有關(guān)圓錐曲線的經(jīng)典結(jié)論

1、1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.一、橢 圓點(diǎn)P處的切線 PT平分 PFF2在點(diǎn)P處的外角.PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的外角，那么焦點(diǎn)在直線 PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個(gè)端點(diǎn) 以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離.以焦點(diǎn)半徑PR為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切.假設(shè)假設(shè)FQ(x0,yo)在橢圓點(diǎn)弦P1P2的直線方程是2 x2y2ab22xy2 ab2XqXyoyFq(x0 , yo)在橢圓2 a1上，那么過P0的橢圓的切線方程是XoX2a1外，那么過Po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為bi橢圓2b21(a >b >0)的左右焦點(diǎn)分別

2、為F1PF2，那么橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為SF1PF2yoy 1P、那么切F1, F2，點(diǎn)p為橢圓上任意一點(diǎn)bg.2橢圓篤a|MF1 | a2當(dāng) 1 a > b > 0的焦半徑公式：b2exo, IMF21 a eXo(F1(c,O), F2(c,0) M (x。, y。).設(shè)過橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交 P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié) AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn) F的橢圓準(zhǔn)線于 M N兩點(diǎn)，貝U MFL NF.過橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn) P、Q, A、A為橢圓長軸上的頂點(diǎn)，AP和A2Q交于點(diǎn) M A2P和AQ交于點(diǎn) N貝U MFLNF.2 2AB是橢圓務(wù) 芯 1

3、的不平行于對(duì)稱軸的弦，M(X。，yo)為AB的中點(diǎn)，那么a bkOM kABb22 ，a即Kabb2xo2 。a yo假設(shè)Fq (x0 , y0)在橢圓2x_2a2b 1內(nèi)，那么被po所平分的中點(diǎn)弦的方程是XoXTayoyb22Xq-2ay。2b2P)(xo,yo)在橢圓2x2a芯 1內(nèi)，那么過 Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是b2 x 2 ay°yb22yXqXb21.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.、雙曲線點(diǎn)P處的切線 PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.PT平分 PFF2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，那么焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸為 直徑的圓，除去長軸的兩個(gè)端點(diǎn)

4、 .以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交.以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.內(nèi)切：P在右支；外切:P在左支221a> 0,b >0上，那么過F0的雙曲線的切線方1 a>0,b > 0夕卜，那么過Po作雙曲線的兩條假設(shè)P)(x0, y0)在雙曲線一22a b程是 x°xy°y1程22I .a b22假設(shè)P0 (x0, y0)在雙曲線一22a b切線切點(diǎn)為R、卩2,那么切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是x°2x-y0y1.a b2 2 雙曲線x2y2a b1 a> 0,b > 0的左右焦點(diǎn)分別為F1, F2,點(diǎn)P為雙曲線

5、上任意-一占八、F1PF2，那么雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為S F1PF2b2cot .2雙曲線2 2xy2.2ab1a> 0,b > 0的焦半徑公式：(h(c,0) ,F2(c,0)當(dāng) M (x°, y°)在右支上時(shí)，IMF1I ex a , | MF21a .當(dāng) M (x°, y°)在左支上時(shí)，IMF1Iex0 a, |MF21 ex a設(shè)過雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長軸上一個(gè)頂點(diǎn),連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn) F的雙曲線準(zhǔn)線于 M N兩點(diǎn)，那么MFL NF.過雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn) P、Q, A

6、、A為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn),AP和A2Q交于點(diǎn)M A2P和AQ交于點(diǎn) N,貝U MFL NF.2AB是雙曲線令ab2a> 0,b >0的不平行于對(duì)稱軸的弦,M(X°, y°)為 ABb2x°2 ， a y。22x y2.2ab22x°y°212.a b2x 假設(shè)P°(x0, y°)在雙曲線a的中點(diǎn)，貝V KomK AB即Kab孚。a y°假設(shè)P°(x0, y°)在雙曲線a>0,b >0內(nèi)，那么被Po所平分的中點(diǎn)弦2b2a>0,b >0內(nèi)，那么過Po的弦中點(diǎn)的軌跡

7、X0Xy°ya2b21.2.3.4.5.6.7.橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì) -會(huì)推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論橢 圓2&1 a>b > 0的兩個(gè)頂點(diǎn)為川a,0), A2(a,0)，與y軸平行的直線交橢圓于2 過橢圓冷 a線交橢圓于Pl、P2時(shí)AP與AP交點(diǎn)的軌跡方程是2社 1 (a >0, b >0)上任一點(diǎn)A(x0,y0)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直bB,C兩點(diǎn)，那么直線BC有定向且kBc李常數(shù).2假設(shè)P為橢圓冷aPF1F2任意一點(diǎn),sin2a y°a>b>0上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F 1, F 2是焦點(diǎn),PF2F1a c，貝Utan cot2 22

8、y b2sin sin0v ew . 2比例中項(xiàng).2xP為橢圓飛a1 a>b>0的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi、F2,P異于長軸端點(diǎn)為橢圓上PF1F2中，記F1PF2PF1F2F1F2P，那么有占 1 a> b> 0的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2，左準(zhǔn)線為L,那么當(dāng)b1時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn) P,使得PR是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離 d與PF的那么 2a | AF2|橢圓x x。2a2B2b22 橢圓篤 a1|OP|A2a2|PA|a> b> 0上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn),IPF1Iy。22(yb(Ax0 By°22a | AF1 |,當(dāng)且僅當(dāng)A,F2,

9、P三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成1與直線Ax By C 0有公共點(diǎn)的充要條件是C2.七 a > b> 0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且OP OQ . b1114a2b2;2|0P| 2+|OQ|2 的最大值為 2 ；3S OPQ| OQ|aba b的最小值是2過橢圓冷a2-2a ba b2y21 a> b > 0的右焦點(diǎn)b2作直線交該橢圓右支于M,N兩點(diǎn)，弦9.10.11.12.13.14.15.16.17.MN的垂直平分線交x軸于p,那么！匚!| MN |2橢圓務(wù)a2y_b21 a > b > 0 ,A、B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)

10、2 b2P(X0,0)，貝y aXoa2 b22設(shè)P點(diǎn)是橢圓篤a2y_b71 a >b>0上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為其焦點(diǎn)記F1PF2，那么I PF11| PF212b2P，2)5卩肝2b2ta巧.2設(shè)A B是橢圓爲(wèi)a2 b, PBA22ab |cos |PAB(1) |PA| 2a2橢圓務(wù)a2y_2c2cos2.(2)a > b > 0丨的長軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn),BPA , c、e分別是橢圓的半焦距離心率，那么有丄丄2c2ab丄tantan1e .(3)SPAB 22 cotb a2b2 H a > b>0勺右準(zhǔn)線丨與x軸相交于點(diǎn)E，過橢圓

11、右焦點(diǎn)F的直線與橢圓相交于 A B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線丨上，且BCX軸，那么直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交,那么相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，那么該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.橢圓焦三角形中，內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e離心率.注：在橢圓焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn).橢圓焦三角形中，內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18.橢圓焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng)雙曲線1.2雙曲線芻a2y21 a>0,b

12、 > 0的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A( a,0) , Aa(a,0)，與 y 軸b2 2平行的直線交雙曲線于P1、P2時(shí)AP1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是 孚爲(wèi) 1.a b2.2 2過雙曲線篤占a2 b21a>0,b >o上任一點(diǎn) A(x0,y0)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于B,C兩點(diǎn)，那么直線BC有定向且kBCb2x°2常數(shù).a y。3.2假設(shè)P為雙曲線篤a2& a>0,b > °右或左支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，F(xiàn) J4.5.F 2是焦點(diǎn)，pf1f22 設(shè)雙曲線篤a為雙曲線PFEPF2Fi2y1 a > 0,b >0 b2上任意一點(diǎn)

13、，F(xiàn)1F2P的兩個(gè)焦點(diǎn)為在 PF1F2sinC - tan cot 或a 22Fi、F2,P異于長軸端點(diǎn),記 f1pf2，那么有(si nsin ) a2 假設(shè)雙曲線務(wù) ab 1a >0,b > °的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,左準(zhǔn)線為L,那么當(dāng)1v ew、2 1時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn)p,使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線6.2P為雙曲線a距離d與PFa的比例中項(xiàng)._yy 1a>0,b >0上任一點(diǎn),F 1,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線b內(nèi)一定點(diǎn)，貝V | AF2 | 2a |PA| | PF1 |,當(dāng)且僅當(dāng)A,Fa,P三點(diǎn)共線且P和A, F2在y軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立.2 2

14、7.雙曲線Xy 1 a> 0,b > 0與直線Ax By C 0有公共點(diǎn)的充要條a2b2/川曰.22_2,2_ 2件疋A a B b C .x28.雙曲線a OQ .且OPb >a > 0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn),1P ; 2|OP| 2+|OQ|2 的最小值為b22 24ab ;3sOPQb a|OQ |2 a2b2.22b a2過雙曲線冷a2的最小值是9.1 a > 0,b > 0的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于10.11.12.13.M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交 x軸于P,那么2雙曲線篤a垂直平分線與|PF | e| MN |22與

15、 1 a> 0,b > 0，A、B是雙曲線上的兩點(diǎn), bx軸相交于點(diǎn)P(x0,0),那么x02P點(diǎn)是雙曲線冷a其焦點(diǎn)記pf1f2b2 cot.1 2 22xaA B是雙曲線一點(diǎn)， PAB離心率，那么有(1)(2) tan tan雙曲線2x-2 a線段 AB的線右焦點(diǎn)F軸，那么直線2 2a b卡或x0aa2 b2F1PF22y- 1 b2 1PBAa>0,b >0上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)尸、F22b2,那么(1) |PF1 |PF2| .(2)1 cosa>0,b >0的長軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上的BPA , c、e分別是雙曲線的半焦距|PA|2 y b222ab

16、 |cos | |.2a2b2 丄 門 2cot b a|a22e .(3)2 2c cosS PAB1 a>0,b >0的直線與雙曲線相交于 A、AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).14.過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線,點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直的右準(zhǔn)線丨與x軸相交于點(diǎn)E，過雙曲B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線丨上，且BC x與以長軸為直徑的圓相交， 那么相應(yīng)交15.過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn),那么該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直16. 雙曲線焦三角形中，外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e離心率.注：在雙曲線焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸

17、交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、夕卜點(diǎn).17. 雙曲線焦三角形中，其焦點(diǎn)所對(duì)的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18. 雙曲線焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心的比例中項(xiàng)其他常用公式：1、連結(jié)圓錐曲線上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦，利用方程的根與系數(shù)關(guān)系來計(jì)算弦長，常用的弦長公式：|AB|x, x2 ,1y1 y22、 直線的一般式方程：任何直線均可寫成-，L 1 - A,B不同時(shí)為0的形式。3、 知直線橫截距 ，常設(shè)其方程為_ ：它不適用于斜率為 0的直線 與直線U 垂直的直線可表示為 j 一卜 _ I。4、 兩平行線Z間的距離為f門嚴(yán)。5、假設(shè)直線與直線' 平行貝y丄-斜率且在軸上截距充要條件6、 圓的一般方程：一-_丄一：丿 上-,特別提醒：只有當(dāng)"卜時(shí)，方程1才表示圓心為 < ，半徑為射4"的圓。二元二次方程心+陽+夕+及+孫“0表示圓的充要 條件是-且一且.-一卜、。f = a + rcas57、圓