2013年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)試題及答案新課標(biāo)

1、2013 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(新課標(biāo) I 卷)數(shù)學(xué)(理科)注意事項(xiàng)：1.本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試卷和答題卡相應(yīng)位置上。2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無(wú)效。3.回答第n卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。-、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的.(1)已知集合A=xx22xA0,B=tx-V5x0,b0)

2、的離心率為ab三5,則C的漸近線方程為2,、1(A)y=-x4-11(B)y=x(C)y=x32(D)y=x(5)執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的tw-1,3，則輸出的s屬于(A)-3,41(B)匚5,2(C)匚4,3(D)1-2,5】8667t3cm32048冗3cm3(7)設(shè)等差數(shù)列Q的前n項(xiàng)和為Sn,若Sm=2,Sm=0,Sm由=3,則m=(A)3(B)4(C)5(D)6(8)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(A)16+8 冗(B)8+8 冗(C)1616 冗(D)8+16 冗(6)如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器,容器高 8cm,將一個(gè)球放在容器口,再向容器注水，當(dāng)

3、球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm,如不計(jì)容器的厚度，則球的(B)(D)體積為項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b,若13a=7b,則m=22(10)已知橢圓E：與+t=1(ab0)的右焦點(diǎn)為F(3,0),過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓E于a2b2(12)設(shè)AnBnCn的三邊長(zhǎng)分別為an,bn,cn,AnBnCn的面積為Sn,n=1,2,3,cn,an右b1G,b+c=2a1,an由=an,bn+=2(A)1SJ為遞減數(shù)列(B)kJ為遞增數(shù)列化2nl為遞增數(shù)列，n為遞減數(shù)列a,(x+y2m書展開式的二(A)5(B)6(C)7(D)8A、B兩點(diǎn)。若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),則E的方程為(A)22工上二1453622xy

4、.(B)+工=13627(C)22二L=1271822xy/(D)一=1189(11)已知函數(shù)f(x)=-x2+2x,0f(x)之a(chǎn)x,則a的取值范圍是(B)(-8,1(C)2-21(D)2-2,01_bnancn由一，人2(x+y2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為(9)設(shè)m為正整數(shù),(D)S2n/為遞減數(shù)列，8/為遞增數(shù)列第n卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第 13 題第 21 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第 22 題第 24 題為選考題，考生依據(jù)要求作答。二.填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分.(13)已知兩個(gè)單位向量 a,b的夾角為 60,c=ta+(1t)b.若 b,c=

5、0,則t=.(14)若數(shù)列Gn的前n項(xiàng)和為Sn=2an+1,則數(shù)列的通項(xiàng)公式是d=33(15)設(shè)當(dāng)x=8時(shí)，函數(shù)f(x)=sinx2cosx取得最大值，則cosQ=.(16)若函數(shù)f(x)=(1x2)(x2+ax+b)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，則f(x)的最大值為.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟(17)(本小題滿分 12 分)如圖，在4ABC中，/ABC=90,AB=G,BC=1,P為4ABC內(nèi)一點(diǎn)，/BPC=901(I)若PB=一，求PA；2(n)若/APB=150,求tan/PBA.(18)(本小題滿分 12 分)如圖，三棱柱ABCAB1G中，CA=CB,AB=AA1,

6、NBAA1=60.(I)證明ABAC;(n)若平面ABC，平面AA1B1B,AB=CB,求直線A1C與平面BB1cle所成角的正(19)(本小題滿分 12 分)一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取 4 件作檢驗(yàn)，這 4 件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果 n=3,再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取 4 件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；如果n=4,再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過(guò)檢驗(yàn)一1,八一,1假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為 50%,即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為-,且各件產(chǎn)品2是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立.(I)求這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)的

7、概率；(n)已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為 100 元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望。(20)(本小題滿分 12 分)已知圓M：(x+1)2+y2=1,圓N：(x-1)2+y2=9,動(dòng)圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.(I)求C的方程；(n)l是與圓P,圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，求AB.(21)(本小題滿分 12 分)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d)若曲線y=f(x)和曲線丫=(*)者6過(guò)點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2.(I)

8、求a,b,c,d的值；(n)若x之一 2 時(shí)，f(x)kg(x),求k的取值范圍.請(qǐng)考生在第 22、23、24 題中任選一道彳答，并用 2B 鉛筆將答題卡上所選的題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)右側(cè)方框涂黑，按所涂題號(hào)進(jìn)行評(píng)分；多涂、多答，按所涂的首題進(jìn)行評(píng)分，不涂，按本選考題的首題進(jìn)行評(píng)分.(22)(本小題滿分 10 分)選修 41:幾何證明選講如圖，直線AB為圓的切線，切點(diǎn)為B,點(diǎn)C在圓上，/ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E,DB垂直BE交圓于D.(I)證明：DB=DC;(n)設(shè)圓的半徑為1,BC=0,062u)(24)(本小題滿分 10 分)選修 45:不等式選講已知函數(shù)f(x)=|2x1+2x+a,g(x

9、)=x+3.(I)當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f(x)-1,且當(dāng)x=-3，不時(shí)，f(x)g(x),求a的取值氾圍2013 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)答案一.選擇題(1)B(2)D(3)C(7)C(8)A(9)B(4)CAACIO)D(II)D(12)B(17)解工(I)由已知得，PBC=60e,所以/尸助二30，在也尸胡中.由余弦定理得H1*=3+L2M8530。=工.424故F月二百2(H)設(shè)由已知得產(chǎn)8=4”.在戶初中，由正弦定理得=一迦巴.-，化簡(jiǎn)得085(1=4$inc?.sin150*中城30*。)所以tana,即tanNFBA不.44(18)解：(【)取/B的中點(diǎn)a連結(jié)oc,。

10、4,4乩因?yàn)?=CB,所以O(shè)CL/B.由于乂=41，/助=60%故羽田為等邊三角形,所以04J.H8因?yàn)镺CnQ/i=0,所以平面Q/C.又4。二平面Q&C.故/E_L4c.二.填空髓(13)2=-解答題(14)(女 7由(I)知。C_L川S,OA.1AB.又平面/SCL平面孔,交線為AB,所以0cl.平面故勿,OAX,OC兩兩相互垂直.以。為坐標(biāo)原點(diǎn).況的方向?yàn)閤軸的正方向，|65|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,由題設(shè)知40,0,034(0,行,0).C(0,0,百)，則前=0,0,6),而小石，=(-，.而二(0,一出,行).設(shè)k,E)是平面BBCC的法向量.則

11、*g=0,即 1 日=0.可取”(61).krt,BBi=0.+d3y=0.她/7nH,/故cos(n,AC)=-=-mii/ci5所以4c與平面BgC所成角的正弦值為邛.jj(19)解：(I)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件4.第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件4,第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件用，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件紇，這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)為事件，依題意有d=(4BjU(4&),且與透鳥互斥,所以pa)=p(4Rj+p(4B。=尸(4)/用4)+尸(4)P(414)4111=x+X-)6161623=,64(II)JT可能的取值為40C,500,800

12、,并且產(chǎn)2400)=1-2-W，尸(=500)=5，尸吠=的。)斗所以X的分布列為X400500800尸11正164砒=400+500 xL800=506.25.16164(20)解，由已知得圓M的圓心為M(-1,0),半徑弓二1：0耳的圓心為NQ0)，半徑弓二3.設(shè)圓尸的圓心為尸廠),半徑為我.(I)因?yàn)閳A尸與圓”外切并且與圓N內(nèi)切，所以伊A/|+|/W|=(尺+/)+(3-R)=1+=4,由橢網(wǎng)的定義可知.曲線C是以A，N為左，右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2,短半軸長(zhǎng)為百的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為+匕=1(H=-2).43(II)對(duì)于曲線C上任意一點(diǎn)尸由于|尸-|FM=2火=2W2,所以RW2.

13、當(dāng)且僅當(dāng)困尸的圓心為(2,0)時(shí)，R=2.所以當(dāng)圓尸的半徑最長(zhǎng)時(shí)，其方程為(x-2)J+/=4,若/的傾斜角為90,則，與y軸重合，可得卜切=2A.若/的恒斜角不為90。由勺工大知/不平行于工軸，設(shè)/與工軸的交點(diǎn)為0則留5r=3,可求得0(一4,。)，所以可設(shè)，:尸=*(1+4).由/與圓材相切得隹L，l,I0M4Jl+Jt)五解得心士才.當(dāng)人邛時(shí)，甌邛升近代入%g,并整理得m8=0,二土產(chǎn)所以|月昨拒鏟X-巧巧.-當(dāng)時(shí),由圖形的對(duì)稱性可知|/同=.綜上.|4342百或|力用二弓.(21)解,(I)由已知得0)=2.爪0)=2,尸(0)=4,(0)=4,而八工)=2工+%gCc)=/(G+d+

14、c),故從而1=4,b=2,”2,d=2+CH)由(1)知，/(X)=X1+4JC+2,g(x)=2ef(x+l).設(shè)函數(shù)F(x)=(x)-/(x)=2kcl(x+】)-/-4x-2,則F(x)=2*e*(x*2)-2x-4=2(x+2乂在1).由題設(shè)可得網(wǎng)0)云0,即#21.令尸(X)=0得x尸-In心巧n-2.解得入當(dāng)上=(i)若1應(yīng)上七:則一2七W0.從而當(dāng)xE(-2,*)時(shí)，F(xiàn)*(x)0.即尸(外在(-2,演)單調(diào)遞跋，在(4的)雎調(diào)遞埴故尸在1-2,+co)的最小僮為打不).而戶(*)，2玉+2-,-4玉一2=一玉(馬+2)30.故當(dāng)工Z-2時(shí),儀工)0.即/3)W4Q)恒成立.(i

15、i)若Jt=/,則Fx)=2eJ(x+2XeJ-e),從而當(dāng)-2時(shí)，F(xiàn)x)0,即F(x)在(-2,y)單調(diào)遞增.而/-2)=0,故當(dāng)M2-2時(shí),F(幻?0.即/(X)其炫(切恒成立.(iii)若A，則尸(2)=-2檢一+2=-”T值一。工)0.從而當(dāng)工、一2時(shí)，/(H)小妖(外不可能恒成立.綜上.上的取值范圍是1,1.(22)解；CI)連結(jié)D&交BC于點(diǎn)G.由弦切角定理得，2BE=BCE.而4&EMCEE*故CBE=RCE“BECE.又因?yàn)镈HLBE,所以DE為直徑，/DCE=90。由勾股定理可得OS不DC.(II)由(I)知，Z.CDE=ZBDE,DB=DC,故AG是BC的中