第2章小波變換的基礎理論研究VIP

1、精品文檔第2章小波變換的基礎理論研究2.1引言Fourier變換是信號處理的重要工具，它在語音、雷達、聲納、地震、圖像、通信系統(tǒng)、自動控制、生物醫(yī)學工程、機械振動、遙感遙測、電力系統(tǒng)等許多領域都得到了應用。但是Fourier變換反映的是信號的整體特性，不能得到信號的局部特性。小波變換是時間和頻率的局部變換，能更加有效的提取和分析信號的局部特性。小波分析在許多領域，如信號分析、圖像識別、計算機視覺、視頻圖像分析、數(shù)據(jù)壓縮和傳輸、故障診斷等領域有著重要的應用。圖像的小波變換及其壓縮編碼是當今圖像壓縮編碼領域中的研究熱點，Saprio1提出的圖像內(nèi)嵌小波零樹EZW(EmbeddedZerotreeW

2、avelet)編碼技術使該技術由理論走向實用。Said和Pearlman2在EZW基礎上又給出了更為精細的基于分層樹結構的集合分裂算法SPIHT(SetPartitioninginHierarchicalTree)。由于這種算法既降低了碼率，又加快了算法的執(zhí)行速度，因而得到了廣泛的應用，在新標準JPEG20003,4中已有應用。然而在圖像的小波壓縮編碼技術中，小波基的正則性、信號的邊界處理對壓縮率及失真的影響仍然是值得研究的問題5。本章在小波變換的理論基礎上對這些問題做了一些分析和探討。2.2小波變換的原理7-112.2.1 短時Fourier變換(STFT:ShortTimeFourierT

3、ransform)對于一些非平穩(wěn)信號，如音樂信號、語音信號，圖像信號等，它們的頻域特性都是隨時間變化的。對這一類信號用Fourier變換進行分析，僅能知道信號所含有的頻率信息，但不能知道這些頻率信息究竟出現(xiàn)在什么時段上，為了研究這些信號的局部形態(tài)，需要對信號進行二維時-頻分析。二維時-頻分析實際上就是依賴于時間的頻譜特性。STFT首先是由Garbor提出的?？紤]一個信號x(t),集中在一個局部點J假定通過一個窗函數(shù)g(t)(g(t)是在有限的時間區(qū)間內(nèi)定義的)，通過窗口的x(t)g”(t-9的Fourier變換就是STFT7:STFTx(f)=£x(t)g(t-力ej2ftdt(2.

4、1)這就把一維信號x經(jīng)STFT變換映射到二維的時-頻平面(小f)上。STFT非常強的依賴于窗函數(shù)g(t)oSTFT的反變換7為：Mt)=,Jdf.JSTFXTf)g(t-加j2ftdp(2.2)(2.(1) 從兩方面進行解釋6,7。在二維時-頻平面上，如圖2.1所示，垂直方水平方向的橫條表示在給定頻率f處，用 f脈沖響應為g的帶通濾波器對所有時間 的信號進行濾波。g(t)不但要求在時域是近 似有限寬的，而且在頻域也要求是近似有 限寬的，如圖2.2所示。STFT中的窗函數(shù)g(t)一旦確定，它的 時間窗大小和頻率窗大小就確定了。時間 窗大小和頻率窗大小決定了g的時間分辨率和頻率分辨率。根據(jù)文獻7,

5、設g(t)fSTFT(f f，2STFT(力2)圖2.1 STFT的時-頻平面向上的豎條表示在出寸刻，在窗函數(shù)g(t)確定的窗口范圍內(nèi)所含有的所有頻率分量；另一方面，從子帶分析的角度來看，精品文檔的Fourier變換為G，定義濾波器g(t)的帶寬M為:(2.3)八f2|G(f)|2df-2|G(f)|2df其中分母表示g(t)的能量。兩個正弦信號，只有它們的頻率差大于3時，通過濾波器g(t)才能將它們區(qū)分出來，所以以g(t)為窗口的STFT的頻率分辨率由由決定。類似，時間的寬度3定義為：22(2.4)廢_t|g(t)|dtIg(t)12dt其中分母同樣表示g(t)的能量，兩個脈沖信號只有它們在

6、時間上相距大于加時，通過濾波器G才能將它們區(qū)分出來。在(2.3),(2.4)式中，假定g(t)和G(f)的中心點在t=0和f=0處，如圖2.2所示在STFT中，由于A和Af的固定不變，在整個時-頻平面上只能采用相同的頻率、時間分辨率，這是STFT的不足。因為對于非平穩(wěn)信號，也許某一小時間段上，是以高頻信息為主，我們希望用小的時間窗進行分析，而對長時間段上的低頻信號，希望采用大時間窗進行分析。因此，對于一個時變的非平穩(wěn)信號，很難找到一個好的時間窗來適合于不同的時間段。小波變換的引入彌補了STFT的不足。小波變換采用了可變帶寬的窗函數(shù)(濾波器)，在低頻端用窄帶濾波器進行分析，而在高頻端用寬帶濾波器

7、進行分析，這就是所謂的相對帶寬固定的濾波器組(即恒Q特性)6。如圖2.3(b)所示。圖2.3為STFT下的絕對帶寬恒定的濾波器組。G(f)8fo(b)相對帶寬恒定的濾波器組頻譜圖2.3STFT和小波變換濾波器組的頻譜2.2.2連續(xù)小波變換(CWT:ContinuousWaveletTransform)2.2.2.1 一維連續(xù)小波變換設dt)為平方可積函數(shù)，Mt)wL2(R),若其Fouriera變換A(co)滿足:(2.5)則稱a(t)為一個基本小波或小波母函數(shù)，(2.5)式為小波函數(shù)的容許條件。由(2.5)式可知：A(=0=fo(t)dt=0(2.6)R即小波母函數(shù)的均值為零，那么它一定是正

8、負交替的。如Marr小波：.22一t/2223/2陽)=e(1t)宣3)=可2九3e對一個小波母函數(shù)0<t）,通過平移和伸縮構成一組小波基，記為%,0）1 t- T%,p(t) =4).a aa>0, R(2.7)參數(shù)a,吩別稱為尺度因子和位移因子（常數(shù)1/西是用于能量的歸一化）。Marr小波的基及其Fourier變換如圖2.4所示。由于a,t為連續(xù)變換的，所以看,?。檫B續(xù)小波基函數(shù)圖2.4 Marr小波基的時域波形、頻域波形信號x（t）的連續(xù)小波變換定義為7CWTx(a,Xf(t),«a,T(t)>(2.8)1,tT=丁僅。)蟻)dt.aRaCWT將一維信號映射

9、到二維時間-尺度平面上，在二維時間-尺度平面上,有利于信號特征的提取。從時-頻分析的角度來看，如令(2.9)則CWT可看作是STFTo信號x（t）在某一尺度a,平移點三上的小波變換系數(shù),實質上表征的是7位置上，時間段aN上經(jīng)過中心頻率為的，帶寬為4相帶通濾波器的頻率分量大小。隨著尺度a的變化，帶通濾波器的中心頻率及帶寬都發(fā)生變化。當分析低頻（對應大尺度）信號時，其時間窗增大，濾波器中心頻率和帶寬減小，而當分析高頻（對應小尺度）信號時，其時間窗減小，濾波器中心頻率和帶寬增大，這正好符合實際問題中高頻信號持續(xù)時間短，低頻信號持續(xù)時間長的自然規(guī)律。而在STFT中，窗口是固定不變的，這正是兩者的本質區(qū)

10、別。小波變換的逆變換為8,9:x(t)=d|JCWT(a,如aMt)d忑(2.10)Chr-ar2.2.2.2 二維連續(xù)小波變換設a(x,y)為一二維連續(xù)函數(shù)，滿足容許條件：- RX w d(2.12)(2.13)圖2.5二維Marr小波母函數(shù)的時域波形，尺度 a分別為0.5、1、2則o(x,y)可以作為小波母函數(shù)。慶(附,孫)為(x,y)的二維Fourier變換。維連續(xù)函數(shù)f(x,y)的小波變換定義為:CWT(a,3©)="f(x,y)%3©(x,y)dxdyRR其中，,彳,為(x,y)為二維小波基，專，及為兩個方向上的位移，a為尺度1x1y百洵q,及(x,y)

11、=；-'隊,)|a|aa二維Marr小波母函數(shù)o<x,y)=(1-x2-y2)e-(x24y2)/2，時域波形見圖2.5維小波變換的逆變換為:f (x,y) = Jo 粵二Ch a容CWTf (a, a,T2)dcd 及當二維小波母函數(shù)是可分離型時，即a(x,y)=g(x)a2(y)，則它可簡化為一維小波變換。在實際的圖像小波變換中大都采用可分離的小波變換02.3多分辨率分析與Mallat算法2.3.1 小波變換參數(shù)的離散化由于連續(xù)小波變換CWTx(a,)變換域參數(shù)是連續(xù)的，從降低信息冗余9的角度和實際應用的角度來說，需要將尺度參數(shù)和位移參數(shù)離散化。一種最常用的方法就是將尺度按幕

12、級數(shù)進行離散化，即取a=a°m(mwZ,Z為整數(shù)基，a/1,常取為2)。位移的離散化，為了不丟失信息，要滿足Nyquist采樣定理。當尺度a增加一倍時(m加1),對應的濾波器帶寬減小一半，采樣頻率可以降低一半，采樣間隔增大一倍。因此，在尺度a=1(m=0)時，位移e的采樣間隔設為To,則在尺度a=aom時的采樣間隔為aomToo因此，在尺度和位移都離散化后，小波基函數(shù)Ota7可表示為：a,m_m2.t2nT0-m2_m.2Xm)=2o(2t-nTo)->om,n(t),m,n=Z.2在歸一化(設To=1)情況下，上式為：n(t)=2-m/242-mtn)(2.15)任意函數(shù)x的

13、離散小波變換為：DWTx(m,n)二亡x(t)淅,n(t)dt(2.16)2.3.2 多分辨率分析(MRA:Multi-ResolutionAnalysis)多分辨率分析方法是Mallat在研究計算機視覺時提出的11,它的基本思想是將圖像在不同尺度下分解，得到不同尺度下圖像分解的結果，然后進行比較，從而得到一些有用的信息。2.3.2.1 多分辨率分析的數(shù)學描述9,10,112設函數(shù)幻)WL(R)(平方可積空間)，若其整數(shù)平移序列%(t)=淋-n)相互正交，即：<%(t),%,(t)A9nn')n,nZ(2.17)則由%(t)所張成的子空間稱為尺度空間網(wǎng)，而函數(shù)口(t)稱為尺度函數(shù)

14、(或生成元)。由(2.15)式可知，在尺度函數(shù)序列%(t)中由于m=0,因此，由%(t)所張成的子空間為零尺度空間，記做V。，而廝(t)即為V0的一組基根據(jù)泛函分析的理論12,任意函數(shù)f(t)wVo,可以由Vo的一組基的線性表出，即：f(t)=£cn%(t)(2.18)n其中：Cn=£f(t)生(t)dt(2.19)同樣可得到尺度m#0下的尺度函數(shù)序列mn(t)=25'22-mt-n),由,n(t)所張成的子空間為m尺度空間，記為Vmo那么任意f(t)WVm可由%,n(t)線性表出：f(t)=£cm,ngn(t)(2.20)n由此，尺度函數(shù)必)在不同尺度下

15、的平移序列張成了一系列的尺度空間Vm,m-Zo隨著尺度m的增大，函數(shù).n(t)的寬度增大，且實際的平移間隔(2mTo)也變大，所以它的線性表達式(2.20)就不能表示函數(shù)的細微變換(小于該尺度下的變化)，因此，其張成的尺度空間只能包含大尺度的慢變信號，相反，隨著尺度m的減小，函數(shù)0n(t)的寬度變小，實際的平移間隔(2mTo)也變小，則它的線性表達式可以表達函數(shù)的更細微的變化，因此，其張成的尺度空間所包含的函數(shù)增多，尺度空間變大。由此，可以給出多分辨率分析嚴格的數(shù)學描述：(1)在L2(R)中，存在一系列嵌套子空間Vm,mZ,二V2二V1二V0二V二V工二(2.21)這一系列嵌套子空間具有：逼近

16、性：riVm=(0)UVm=L2(R)(2.22)mEZm之伸縮性：f(t)Vm=f(2t)Vm_1(2.23)(2)存在函數(shù)Mt)WV0,使得與=Mt-n)n已構成Vo的正交基，即V0=spanf加一n),o(tn)如m)dt=8(m-n)(2.24)R若廝(t)ng是Vo的正交基，則qm,n(t)=2f242-mt-n)m,ng是Vm的正交基。2.3.2.2 小波函數(shù)10雖然多分辨率分析的一系列子空間逼近L2(R),但是，由于它們之間是互相包含的，不具有正交性，因此它們的基0,n(t)m,nEZ在不同尺度下不具有正交性，因而也就不能作為L2(R)的正交基。為了尋找一組L2(R)的正交基，有

17、必要引入Vm的正交補。設Wm是Vm的在Vm-1中的正交補空間，即Vm-Vm二WmWmVVm(2.25)那么，對任意mF,Wm和Wn都是正交的，由(2.21)、(2.22)式可得：2L(R)=二Wm(2.26)m.-Z因此，Wm是構成L2(R)的一系列正交子空間，且Wm=Vm-Wm,W0=V-V0(2.27)若g(t)wW0,則g(2-mt)Wmlm,亦即：g(t)W0=g(2t)Wm(2.28)若露(t)=B(t-n)n且是性的一組正交基，由(2.28)式對任意尺度mZ,階n(t)=2,2H2-mt-n)nez一定是Wm的一組正交基，再根據(jù)(2.26)式，全體他,n(t)m,na構成L2(R)

18、的一組正交基，陽)就是小波母函數(shù)，Wm是尺度為m的小波空間。小波空間與尺度空間是互補的，尺度空間之間是包含關系，而小波空間是正交關系。2.3.2.3 一維信號的多分辨率分析根據(jù)多分辨率分析的定義，由于V0=Vi份Wi,如果一維信號f(t)WV0,則f(t)可分解(投影)為Vi和Wi上的兩部分，在Vi上的投影稱為f(t)的近似部分，記為f1a(t),在Wi上的投影稱為f(t)的細節(jié)部分，記為f1d(t)。如果Mt)是尺度函數(shù)，F(xiàn)(t)是小波函數(shù)，那么：fia(t)=Nai,nM2-it-n)(2.29)nfid(t)=£din«2-it-n)(2.30)n其中ai,n和di,

19、n分別為尺度分解系數(shù)和小波分解系數(shù)：ai,n=：二f(t),2-it-n)(2.3i)di,nxf(t),3(2-it-n)>(2.32)重構信號：f(t)=f1a(t)f1d(t)_-1_1=£ai,nM2tn)+£di,n*2t-n)(2.33)nn同樣，當f(t)wV-i,V=V0Wo,則f(t)可分解(投影)為Vo和Wo上的兩部分：f(t)=foa(t)fod(t)=£ao,nMt-n)+£d°,n陽-n)(2.34)nnao,n=：二f(t),Kt-n).(2.35)do,nKf(t),atn)A(2.36)以上的分析是在m=-

20、1,0,1的尺度空間進行的，在其它尺度空間上同樣適用。2.3.2.4 一維二尺度方程尺度函數(shù)和小波函數(shù)在相鄰兩個尺度上的關系就是二尺度方程，它反映了相鄰尺度空間和小波空間之間的內(nèi)在聯(lián)系。由多分辨率分析的定義可知，若Mt)和陽)分別為尺度空間Vo和小波空間Wo的正交基，由于VoV-1,W0UV-1,所以染)和陽)也必然包含在V-1中，而V-1的一組正交基為乜n(t)=21/2戲t-n)nwz,所以必)和陽)可以表示為:如)=21/2%h(n)o(2t-n)(2.37)n1/2B(t)=2'g(n)o<2tn)(2.38)n其中系數(shù)h(n)和g(n)分別為：h(n)k如)，a,n(t

21、)>=21/2/加)W2t-n)dt(2.39)Rg(n)K陽)，a,n(t)a=21/2J陽)W2tn)dt(2.40)R對任意相鄰空間，(2.37)和(2.38)都成立10,此二式就稱為二尺度方程。系數(shù)h(n)和g(n)稱作濾波器系數(shù)，它們是由尺度函數(shù)項)和小波函數(shù)陽)決定的，與具體的尺度無關。2.3.3 Mallat算法11設V0是一尺度空間，%(t)=必-n)n-Z是它的正交基，那么任意f(t)wV0可以由«n(t)n.線性表出，即：f(t)=£a0,no(tn)n其中：a0,nKf(t),a(t_n)A為f(t)在V0上的尺度系數(shù)。由于V0=V19W1,將f

22、(t)在Vi和Wi上分解,即：-，-一1、，-1、f(t)=£ai,nM2t-n)+Zdi,n做2t-n)nn其中："n(t)=2'/22'tn)nx是Vi的正交基，§,n(t)=2/2氐2,tn)nsz是Wi的正交基。atn=<f(t),«(2-it-n)>,d1nxf(t),H2-itn)>分別為f(t)在Vi上的尺度系數(shù)和Wi上的小波系數(shù)。根據(jù)二尺度方程不難得到i0,ii：ai,n=，h(m-2n)ao,m="h(m)ao,2nm(2.4i)mmdi,n="g(m2n)a0,m="g(

23、m)a0,2nm(2.42)mm其中：h(m)、g(m)分別是分解時相應的低通濾波器和高通濾波器，a0,m是0尺度下尺度系數(shù)，ai,m是i尺度的尺度系數(shù)，dim是i尺度的小波系數(shù)，初始系數(shù)a0,m一般取為函數(shù)的采樣值i0o對aim繼續(xù)分解就可以得到函數(shù)的金字塔型分解算法，如圖2.6所示圖2.6維Mallat分解算法重構：a0,m=：h(m-2k)ai,k八(m-2k)di,kkk=h(m)ai,(m4)/2g(m)di,(m*)/2(2.43)mm一一一、其中：h(m)、(m)分別是重構時相應的低通濾波器和圖通濾波器。上式中ai,(m-k)/2、di,(m-k)/2當(m-k)取奇數(shù)時取零,即

24、插零2.4圖像信號的小波變換將一維信號的分析結果推廣到二維圖像信號上來，就有以下的結果2.4.1 二維多分辨率分析設Vmm字是一維L2(R)的多分辨率分析的尺度空間嵌套，o(t)是它的尺度函數(shù)。Vm的一組正交基為om,n(t)=2；2戲-mt-n),Wn是Vm在Vm-1中的正交補，即Vm=VmWm,Wm1Vm,而外的一組正交基為3,n(t)=252亂2mt-n)。則可通過一維多分辨率分析的張量積來定義二維的多分辨率分析。設：以乂二%(2.50)則Vm滿足：uV1cV0UV/U(2.51)一Vm=L2(R2),-Vm40)(2.51)mFZm三Z令(x,y)=0(x)0),則(x,y)為Vm的尺

25、度函數(shù)，那么，Vm空間的一組正交基為：m,ni,n2(x,y)=2a(2mx-n1)of2my-n2)m,ni,n2Z(2.52)Vm-Vmj二Vm=(Vm二Wm)二(Vm二Wm)123叫二Wm1二Wm2二Wm3(2.53)其中：Wm1=Vm®Wm，Wm2=Wm®Vm，Wm3=Wm®Wm(2.54)iijii且Vm!Wm(i=1,2,3),Wm!WmJiwj,i,jw1,2,3,及WmVW(miWm!2)。在m尺度上，有四個正交的子空間Vm,Wm1,Wm2,Wm3,它們的母函數(shù)分別是：(x,y)=o(x)o(y)(2.55a)&x,y)=o(x)B(y)(

26、2.55b)"x,y)=gx)a(y)(2.55c)n(x,y)=B(x)B(y)(2.55d)由母函數(shù)的伸縮和平移可構成它們的正交基，類似于(2.52)式。由(2.53)式，任一函數(shù)f(x,y)CV0可投影到V；,W1,W12和W13空間上，則有:f(x，y)=ZZa1,nn21,n1,n2(x，y)d1nl,n24,n1,n2(x，y)nin2n1n2一"孤一1,ni,n2(X,y)一二二d；ni,n21,ni,n2(X,y)(2.56)nin2nin2其中：ai,n1m281門口20=1,2,3)為展開系數(shù)，分別為：ai,n1,n2Kf(X,y),-：J1,n1,n2

27、(X,y)(2.57a)1di,nin2=f(x,y),i,ni,n2(x,y)(2.57b)d1,ni,n2=<f(X,y),i,ni,n2(X,y)(2.57c).3.di,nin2=：二f(X,y),i,n1,n2(X,y)(2.57d)ainz為f(X,y)在尺度1上的近似系數(shù)，dimm為該尺度三個方向上的細節(jié)系數(shù)。2.4.2圖像小波變換的算法2.4.2.1 二維二尺度方程在二維情況下，每個尺度上有四個子空間，所以就有四個二尺度方程，在0尺度和1尺度之間二尺度方程為：O(x,y)=江h(huán)o(ni,血)Oi,m,n2(X,y)(2.58a)nin2&x,y)=£&#

28、163;hi(ni,ri2)3,小股(x,y)(2.58b)nin2(x,y)三年(5,6)im/xy)(2.58c)nin2(x,y)f卜3(小幣2)i,n1,n2(x,y)(2.58d)nin2其中hi(X,y)i=0,1,2,3二維濾波器系數(shù)。對任意兩相鄰子空間Vm和Vm由，上面的二尺度方程總是成立。在(2.50)式的條件下，可以得到：ho(ni,n2)k(x,y),i,m,n(x,y)>(2.59a)=°(x)o(y)2o(2x-n1)o(2y-n2)dxdy=h(ni)h(ri2)，/、產(chǎn)/、產(chǎn)z、一hi(ni,n2)(x,y),im,n(x,y)=自己<x)R

29、y)2o(2x-ni)R2y-n2)dxdy=h(ni)g(n2)(2.59b)其中h(ni),g(nj為一維濾波器,見(2.39)、(2.40)式。同理：h2(ni,n2)=g(ni)h(n2)(2.59c)h3(ni,n2)=g(ni)g(n2)(2.59d)2.4.2.2 圖像小波變換的分解與重構算法10,11根據(jù)二尺度方程(2.58)式及(2.57)式可以得到二維圖像信號的小波分解算法為：ai,k1,k2h(ni)h(n2)a0,n12klm22k2(2.60a)n1n2I1d1,k1,k2=h(n1)g(n2)a0,n12k1,n22k2(2.60b)n1n212d1,k1,k2=、

30、g(n1)h(n2)a0,n12kl,n22k2(2.60c)n1n2I3d1R,k2=g(n1)g(n2)a0,n12kle22k2(2.60d)n1n2上式將0尺度上的近似系數(shù)a。分解為1尺度上的近似系數(shù)和三個不同方向上的細節(jié)系數(shù)。對1維尺度上的近似系數(shù)a1再進行分解，即形成了二維的金字塔分解算法。1重構：a0,n1,n2=h(k1)h(k2)a1,(n1-k1)/2,(n2-k2)/2+-h(k1)g(k2)d1(n1-k1)/2(n2-k2)/2k1k2k1收十二g(k1)h(k2)d1(n14)/2-k2)/2+-9(4)9«2)&1(*)/2,(n2抬)/2(2.

31、61)k1k2k1檢2.5 小波變換的正則性132.5.1 小波變換的濾波器表示在小波變換算法中，濾波器起著重要的作用。一維信號的一級小波分解與重構可以用圖2.7所示的雙通道的濾波器組來表示。圖2.7雙通道的濾波器組設h(k)和g(k)的z變換分別為H(z)和G(z),出)和%)的z變換分別為才和弓，a0,k和a0,k分別記為a0(k)和？0(k),它們的z變換分別為Ao(z)和及,則：Ao(z)=1H(z)(z)G(z)(5(z)A(z)21+2H(-z)H(z)+G(-z)G(z)A(-z)(2.62)當濾波器滿足以下條件時：H(z)-G(-z)(2.63)G(z)=H(-z)(2.64)

32、H(z)G(-z)-H(-z)G(z)-2z-n(2.65)則：A0(z)=zHAo(z)(2.66)對應時域為：?o(k)=a0(k-n)(2.67)此式表明，重構信號僅是輸入信號的n步延遲，即實現(xiàn)了完全重構。由下面的公式可知n一定為奇數(shù)。而(2.63),(2.64),(2.65)式就是完全重構條件，對應到時域為：h(n)-(-1)g(n)g(n)=(-1)h(n)iLk2j=n1-(-1)jS(-1)kh(k)g(k-j)=t，JkPj#n2.5.2 正則性探討5,13在圖像的小波變換編碼中，一般選擇正交或雙正交小波基。小波基對應濾波器組，不同的濾波器組在進行信號分解與重構時產(chǎn)生不同的效果

33、。小波基與濾波器組的對應關系見表2.113:表2.1:小波基與濾波器組的對應關系小波基濾波器組對稱性相位系數(shù)數(shù)量正則性正交小波不對稱(除一組系數(shù)，其他三基不保證線性相位組系數(shù)是該組系數(shù)的逆序及其調(diào)制任意階正則性Haar小波)雙正交小兩組系數(shù)，其他兩有限階正則性對稱確保線性相位組系數(shù)是這兩組系(與濾波器長度波基數(shù)的逆序及其調(diào)制有關)正則性是函數(shù)光滑程度的反映，是選擇小波變換濾波器應考慮的一個重要因素。定義1:設函數(shù)o(x)的N階導數(shù)存在，對任意x,殳R,若有a(N)(xM)a(N)(x)|<丁產(chǎn)，其中：0<K<1,C是與x9無關的常數(shù)，那么稱o(x)具有N+上階正則性。根據(jù)定義

34、，若Mx)具有N+K階正則性，則o(x)具有N階連續(xù)導數(shù)。正則性越高，函數(shù)越光滑。越光滑的函數(shù)，在頻域中能量越集中。尺度函數(shù)的正則性與小波函數(shù)的消失矩成對應關系，高階正則性的尺度函數(shù)對應高階消失矩的小波函數(shù)。當給出分解低通濾波器h(n)后，可以構造出尺度函數(shù)o(x嚴,15。定理1:設h(n)是有限長序列，n=0,1,L-1,H(z)是h(n)的z變換。定義H4(z)=H(z2i),H(0(z)=1。H(k(z)所對應的時域序列為h(k*n),則h(k*n)i=0的長度為(2k-1)(L-1)+1。證明：用數(shù)學歸納法k=1時，HC(z)=H(z),對應的時間序列為h0(n),結論成立。八八cL/

35、ck=2時，H(z)=H(z)H(z),H(z)=2h(n)zn,對應的時間序列長度nHD為2(L-1)十1。根據(jù)卷積定理，H(2b)的時間序列為H(z)與H(z2)時間序列之卷積，其長度為2(L-1)+1+L-1=3(L-1)+1，結論成立。設k=K時，結論成立。當k=K+1時：H"*z)=H(K(z)H(z2K)由于H(z2K)的時間序列長度為2K(L-1)+1,所以H(K*h)的序列長度為(2K-1)(L-1)+1+2K(L-1)+1=(2K*)(L-1)+1。結論成立。定理2:構造一個函數(shù)：f(k)(t)=2k/2h(k)(n),n/2k4t4(n+1)/2k,h(k)(n)

36、與H(k)(z)為一Z變換對。則：f(k)(t)=21/2Sh(m)f(k-1)(2t-m),f(k)(t)的支撐集m為0MtML-1。證明：由于H(k)(z)=H(k,)(z)H(z2kj,所以：f=2k/2£h(m)h(k/)(n-2k-1m),n/2k<t<(n+1)/2k。m又由于:f2(2")=2(kJ)/2h(kJ)(n),n/2k,«2t-m«(n+1)/2k。令：n1=n+2"m,則：f(kJ)(2t-m)=2(kJ)/2h(kJ)(n1-2k-1m),n1/2k<t<(n1+1)/2k0所以：f(k)(

37、t)=21/2£h(m)f(k-1)(2t-m)。m根據(jù)定理1,0<t<L-10當kT®時，若f(k)(t)收斂到一個連續(xù)函數(shù)o(x),那么h(n)就具有正則性，Mx)就是由h(n)生成的尺度函數(shù)。只有h(n)滿足一定的條件16,才能保證f(k)(x)收斂到一個連續(xù)函數(shù)。實際的圖像除小部分邊沿之外，大部分是光滑的。小波分解時，低頻系數(shù)包含原圖像的大量信息，而高頻系數(shù)除極少數(shù)系數(shù)外，大部分接近于零?；谛〔ㄗ儞Q的圖像壓縮編碼技術正是利用了小波變換的這個特性。設f(t)是一個充分光滑的函數(shù)，f(t)可由t=0點的Taylor級數(shù)近似：f(t)：Pm(t)=f(0)f

38、'(t)f-(0)t2-f-(0)tM(2.68)2!M!其中：f(t)表示f(t)在t=0點的i階導數(shù)。根據(jù)Taylor級數(shù)的性質，當乂*時f'(0)t0。M!由(2-36)式，小波展開系數(shù)do.xf(t),附-n)a.巴Pm(t)虞-n)dtMfi(0)-i=£.gtB(t-n)dt(2.69)i=0i!定理3:當小波函數(shù)B(t)具有M階消失矩時，即：巴,ti黑)dt=0,i=0,1，,M-1,則：邕ti&t-n)dt=0,i=0,1，,M-1,VnwZ(整數(shù)集)。i證明：Jti第-n)dt=g(t+n)i第)dt=gZGjtjni-j陽)dtj-j=0i

39、=£Cijni-j自tjB(t)dt=0j/一一回到(2.69)式，當不)的消失矩越高時，d0,n越接近于零。2.6 濾波器組的線性相位與邊界處理13當信號經(jīng)過小波分解后，分解后的信號要發(fā)生相移；當濾波器具有線性相位時，它的相移是線性的；而當濾波器不具有線性相位時，它的相移是非線性的。對線性相移，在重構時可用與分解濾波器成正交的重構濾波器進行補償，使重構的信號在相位上保證與原信號一致。小波變換是針對無限長信號的，對于有限長的信號，必須處理好邊界問題。處理邊界的原則是(1)保持信息不丟失(即恢復信號不能畸變)，(2)數(shù)據(jù)量不能增大。為此，已有了零延拓、對稱延拓17及周期延拓。我們認為周

40、期延拓是更好的方法，結合本文提出的濾波方法，可以滿足上面兩點要求。設待處理的有限長信號為x(0),x(1)，x(N-1),長度為N;對x(n)做周期延拓。分解時向后延拓M(濾波器長度)點，xf(n)=x(-M),x(-1),x(0)，x(N-1),其中x(-1)=x(N-1),x(-2)=x(N-2),，對x,(n)做濾波，設濾波器為h0(0),h0(1)，h°(M-1),則輸出：y(n)="h0(m)xf(n-m)n=0,1，,N-1(2.70)m表示為矩陣形式：y(0)'n%"x(N -1)-一 0t(0)%(0)h0(M -1f：0h0(0)hi(1

41、)h0(M-1)0idd. d3h0(0)hi(1)h0(M -1)0x(0)x(-1)_x(M)(2.71)y(n)的相位比x(n)滯后一個角度，長度仍保持N。重構時則相反，將輸入信號y(n)向前延拓M點，濾波器采用重構濾波器g0(m),則重構信號為？(n),用矩陣表示為：一？(0) g0(M -1)g0(1)?(1)0g0(M -1)- + * I+ :?(N1)_ g0(M -1)g0(0) g00g0(0)+g0(1)y(0)0y：N-1)： y(N)Bg0(0)： yN+Mf-(2.72)重構信號？(n)的相位比y(n)超前其中：y(N)=y(0),y(N+1)=y(1)，。一個角度

42、，從而使？(n)與x(n)保持同相位，長度為N2.7 仿真研究2.7.1 濾波器正則性與小波變換的關系正則性與小波變換的關系。選用不同正則性的濾波器組對標準圖像Lena(256M256M8bit)及mosaic(256256x8bit)圖像進行一次分解與重構，如圖2.8所示，結果見表2.2,其中：a。為原圖像的像素灰度值矩陣，a1為低頻分量，dk圖2.8圖像的一次小波分解(k=1,2,3)為三個方向上的高頻分量12822562ra="(a1,i,j)/(a0,i,j)i,ji,j128k22562rd=£(di,j)/Z(a0,i,j)。i,ji,j圖2.9、圖2.10為重

43、構圖像。重構時只保留低頻分量，并對其進行整數(shù)量化,舍去高頻分量。表2.2正則性與小波變換的關系(Lena圖像/mosaic圖像)_4一正則性rard1rd2,3rdPSNR(db)波長度01二2二3r(h0)2.707,.7070.000.9941.0035.0020.000328.77aH/(g0)2.707,.7070.000.6250.1250.1250.12507.27交(h0)9.853,.377,-.111,-.024,.0381.068.9966.0012.0006.000233.25正/雙(g0)7.788,.418,-.041,-.0651.701.8001.0632.063

44、2.063211.562.7.2 濾波器的線性相位與信號的邊界問題選輸入信號為正弦信號x(n)=sin(sn),頻率切=兀/18,y1為分解后的低頻信號,y為重構信號(舍去了高頻信號)。(a)原圖像(b)Haar小波(c)雙正交小波圖2.9Lena圖像的小波分解與重構(a)原圖像(b)Haar小波(c)雙正交小波圖2.10Mosaic圖像的小波分解與重構Case1選用雙正交小波濾波器組h0=0.0663,-0.1989,-0.1547,0.9944,0.9944,-0.1547,-0.1989,0.0663g0=0.0000,0.0000,0.1768,Case2:選用止交小波濾波器組0.53

45、03,0.5303,0.1768,0.0000,0,0000h0=-0.0106,0.0329,0.0308,-0.1870,-0.0280,0.6309,0.7148,0.2304g0=0.2304,0.7148,0.6309,-0.0280,-0.1870,0.0308,0.0329,-0.0106仿真結果見圖2.11和圖2.122 y0'0 一-1 _ _ _ _051015 (a) 20253035 n 400-2 051015 (b) 20253035 n 402 y一0 -'r-2 051015 20253035 n 40圖2.11雙正交小波分解與重構(a)輸入信號

46、，(b)分解信號，(c)重構信號-2051015 (c) 20253035 n 40圖2.12正交小波分解與重構(a)輸入信號，(b)分解信號，(c)重構信號本章小結:小波變換是一種變尺度的時-頻聯(lián)合分析方法，它更適合于對非平穩(wěn)信號的處理，能夠分析到信號的局部形態(tài)，它的變尺度特性一一低頻部分采用大的時間尺度，高頻部分采用小的時間尺度，與人類的視覺系統(tǒng)相吻合。本章對小波變換的理論基礎做了分析和歸納，特別對小波變換中的兩個關鍵技術一一小波的正則性與信號的邊界處理做了進一步的分析和探討，從而得出如下結論：1 .正則性是我們選擇小波基時要考慮的一個重要因素。對一般較為平滑的圖像，如Lena圖像，經(jīng)過小波分解后，低頻分量較大，而高頻分量較??；而且正則性階數(shù)越高，低頻分量越大，高頻分量越小。對于圖像的壓縮編碼來說，壓縮比大，恢復圖像失真小。但對紋理較多的圖像，如mosaic圖像，小波分解后，其低頻分量減小，高頻分量增大，因而壓縮比減小，恢復圖像的失真加大。2 .對有限長信號，經(jīng)過小波分解后，必引起相位的偏移，為了減小相位偏移所引起的相位失真，在分解與重構時應采用向前、向后的周期延拓；采用本文所提出分解與重構算法，可以使信號在小波變換前后的相位偏移得到完全的補償。經(jīng)過周期延拓，可以使數(shù)據(jù)量不擴