二元一次不等式組與平面區(qū)域

1、§4簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃4.1二元一次不等式(組)與平面區(qū)域?qū)W習(xí)目標(biāo)：1.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式(組)(重點(diǎn))2.了解二元一次不等式的幾何意義(重點(diǎn))3.能用平面區(qū)域表示二元一次不等式(組)(重點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知二元一次不等式(組)與平面區(qū)域閱讀教材P96P98“練習(xí)1”以上部分，完成下列問(wèn)題(1)一般地，直線(xiàn)l：axbyc0把直角坐標(biāo)平面分成了三部分直線(xiàn)l上的點(diǎn)(x，y)的坐標(biāo)滿(mǎn)足axbyc0；直線(xiàn)l一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)的坐標(biāo)滿(mǎn)足axbyc0；直線(xiàn)l另一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)的坐標(biāo)滿(mǎn)足axbyc0.(2)在直線(xiàn)l的某一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)，任取一

2、特殊點(diǎn)(x0，y0)，從ax0by0c值的正負(fù)，即可判斷不等式表示的平面區(qū)域(3)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分(4)一般地，把直線(xiàn)l：axbyc0畫(huà)成實(shí)線(xiàn)，表示平面區(qū)域包括這一邊界直線(xiàn)；若把直線(xiàn)畫(huà)成虛線(xiàn)，則表示平面區(qū)域不包括這一邊界直線(xiàn)(5)由于對(duì)直線(xiàn)axbyc0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x，y)，把它的坐標(biāo)(x，y)代入axbyc，所得到實(shí)數(shù)的符號(hào)都相同，所以只需在此直線(xiàn)的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(x0，y0)，從ax0by0c的符號(hào)即可判斷axbyc0(0)表示直線(xiàn)哪一側(cè)的平面區(qū)域當(dāng)c0時(shí)，常取坐標(biāo)原點(diǎn)作為特殊點(diǎn)不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示平面點(diǎn)集的交

3、集，因而是各個(gè)不等式所表示平面區(qū)域的公共部分思考：(1)不等式axbyc0表示的平面區(qū)域在直線(xiàn)axbyc0的上方，axbyc0表示的平面區(qū)域在直線(xiàn)axbyc0的下方，這種說(shuō)法正確嗎？提示不正確，不等式2xy20就表示直線(xiàn)2xy20下方的平面區(qū)域，而不等式2xy20表示直線(xiàn)2xy20上方的平面區(qū)域(2)任何一個(gè)不等式組都能表示平面內(nèi)的一個(gè)平面區(qū)域，這種說(shuō)法正確嗎？提示不正確，如不等式組就不表示任何平面區(qū)域基礎(chǔ)自測(cè)1判斷正誤(1)點(diǎn)(2,4)在不等式x2y1表示的平面區(qū)域內(nèi)()(2)由于不等式2x10不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一區(qū)域()(3)不等式AxByC0與AxByC0表示的平面區(qū)

4、域是相同的()解析(1)錯(cuò)誤，由于22×4101，所以點(diǎn)(2,4)不在不等式x2y1表示的平面區(qū)域內(nèi)(2)錯(cuò)誤，不等式2x10表示直線(xiàn)x右側(cè)的平面區(qū)域(3)錯(cuò)誤，不等式AxByC0表示的平面區(qū)域不包含直線(xiàn)AxByC0上的一點(diǎn)，而AxByC0表示的平面區(qū)域則包含直線(xiàn)AxByC0上的點(diǎn)答案(1)×(2)×(3)×2不等式組表示的平面區(qū)域是()AB CDD用特殊點(diǎn)(0,0)驗(yàn)證即可3若點(diǎn)(2,1)在不等式x3ya0表示的平面區(qū)域內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91022257】解析由題意知23×1a0，故a1.答案1，)合 作 探 究

5、3;攻 重 難二元一次不等式表示的平面區(qū)域(1)畫(huà)出不等式3x4y120表示的平面區(qū)域；(2)畫(huà)出不等式3x2y0表示的平面區(qū)域解(1)先畫(huà)直線(xiàn)3x4y120，取原點(diǎn)(0,0)，代入3x4y12得120，所以原點(diǎn)在3x4y120表示的平面區(qū)域內(nèi)，所以不等式3x4y120表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示(2)先畫(huà)直線(xiàn)3x2y0(畫(huà)成虛線(xiàn))因?yàn)辄c(diǎn)(1,0)在3x2y0表示的平面區(qū)域內(nèi)，所以不等式3x2y0表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示圖圖規(guī)律方法二元一次不等式表示平面區(qū)域的判定方法：第一步：直線(xiàn)定界.畫(huà)出直線(xiàn)axby0，不等式為axbyc0(0)時(shí)直線(xiàn)畫(huà)虛線(xiàn)，不等式為axbyc0(0)時(shí)畫(huà)成實(shí)線(xiàn)；第

6、二步：特殊點(diǎn)定域.在平面內(nèi)取一個(gè)特殊點(diǎn)，當(dāng)c0時(shí)，常取原點(diǎn)(0，0).若原點(diǎn)(0，0)滿(mǎn)足不等式，則原點(diǎn)所在的一側(cè)即為不等式表示的平面區(qū)域；若原點(diǎn)不滿(mǎn)足不等式，則原點(diǎn)不在的一側(cè)即為不等式表示的平面區(qū)域.當(dāng)c0時(shí)，可取(1，0)或(0，1)作為測(cè)試點(diǎn).簡(jiǎn)記為：直線(xiàn)定界，特殊點(diǎn)定域.跟蹤訓(xùn)練1畫(huà)出下列不等式所表示的平面區(qū)域：(1)x2y40；(2)y2x.解(1)先畫(huà)直線(xiàn)x2y40，取原點(diǎn)(0,0)代入x2y4，得40，所以原點(diǎn)在x2y40表示的平面區(qū)域內(nèi)所以不等式x2y40表示的平面區(qū)域如圖陰影部分表示(2)先畫(huà)直線(xiàn)y2x0(畫(huà)成虛線(xiàn))，因?yàn)辄c(diǎn)(1,0)不在y2x0表示的平面區(qū)域內(nèi)，所以不等式y(tǒng)

7、2x表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示圖圖二元一次不等式組表示的平面區(qū)域畫(huà)出不等式組所表示的平面區(qū)域解先畫(huà)出直線(xiàn)2xy40，由于含有等號(hào)，所以畫(huà)成實(shí)線(xiàn)取直線(xiàn)2xy40左下方的區(qū)域的點(diǎn)(0,0)，由于2×0040，所以不等式2xy40表示直線(xiàn)2xy40及其左下方的區(qū)域同理對(duì)另外兩個(gè)不等式選取合適的測(cè)試點(diǎn)，可得不等式x2y表示直線(xiàn)x2y右下方的區(qū)域，不等式y(tǒng)0表示x軸及其上方的區(qū)域取三個(gè)區(qū)域的公共部分，就是上述不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示規(guī)律方法二元一次不等式表示平面區(qū)域的畫(huà)法(1)不等式組的解集是各個(gè)不等式解集的交集，所以不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.

8、(2)在畫(huà)二元一次不等式組表示的平面區(qū)域時(shí)，應(yīng)先畫(huà)出每個(gè)不等式表示的區(qū)域，再取它們的公共部分即可.其步驟：畫(huà)線(xiàn)；定側(cè)；求“交”；表示.但要注意是否包括邊界.跟蹤訓(xùn)練2不等式組表示的平面區(qū)域是()ABCDC取特殊點(diǎn)坐標(biāo)(如：(0，1)，(1,0)等)代入不等式組檢驗(yàn)可得C符合不等式組表示平面區(qū)域的應(yīng)用探究問(wèn)題1已知直線(xiàn)xy30上兩點(diǎn)A(1,2)，B(0,3)，又點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,5)，則ABC的面積是什么？提示|AB|，又點(diǎn)C(4,5)到直線(xiàn)xy30的距離為d3.故SABC××33.2(1)直線(xiàn)方程xya0中，實(shí)數(shù)a的幾何意義是什么？(2)直線(xiàn)l1：xy20，l2：xy10的

9、位置關(guān)系如何？提示(1)直線(xiàn)xya0在y軸上的截距(2)直線(xiàn)l1與l2平行(1)不等式組所表示的平面區(qū)域的面積是_(2)若不等式組表示的平面區(qū)域的形狀是三角形，則a的取值范圍是()AaB0a1C1aD0a1或a思路探究(1)畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，確定其形狀并求面積(2)首先畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，然后平移直線(xiàn)xya，根據(jù)平面區(qū)域的形狀確定a的取值范圍解析(1)如圖所示，其中的陰影部分便是不等式組所表示的平面區(qū)域由得A(1,3)同理得B(1,1)，C(3，1)|AC|2，而點(diǎn)B到直線(xiàn)2xy50的距離為d，SABC|AC|·d×2×6.(2)作出不等式組表示

10、的平面區(qū)域(如圖中陰影部分)由圖知，要使原不等式組表示的平面區(qū)域的形狀為三角形，只需動(dòng)直線(xiàn)l：xya在l1，l2之間(包括l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)，故選D.答案(1)6(2)D母題探究：1.(變條件)把例3(1)中的不等式組換為，求其表示平面區(qū)域的面積解如圖所示，陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域由，得A(8，2)，所以面積S×2×2×2×24.母題探究：2.(變條件)把例3(2)中的不等式組換為，若其仍然表示一個(gè)三角形，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解如圖所示，當(dāng)直線(xiàn)ya介于直線(xiàn)y5(含該直線(xiàn))與直線(xiàn)y7(不含該直線(xiàn))之間時(shí)，不等式組表示的平面區(qū)域是

11、一個(gè)三角形，所以5a7.規(guī)律方法1求平面區(qū)域面積的方法求平面區(qū)域的面積，先畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，然后根據(jù)區(qū)域的形狀求面積，若畫(huà)出的圖形為規(guī)則的，則直接利用面積公式求解；若圖形為不規(guī)則的，可采用分割的方法，將平面區(qū)域分為幾個(gè)規(guī)則圖形后求解2已知平面區(qū)域的形狀求參數(shù)取值范圍的注意點(diǎn)(1)要首先畫(huà)出不含參數(shù)的不等式所表示的平面區(qū)域，注意直線(xiàn)的虛實(shí)(2)理解字母的幾何意義，根據(jù)字母值的變化變動(dòng)直線(xiàn)，查看滿(mǎn)足題目條件時(shí)字母的值，確定其取值范圍當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1以下不等式所表示的平面區(qū)域中包含原點(diǎn)的是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91022258】Axy120B2x2y90C2x5y100Dxy1D將x0，y0代入驗(yàn)證得D符合題意2不等式x2y60表示的區(qū)域在直線(xiàn)x2y60的()A右上方B右下方C左上方D左下方C如圖，作出直線(xiàn)x2y60，又(0,0)不滿(mǎn)足x2y60，故其表示的平面區(qū)域在直線(xiàn)x2y60的左上方3圖3­4­1中的陰影部分用不等式表示為_(kāi)圖3­4­1解析易于看出直線(xiàn)的方程為yx5，又(0,0)不在區(qū)域內(nèi)且邊界為虛線(xiàn)，故不等式為yx5，即5x2y100.答案5x2y1004在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91022259】解析平面區(qū)域如圖陰影部分所示，平面區(qū)