第2章極限與連續(xù)

1、精品文檔第2章極限與連續(xù)2.1初等函數(shù)函數(shù)是研究經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的重要工具，用數(shù)學(xué)方法解決經(jīng)濟(jì)問題的重要方面，就是用微積分的方法研究經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中出現(xiàn)的一些函數(shù)關(guān)系，微積分學(xué)所研究的函數(shù)主要是初等函數(shù).2.1,1函數(shù)定義對(duì)于變量X和變量y,如果對(duì)變量x在其允許取值范圍內(nèi)的每一個(gè)值，變量y依照某種對(duì)應(yīng)法則f總有唯一確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，記作y=fx其中x為自變量，y為因變量或函數(shù)，x的取值范圍叫函數(shù)的定義域，y的取值范圍叫函數(shù)的值域.例1某種型號(hào)MP3當(dāng)單價(jià)為280元時(shí)，每月可銷售1000個(gè)，如果單價(jià)每降低10元可多銷售70個(gè)，且單價(jià)不得低于200元.試將銷量q表示為單價(jià)p的函數(shù)，寫出其定義

2、域，并求出單價(jià)為230元的月銷售量.函數(shù)的幾何特性包括奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。比如正弦函數(shù)y=sinx,xwR,（1）是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；（2）是周期函數(shù)，其最小正周期是2r；（3）是（笛，+上的有界函數(shù)，sinxW1；（4）在區(qū)間-三，-i內(nèi)是單調(diào)增加的，在區(qū)<22；間-,1內(nèi)是單調(diào)減少的，如圖所示.222.1.2初等函數(shù)1 .基本初等函數(shù)在中學(xué)已經(jīng)學(xué)過的以下六類函數(shù)，統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)（1）常量函數(shù)y=C（C為實(shí)常數(shù)）.(2)哥函數(shù)y=x°(a為實(shí)常數(shù)).x(3)指數(shù)函數(shù)y=a(a為正常數(shù)且a01).科技中常用的函數(shù)y=ex是其特例，其中e是無理數(shù)，e=2

3、.7182811|(4)對(duì)數(shù)函數(shù)y=iogax(a為正常數(shù)且a=1).當(dāng)a=e時(shí)，y=logex稱為自然對(duì)數(shù)，記為y=lnx.(5)三角函數(shù)正弦函數(shù) y = sinx；正切函數(shù)y = tanx ;正割函數(shù) y = secx；(6)反三角函數(shù)反正弦函數(shù) y = arcsin x ；反正切函數(shù)y = arctanx ；余弦函數(shù)y=cosx；余切函數(shù)y = cotx;余割函數(shù)y=cscx.反余弦函數(shù) y =arccosx ；反余切函數(shù) y = arccot x.精品文檔2 .復(fù)合函數(shù)設(shè)y是u的函數(shù)y=f(u),u是x的函數(shù)u=9(x),如果由x所確定的u使得y有意義，則y是x的函數(shù)，記作y=f9(x

4、).我們稱y=f及(x)為y=f(u)與u=9(x)的復(fù)合函數(shù)，其中u稱為中間變量.例2設(shè)函數(shù)y=f(u)=u2+2u+3,u=9(x)=2x1,求復(fù)合函數(shù)y=f*(x).例3指出下列復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程：(1)y=(x2+1)50;(2)y=lntan(1).3.初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合所構(gòu)成，并且可以用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù).xxlnxe3x-1例如，y=2sinx+cos(2x+1),y二，y=丁等都是初等函數(shù).x2-1sinx2.1.3分段函數(shù)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則不相同，即用兩個(gè)或兩個(gè)以上數(shù)學(xué)式如果在自變量的不同變化范圍內(nèi),子表示的函數(shù)，稱為分段函數(shù).-2

5、X ,例4設(shè)函數(shù)f（X ）= « 3,1十X,-2<x：0x=0，求f(-1),f(0),f(2)及函數(shù)的定義域.2.2極限2.2.1 極限概念1 .實(shí)例X,，一一1i,什一I(1)探討函數(shù)f(x)=-I當(dāng)X取正值且無限增大時(shí)的變化趨勢(shì).<2J根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)數(shù)值表或函數(shù)圖象，觀察并分析函數(shù)f(x)=-I在口XT+笛的過程中的變化趨勢(shì).表1f(X)當(dāng)XT+9時(shí)的變化趨勢(shì)X12341011T+g111111T02481610242048(單向)01x圖”3觀察表1及圖，可見X越來越大時(shí)，f(x)越來越接近于0；當(dāng)X取正值且無限增大時(shí),f(X)大于0且無限接近于0,我

6、們稱函數(shù)f(X)在XT+8時(shí)的極限是0,記為lim=0 .12(2)探討函數(shù)f(X)=一和g(x)=X2當(dāng)X的絕對(duì)值無限增大時(shí)的變化趨勢(shì).X表2函數(shù)在XTg時(shí)的變化趨勢(shì)x1-10100-100010000Tf(x)x1-0.10.01-0.0010.0001T0(雙向)g(x)=x21100100001000000100000000T+主圖3-4圖a1觀察表2及圖3-4、圖3-5 ,的值從左右兩側(cè)無限接近于常數(shù)可以看出，當(dāng)x無限增大(可正可負(fù))時(shí)，函數(shù)f(x)=xlim ' =0；而當(dāng)x無限增大時(shí)，函數(shù)0,我們稱函數(shù)f(x)當(dāng)XTg時(shí)的極限是0,記為g(x)=x2的值無限增大，不趨近于

7、任何常數(shù)，此時(shí)函數(shù)沒有極限，或稱極限不存在.x2-4,x -2(3)探討函數(shù)f(x)=x-4當(dāng)x無限趨近于2時(shí)的變化趨勢(shì).表3函數(shù)在x=2附近的對(duì)應(yīng)數(shù)值表x1.91.951.991.9992.0012.012.052.12，f(x)=Tx23.93.953.993.9992.0014.014.054.1圖3-6由表3及圖3-6可以看出，當(dāng)x從左右兩側(cè)趨近于2(彳1x2)時(shí)，f(x)無限地趨近_,.，、,x2-4于常數(shù)4,我們稱當(dāng)xt2時(shí)f(x)的極限是4,記為lim1=4.研究函數(shù)的極限，就是討論函數(shù)£僅)當(dāng)*->8(或xtxo)時(shí)的變化趨勢(shì)，即函數(shù)值是否有無限接近于某個(gè)固定常

8、數(shù)的變化趨勢(shì).2.極限定義定義設(shè)函數(shù)y=f(x),如果當(dāng)x具有某種變化趨勢(shì)(記作xt*,參見表4)時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值f(x)能夠無限地趨近于某個(gè)固定的常數(shù)A,則稱當(dāng)xt*時(shí)f(x)的極限是A,記作limfx=Ax*如果自變量xt*時(shí)，函數(shù)f(x)不能無限接近任何常數(shù)，則稱此時(shí)函數(shù)f(x)不存在極限(或沒有極限).表4自變量x函數(shù)f(x)自變量的變化趨勢(shì)記號(hào)函數(shù)值的變化趨勢(shì)極限記號(hào)x的絕對(duì)值無限增大xT0函數(shù)值f(x)無限地趨近于某個(gè)固定的常limf(x)=Ax-pcx只取正值且無限增大xT+8曾才僅)=ax只取負(fù)值且x無限增大xtg數(shù)A,即f(x”Alimf(x)=Ax從左右兩側(cè)無限接近于常數(shù)x

9、o但不等于xoxtxolimf(x)=AZ)x從xo左邊無限接近于常數(shù)xo但不等于xoxtx0limf(x)=AJxox從x0右邊無限接近于常數(shù)xo但不等于xo十xtxolimf(x)=AJxo十其中l(wèi)imf(x麻為f(x)在點(diǎn)xo的左極限，lim,f(x)稱為f(x)在點(diǎn)x0的右極限，且XX0-x洶)limf(x)=A的充分必要條件是limf(x)=A=limf(x).xx0x%-j/o-顯然有，limx=x0,limC=C(C為常數(shù)).xxox_*可以證明(證明從略)，兩個(gè)常用的極限是sinx11')lim=1,lim1+=e.x力xxrx2.2.2無窮小量在某個(gè)變化過程中，極限為

10、0的函數(shù)，其絕對(duì)值可以無限變小，我們稱它為無窮小量；相反地，我們稱某變化過程中絕對(duì)值無限增大的量為無窮大量.定義極限為0的變量(或函數(shù))稱為無窮小量，簡(jiǎn)稱無窮小.例如，當(dāng)xt1,x21是無窮小量；當(dāng)xtg時(shí)，ex是無窮小量；當(dāng)xt8時(shí),12是無窮小量.x顯然，無窮小量和無窮大量存在倒數(shù)關(guān)系，即在自變量的同一變化過程中，無窮大量的倒數(shù)是無窮小量，非零的無窮小量的倒數(shù)是無窮大量.2.2.3 極限運(yùn)算定理設(shè)limf(x)=A,limg(x)=B，則x*x*(1) limf(x)一g(x)=limfx-limgx=A_Bx)*x產(chǎn)x產(chǎn)即：函數(shù)和(差)的極限等于函數(shù)極限的和(差)(2) limf(x)g

11、(x)=ljmfxlimgx=AB即：函數(shù)積的極限等于函數(shù)極限的積.特別地，limCf(x)=Climf(x)(C為常數(shù))x*x*limf(x)n=limf(x)n(n為正整數(shù))x*x*f(x)l!m1fxA(3) lim(-)=(B=0)xg(x)limgxBx*即：函數(shù)商的極限等于函數(shù)極限的商（分式分母的極限不為0）.上述法則可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的代數(shù)和及乘積情況.注意，法則要求參與運(yùn)算的“各個(gè)函數(shù)極限均存在”,且法則（3）還必須滿足“分母的極限不為0”；否則，不能直接使用法則.求1xmi2x三匕2x3求lim丁x12x2-4sin3x求lim一xQ2x_2-3x-x3求lim25x212

12、.2.4 連續(xù)復(fù)利公式設(shè)本金為P,年利率為i,每年計(jì)息1次，那么由2.1.2的討論知，按復(fù)利計(jì)算的第n年末的本利和是f=p（1+iy,這是以年為單位計(jì)息的復(fù)利公式.如果不按年計(jì)息，而把一年均分為m期付息，這時(shí)每期復(fù)利率為,n年共計(jì)息mnmi、mn次，所以第n年末的本利和為F=p1+-Lj.資金周轉(zhuǎn)過程是不斷進(jìn)行的，計(jì)算利息分、mJ期越細(xì)越合理.假設(shè)計(jì)息期無限縮短，即計(jì)息期數(shù)mT8，這樣進(jìn)行計(jì)算利息稱為連續(xù)復(fù)利，由于min.、mnI/.>-limP11+=Plim1+!|=Peinm*ImJflm.）1- w所以以連續(xù)復(fù)利計(jì)息時(shí)，第n年末的本利和的復(fù)利公式是F=Pein.例5某人要購(gòu)買一套

13、價(jià)值為80萬元的商品房，設(shè)貸款期限為10年，年利率是6%試計(jì)算10年末還款的本利和.(1)按每年計(jì)息12次計(jì)算；(2)按連續(xù)復(fù)利計(jì)算.2- 3函數(shù)的連續(xù)性2.3,1函數(shù)的增量定義設(shè)變量u從它的初值U0變到終值U1,則終值與初值之差U1-u0叫做變量u的增量(或改變量)，記作Au,即Au=u1u0.對(duì)于函數(shù)y=f(x),當(dāng)自變量x從初值x0變到終值x0十Ax時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也由f(x0)變到f(x0+Ax),即函數(shù)值增量(或改變量)是y=fxo.：x)-fxo2.3.2連續(xù)性概念定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo及其左右近旁有定義，若limf(x)=f(x0),xHo則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)

14、.也就是說，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)須同時(shí)滿足下述三個(gè)條件：(1)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo及其左右近旁有定義，即f(xo)是一個(gè)確定的數(shù)；(2)函數(shù)y=f(x)在xo點(diǎn)有極限，即極限limf(x)存在；xJxo(3)極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值，即limf(x)=f(xo).x兩若以上三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo就間斷(即不連續(xù)).例如，21函數(shù)y=3x-1在點(diǎn)x=1連續(xù)，而x=o是函數(shù)y=一的間斷點(diǎn).x若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù).例如，y=sinx在(一8，+°°)內(nèi)連續(xù).若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，且limf(x)=f(a),limf(x)=f(b),則x7a'xjb-稱f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù).可以證明，初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.從而，初等函數(shù)在其定義域內(nèi)某點(diǎn)處的極限值等于該點(diǎn)處的函數(shù)值.例如，冗lim