311　方程的根與函數(shù)的零點

1、第三章 函數(shù)的應用3.1 函數(shù)與方程 方程的根與函數(shù)的零點【選題明細表】知識點、方法題號求函數(shù)的零點及零點區(qū)間1,2,3,4,5,11判斷函數(shù)零點個數(shù)6,7,10函數(shù)零點的應用8,9,12,131.函數(shù)y=4x-2的零點是(D)(A)2 (B)(-2,0) (C)(,0) (D)解析:令y=4x-2=0,得x=.所以函數(shù)y=4x-2的零點為.故選D.2.函數(shù)f(x)=lg(x-1)的零點是(C)(A)1 (B)(0,2) (C)2 (D)(2,0)解析:由f(x)=0,即lg(x-1)=0,解得x=2.故選C.3.下列圖象表示的函數(shù)中沒有零點的是(A)解析:因為B,C,D項函數(shù)的圖象均與x軸有

2、交點,所以函數(shù)均有零點,A項的圖象與x軸沒有交點,故函數(shù)沒有零點,故選A.4.函數(shù)f(x)=x+log2x的零點所在區(qū)間為(A)(A),(B),(C)0,(D),1解析:因為f()=+log2<0,f()=+log2>0,所以f()·f()<0,故函數(shù)f(x)=x+log2x的零點所在區(qū)間為,.故選A.5.函數(shù)f(x)=ax2+2ax+c(a0)的一個零點為-3,則它的另一個零點是(B)(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2解析:由根與系數(shù)的關系得方程f(x)=0的兩根x1,x2滿足x1+x2=-=-2,所以方程的另一個根為1.故選B.6.函數(shù)f(x)=的零點個

3、數(shù)是 . 解析:當x0時,令x2-2=0,解得x=-(正根舍去),所以在(-,0上有一個零點.當x>0時,f(x)在(0,+)上是增函數(shù).又因為f(2)=-2+ln 2<0,f(3)=ln 3>0,f(2)·f(3)<0,所以f(x)在(2,3)內(nèi)有一個零點.綜上,函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為2.答案:27.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的個數(shù)是 . 解析:(數(shù)形結合法)因為a>0,所以a2+1>1.而y=|x2-2x|的圖象如圖所示,所以y=|x2-2x|的圖象與y=a2+1的圖象總有兩個交點.即方程|x2-2x

4、|=a2+1(a>0)有兩個解.答案:28.關于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有兩實根,且一個大于4,一個小于4,求m的取值范圍.解:令f(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14.依題意得或即或解得-<m<0.即m的取值范圍是(-,0).9.已知函數(shù)f(x)=直線y=a與函數(shù)f(x)的圖象恒有兩個不同的交點,則a的取值范圍是(A)(A)(0,1 (B)0,1) (C)(0,1) (D)(-,1)解析:作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,若直線y=a與函數(shù)f(x)的圖象恒有兩個不同的交點,則0<a1.10.函數(shù)f(x)=2x+x2-3的零點個數(shù)是(C)(A)

5、0(B)1(C)2(D)3解析:函數(shù)f(x)=2x+x2-3的零點個數(shù),即函數(shù)y=2x與函數(shù)y=3-x2的圖象的交點的個數(shù).數(shù)形結合可得,函數(shù)y=2x與函數(shù)y=3-x2交點個數(shù) 為2.11.若函數(shù)f(x)的圖象在R上連續(xù)不斷,且滿足f(0)<0,f(1)>0,f(2)> 0,則下列說法正確的是(C)(A)f(x)在區(qū)間(0,1)上一定有零點,在區(qū)間(1,2)上一定沒有零點(B)f(x)在區(qū)間(0,1)上一定沒有零點,在區(qū)間(1,2)上一定有零點(C)f(x)在區(qū)間(0,1)上一定有零點,在區(qū)間(1,2)上可能有零點(D)f(x)在區(qū)間(0,1)上可能有零點,在區(qū)間(1,2)上

6、一定有零點解析:根據(jù)零點存在性定理,由于f(0)·f(1)<0,f(1)·f(2)>0,所以f(x)在區(qū)間(0,1)上一定有零點,在區(qū)間(1,2)上無法確定,可能有,也可能沒有,如圖所示.故選C.12.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x0時,f(x)=x2-2x.(1)求f(x)的解析式,并畫出f(x)的圖象;(2)設g(x)=f(x)-k,利用圖象討論:當實數(shù)k為何值時,函數(shù)g(x)有一個零點?兩個零點?三個零點?解:(1)當x0時,f(x)=x2-2x.設x<0,可得-x>0,則f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,因為函數(shù)f(

7、x)為奇函數(shù),則f(x)=-f(-x)=-x2-2x,所以f(x)=函數(shù)的圖象如圖所示.(2)由g(x)=f(x)-k=0,可得f(x)=k,結合函數(shù)的圖象可知,當k<-1或k>1時,y=k與y=f(x)的圖象有一個交點,即 g(x)=f(x)-k有一個零點;當k=-1或k=1時,y=k與y=f(x)的圖象有兩個交點,即g(x)=f(x)-k有兩個零點;當-1<k<1時,y=k與y=f(x)的圖象有三個交點,即g(x)=f(x)-k有三個零點.13.(1)已知f(x)=+m是奇函數(shù),求常數(shù)m的值;(2)畫出函數(shù)y=|3x-1|的圖象,并利用圖象回答:k為何值時,方程|3x-1|=k無解?有一解?有兩解?解:(1)因為3x-10,所以x0,故函數(shù)定義域為x|x0,因為f(x)是奇函數(shù),有f(-1)=-f(1),得+m=-m,解得m=1.(2)y=|3x-1|的圖象如圖所示,當k<0時,直線y=k