(x)=li

3、Am>0f(x十危尸癥年f(x)的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作v；LX4.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)若f(x)=c則f(x)=0若f(x)=xn則f'(x)=nxn_J,n為自然數(shù)若f(x)=x/x>0,產(chǎn)0)則f'(x)=從，科為有理數(shù)若f(x)=sinx則f'(x)=cosX若f(x)=cosX則f'(x)=sinx若f(x)=aX(a>0,且aw1)則f'(x)=axlna若f(x)=ex則，(x)=eX若f(x)=logax(a>0,且aw1)1則f(x)=xlna若f(x)=Inx1則f'(x)=x5.導(dǎo)數(shù)四

4、則運(yùn)算法則(1)f(x)=g(x)'=f'(x)力'(x);(2)f(x)g(x)'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);(3(3()1=f(xgxgxfXg色)(g(x)w0)6.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則Vx = yuu&復(fù)合函數(shù)y=f(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為附以極博一個(gè)區(qū)別曲線y=f(x)“在”點(diǎn)P(xo,yo)處的切線與“過(guò)”點(diǎn)P(xo,yo)的切線的區(qū)別:曲線y=f(x)在點(diǎn)P(xo,yo)處的切線是指P為切點(diǎn)，若切線斜率存在時(shí)，切線斜率為k=f'(xo),是唯一的一條切線；曲線y=f

5、(x)過(guò)點(diǎn)P(xo,yo)的切線，是指切線經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，點(diǎn)P可以是切點(diǎn)，也可以不是切點(diǎn)，而且這樣的直線可能有多條.兩種法則(1)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)迭則一.三個(gè)防范1 .利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào)，防止與乘法公式混淆.2 .要正確理解直線與曲線相切和直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的區(qū)另L3 .正確分解復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，做到不重不漏.雙基自測(cè)4 .下列求導(dǎo)過(guò)程中！)=5；訴'=丘；。ogax)TTT；(ax)，=(elnax)z=(exlna)z=exlnalna=axlnaxina其中正確的個(gè)數(shù)是().A.1B.2C.3D.4答案D2.(人教B版教材

6、習(xí)題改編)函數(shù)f(x)=(x+2a)(xa)2的導(dǎo)數(shù)為().A.2(x2a2)B,2(x2+a2)C.3(x2-a2)D.3(x2+a2)解析f(x)=(x-a)2+(x+2a)2(xa)=3(x2-a2).答案C3. (2。11湖南)曲線y=.si”x一1在點(diǎn)M層。處的切線的斜率為().sinx+cosx24D.1B.2解析本小題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力.cosxfsinx+cosxsinxfcosxsinx1任y'=1(sinxcosx；=年1芯，把x=4代入得導(dǎo)數(shù)值為答案B12.A.C.(0(2+ 0° )+ 0° )B. (-1,0)

7、U(2, +8)D. (-1,0)解析令 f' (x) = 2x2 x>2,又x>0,所以x>2.故選C.答案 C4 2 fx 2fx+1 一%S 0,利用數(shù)軸標(biāo)根法可解得一1 v xv 0 或 x4. (2011江西)若f(x)=x22x4lnx,則f'(x)>0的解集為().5. 如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC,其中A,B,C的坐標(biāo)分別為(0,4),(2,0),(6,4),則 f(f(0) = _答案 2 0 gxfl(用數(shù)字作答).-202即 y= 3x2x -2x0,由 H八2 八3y = 3xox 2xoKAOXIANGTAHJIUDA

8、QXI鼾新考向.事例度破步考向探究導(dǎo)析得(xx0)2(x+2xo)=0,解得x=xo,x=-2xo.若XoW0,則交點(diǎn)坐標(biāo)為(Xo,x0),(-2x0,8x3)；若x0=0,則交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0).方法總結(jié)“利用定義求導(dǎo)數(shù)的一般過(guò)程是：(1)求函數(shù)的增量國(guó);(2)求平均變化率+Z.AX求極限liAxe0Ty.LjX【訓(xùn)練1】利用導(dǎo)數(shù)的定義證明奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù).f(x+ Ax) f(x)f' (x) = li Axm» 0證明法一設(shè)y=f(x)是奇函數(shù)，即對(duì)定義域內(nèi)的任意x都有f(x)=f(x)Ax“一x+Ax)-f(x)xTiM0f(x沙。(x)因此

9、f'(x)為偶函數(shù)，同理可證偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù).法二設(shè)y=f(x)是奇函數(shù)，即對(duì)定義域內(nèi)的任意x都有f(-x)=-f(x),即f(x)=f(-x)因此f'(x)=f(x)'=-f(x)'=f'(x)則f'(x)為偶函數(shù)同理可證偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù).考向二導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【例2】？求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(i)y=板+x5 + sin x"? ；(2)y= (x+ 1)(x + 2)(x+ 3); x2x(3)y= sin 1 2cos 4 ;片 i+ix；審題視點(diǎn)先把式子化為最簡(jiǎn)式再進(jìn)行求導(dǎo).x：+ x5+ sin x解(i)- y=-2:x3

10、 , 3 , sin x =x 2+x+Ty = x- 2 / +(x3)，+ (x 2sin x)'=3x 5+ 3x2 2x 3sin x + x 2cos x.(2)法 y = (x2+ 3x+ 2)(x+ 3) = x3 + 6x2 + 11 x+ 6, .y' = 3x2+12x+ 11.法二 y' = (x+ 1)(x+ 2)' (x+3)+(x+1)(x+ 2)(x+3)'= (x+1)' (x+2)+(x+ 1)(x+ 2)' (x+3)+(x+1) - (x+2)=(x+ 2+ x+ 1)(x+ 3)+ (x+ 1)(x

11、+ 2)=(2x+ 3)(x+ 3)+ (x+ 1)(x+ 2)= 3x2+ 12x+ 11. : y= sinx U cosx ;= 1sin x,1 ,1,一Qsin x j = 3sin x)12cos x.11_ 1+vx+1 - yx _ 2y 1 - Vx 1 + 5(1 血(1+或)1 x，yb-x)(1-xj (1-x 2.方法總結(jié)(1)熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及四則運(yùn)算法則是正確求導(dǎo)的基礎(chǔ).(2)必要時(shí)對(duì)于某些求導(dǎo)問(wèn)題可先化簡(jiǎn)函數(shù)解析式再求導(dǎo).【訓(xùn)練2】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y=xnex；(2)y=cos xsin x(3)y=exlnx;(4)y=(x+1)2(x-1)

12、.解(1)y'=nxn1ex+xnex=xn1ex(n+x).一sin2xcos2x1y-sin2xsin2X(3)y，=exlnx+exX=exX+lnx.(4);y=(x+1)2(x1)=(x+1)(x21)=x3+x2-x-1,'V,=3x2+2x1.考向三求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例3】？求下列復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=(2x3)5；(2)y=V3Z7x；(3)y=sin2|2x+3j(4)y=ln(2x+5).審題視點(diǎn)正確分解函數(shù)的復(fù)合層次，逐層求導(dǎo).解設(shè)u=2x3,則y=(2x-3)5,由y=u5與u=2x3復(fù)合而成，：7=f'(u)u'(x)=(u5y(2

13、x3)'=5u42=10u4=10(2x-3)4.(2)設(shè)u=3x,則y=>/3x.,1一由y=U2與u=3x受合而成.V'=，(U)u，(x)=(u2)'(3xy=2u-1(-1)_11_13-x一2u2=2<3二x=2x-6.設(shè)y=u2,u=sinv,v=2x+則 v； =yuuj Vx' = 2u cos v 2= 4sin 2x+ 3t設(shè)y= In u,Io ,工、 cos2x+ 3 廠2sin4x+235 i.u = 2x+ 5,貝U yx' = Vu' ux',_J2y=2x+5(2x+5)=2x+5解這類問(wèn)題方法

14、總結(jié)”由復(fù)合函數(shù)的定義可知，中間變量的選擇應(yīng)是基本函數(shù)的結(jié)構(gòu),的關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復(fù)合層次，一般是從最外層開始，由外向內(nèi)，一層一層地分析，把復(fù)合函數(shù)分解成若干個(gè)常見的基本函數(shù)，逐步確定復(fù)合過(guò)程.【訓(xùn)練3】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y=收+1;(2)y=sin22x；(3)y=exsin2x;(4)y=ln，1+x2.解(1)y'=A2-2x=/,2W+1W+1(2)y'=(2sin2x)(cos2x)X2=2sin4x(3)y'=(ex)sin2x+ex(cos2x)X2=ex(2cos2xsin2x).(4)y=/2f22x=2.W+x2/1+x1+xHKAOTIIZ

15、HUANXIANTUPQQ考題專項(xiàng)突破規(guī)范解答6如何求曲線上某一點(diǎn)的切線方程【問(wèn)題研究】考常常涉及的問(wèn)題.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)在某一點(diǎn)的坐標(biāo)或某一點(diǎn)處的切線方程是高這類問(wèn)題最容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤就是分不清楚所求切線所過(guò)的點(diǎn)是不是切線而導(dǎo)致錯(cuò)誤.【解決方案】解這類問(wèn)題的關(guān)鍵就是抓住切點(diǎn).看準(zhǔn)題目所求的是“在曲線上某點(diǎn)處的切線方程”還是“過(guò)某點(diǎn)的切線方程”，然后求某點(diǎn)處的斜率，用點(diǎn)斜式寫出切線方程.【示例】？(本題滿分12分)(2010山東)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+1a1(aCR).x當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2)處的切線方程；(2)當(dāng)aw2時(shí),討論f(x)的單調(diào)性.量速破

16、力(1)求出在點(diǎn)(2,f(2)處的斜率及f(2),由點(diǎn)斜式寫出切線方程；(2)求f'(x),再對(duì)a分類討論.解答示范(1)當(dāng)a=-1時(shí)，f(x)=lnx+x+2-1,xx+x2xC(0,+8).所以f(x)=2,x(0,+00)(1分)x因此f'(2)=1,即曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2)處的切線斜率為1.又f(2)=ln2+2,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2)處的切線方程為y-(ln2+2)=x2,即x-y+ln2=0.(3分)e、r1aAm、11,a1axX+1a(2)因?yàn)閒(x)=lnxax+x1,所以f(x)=xa+x2=x2,x(0,+°0).(4

17、分)令g(x)=ax2x+1a,xC(0,+8).當(dāng)a=0時(shí)，g(x)=x+1,xC(0,十00),所以當(dāng)xC(0,1)時(shí)，g(x)>0,此時(shí)f'(x)V0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xC(1,+8)時(shí)，g(x)<0,此時(shí)f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；(6分)當(dāng)aw0時(shí)，由f'(x)=0,即ax2x+1a=0,解得x1=1,x2=11.a1一a.當(dāng)a=2時(shí)，x1=x2,g(x)>0恒成立，此時(shí)f(x)<0,函數(shù)f(x)在(0,)上單倜遞減；(7分)1一1b.當(dāng)0vav2時(shí)，£1>1>0.xC(0,1)時(shí),g(x)

18、>0,此時(shí)f(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;x(1,-1時(shí)，g(x)0,此時(shí)f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;xl-1,+°0時(shí),g(x)aa>0,此時(shí)f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；(9分)c.當(dāng)a<0時(shí)，由于11<0,xC(0,1)時(shí)，g(x)>0,此時(shí)f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；axC(1,+8)時(shí)，g(x)<0,此時(shí)f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.(11分)綜上所述：當(dāng)aw。時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在(1,)上單調(diào)遞增；,1一，當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,+°°)上單倜遞減；,1一，當(dāng)0va<2時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,1)上單倜遞減，函數(shù)f(