命題的四種形式

1、1.3.2命題的四種形式學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解四種命題的概念，會(huì)寫(xiě)出某命題的逆命題、否命題和逆否命題.2.認(rèn)識(shí)四種命題之間的關(guān)系以及真假性之間的聯(lián)系(重點(diǎn))3.會(huì)利用命題的等價(jià)性解決問(wèn)題(難點(diǎn)、易混點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1四種命題欄目?jī)?nèi)容名稱(chēng)定義表示形式互逆命題對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這樣的兩個(gè)命題叫作互逆命題其中一個(gè)命題叫原命題，另一個(gè)叫作原命題的逆命題原命題為“若p，則q”，逆命題為“若q，則p”互否命題對(duì)于兩個(gè)命題，其中一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定這樣的兩個(gè)命題叫作互否命題如果把其中的一個(gè)命題叫

2、作原命題，那么另一個(gè)叫作原命題的否命題原命題為“若p，則q”；否命題為“若p，則q”互為逆否命題對(duì)于兩個(gè)命題，其中一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定這樣的兩個(gè)命題叫作互為逆否命題如果把其中的一個(gè)命題叫作原命題，那么另一個(gè)叫作原命題的逆否命題原命題為“若p，則q”；逆否命題為“若q，則p”思考1：任何一個(gè)命題都有逆命題、否命題和逆否命題嗎？提示因?yàn)槿魏我粋€(gè)命題都包含條件和結(jié)論兩部分，通過(guò)條件和結(jié)論的不同變換都可以得到這個(gè)命題的逆命題、否命題和逆否命題因此任何一個(gè)命題都有逆命題、否命題和逆否命題2四種命題間的相互關(guān)系(1)形式關(guān)系(2)真假關(guān)系：互為逆否的兩個(gè)命題是等價(jià)的

3、，它們有相同的真假性互逆或互否的兩個(gè)命題是不等價(jià)的，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系思考2：若兩個(gè)命題為互否命題，則它們的真假性肯定不相同，這種說(shuō)法正確嗎？提示互否命題的真假性沒(méi)有關(guān)系，但也可能相同，故此說(shuō)法錯(cuò)誤基礎(chǔ)自測(cè)1思考辨析(1)若一個(gè)命題是真命題，則其逆否命題是真命題()(2)若一個(gè)命題是假命題，則其逆命題有可能是真命題()(3)命題“若x2y2，則xy”的否命題是“若xy，則x2y2”()提示(1)(2)(3)ד若p，則q”的否命題為“若p，則q”故“若x2y2，則xy”的否命題為“若x2y2，則xy”2命題“兩條對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形是矩形”是命題“矩形是兩條對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形”的()

4、A逆命題B否命題C逆否命題D無(wú)關(guān)命題A兩個(gè)命題條件與結(jié)論互換，故互為逆命題3命題“若a5，則a225”與其逆命題、否命題、逆否命題這四個(gè)命題中，假命題是 ()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122060】A原命題、否命題 B原命題、逆命題C原命題、逆否命題D逆命題、否命題D原命題為真，逆命題為假，逆否命題為真，否命題為假4命題“已知不共線(xiàn)向量e1，e2，若e1e20，則0”的否命題為_(kāi)，是_命題(填“真”或“假”)已知不共線(xiàn)向量e1，e2，若e1e20，則0或0真否命題即把原命題的條件和結(jié)論都否定合 作 探 究·攻 重 難四種命題之間的轉(zhuǎn)換寫(xiě)出以下命題的逆命題、否命題和逆否命題【導(dǎo)學(xué)號(hào)：7312206

5、1】(1)如果一條直線(xiàn)垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，那么這條直線(xiàn)垂直于平面；(2)如果x10，那么x>0；(3)當(dāng)x2時(shí)，x2x60.解(1)逆命題：如果一條直線(xiàn)垂直于平面，那么這條直線(xiàn)垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)；否命題：如果直線(xiàn)不垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，那么這條直線(xiàn)不垂直于平面；逆否命題：如果一條直線(xiàn)不垂直于平面，那么這條直線(xiàn)不垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)(2)逆命題：如果x0，那么x10；否命題：如果x10，那么x0；逆否命題：如果x0，那么x10.(3)逆命題：如果x2x60，那么x2；否命題：如果x2，那么x2x60；逆否命題：如果x2x60，那么x2.規(guī)律方法寫(xiě)命題的四種形式時(shí)

6、，首先要找出命題的條件和結(jié)論，然后寫(xiě)出命題的條件的否定和結(jié)論的否定，再根據(jù)四種命題的結(jié)構(gòu)寫(xiě)出所求命題.提醒：在寫(xiě)命題時(shí)，為了使句子更通順，可以適當(dāng)?shù)奶砑右恍┰~語(yǔ)，但不能改變條件和結(jié)論.跟蹤訓(xùn)練1命題：“若a·b0，則a，b都不為零”的逆否命題是_若a，b至少有一個(gè)為零，則a·b0由“若p，則q”的逆否命題為“若q，則p”可得2寫(xiě)出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題(1)當(dāng)c>0時(shí)，若a>b，則acbc；(2)正數(shù)m的平方大于0.解(1)逆命題：當(dāng)c>0時(shí)，若acbc，則ab；否命題：當(dāng)c>0時(shí)，若ab，則acbc；逆否命題：當(dāng)c>0時(shí)，若acb

7、c，則ab.(2)逆命題：若m2>0，則m>0；否命題：若m0，則m20；逆否命題：若m20，則m0.四種命題間的關(guān)系及真假判斷寫(xiě)出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷它們的真假(1)垂直于同一個(gè)平面的兩直線(xiàn)平行(2)若m·n<0，則方程mx2xn0有實(shí)數(shù)根(3)若ab0，則a0或b0.思路探究解(1)逆命題：如果兩條直線(xiàn)平行，那么這兩條直線(xiàn)垂直于同一個(gè)平面，假命題否命題：如果兩條直線(xiàn)不垂直于同一平面，那么這兩條直線(xiàn)不平行，假命題逆否命題：如果兩條直線(xiàn)不平行，那么這兩條直線(xiàn)不垂直于同一平面，真命題(2)逆命題：若方程mx2xn0有實(shí)數(shù)根，則m·n&l

8、t;0，假命題否命題：若m·n0，則方程mx2xn0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，假命題逆否命題：若方程mx2xn0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則m·n0，真命題(3)逆命題：若a0或b0，則ab0，真命題否命題：若ab0，則a0且b0，真命題逆否命題：若a0且b0，則ab0，真命題規(guī)律方法要判斷四種命題的真假：首先，要熟練四種命題的相互關(guān)系，注意它們之間的相互性；其次，利用其他知識(shí)判斷真假時(shí)，一定要對(duì)有關(guān)知識(shí)熟練掌握.跟蹤訓(xùn)練3下列命題：“如果xy1，則x、y互為倒數(shù)”的逆命題；“四邊相等的四邊形是正方形”的否命題；“梯形不是平行四邊形”的逆否命題；“如果ac2>bc2，則a>b”的逆命題其中

9、真命題是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122062】“如果xy1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題是“如果x，y互為倒數(shù)，則xy1”，是真命題；“四邊相等的四邊形是正方形”的否命題是“四邊不都相等的四邊形不是正方形”，是真命題；“梯形不是平行四邊形”本身是真命題，所以其逆否命題也是真命題；“如果ac2>bc2，則a>b”的逆命題是“如果a>b，則ac2bc2”，是假命題所以真命題是.4寫(xiě)出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷它們的真假(1)在ABC中，若a>b，則A>B；(2)相等的兩個(gè)角的正弦值相等；(3)若x22x30，則x3；(4)若xA，則xAB.解(1)逆命題：在

10、ABC中，若A>B，則a>b.真命題；否命題：在ABC中，若ab，則AB.真命題；逆否命題：在ABC中，若AB，則ab.真命題(2)逆命題：若兩個(gè)角的正弦值相等，則這兩個(gè)角相等假命題；否命題：若兩個(gè)角不相等，則這兩個(gè)角的正弦值也不相等假命題； 逆否命題：若兩個(gè)角的正弦值不相等，則這兩個(gè)角不相等真命題(3)逆命題：若x3，則x22x30.真命題；否命題：若x22x30，則x3.真命題；逆否命題：若x3，則x22x30.假命題(4)逆命題：若xAB，則xA.真命題；否命題：若A，則xAB.真命題；逆否命題：若xAB，則xA.假命題.等價(jià)命題的應(yīng)用探究問(wèn)題1直接證明原命題有困難時(shí)，應(yīng)如何

11、證明？提示由于原命題和它的逆否命題有相同的真假性，所以在直接證明一個(gè)命題有困難時(shí)，可以通過(guò)證明它的逆否命題為真來(lái)間接證明原命題為真，即正難則反的思想2四種命題之間有怎樣的相互關(guān)系？提示(1)四種命題中原命題具有相對(duì)性，任意確定一個(gè)為原命題，其逆命題、否命題、逆否命題就確定了，所以“互逆”“互否”“互為逆否”具有對(duì)稱(chēng)性(2)在原命題、逆命題、否命題與逆否命題這四種命題中，有兩對(duì)互逆命題，兩對(duì)互否命題，兩對(duì)互為逆否命題它們分別為：兩對(duì)互逆命題：原命題與逆命題，否命題與逆否命題兩對(duì)互否命題：原命題與否命題，逆命題與逆否命題兩對(duì)互逆否命題：原命題與逆否命題，逆命題與否命題(3)由于原命題與其逆否命題的

12、真假性相同，所以原命題與其逆否命題是等價(jià)命題，因此當(dāng)直接證明或判斷原命題困難時(shí)，可以轉(zhuǎn)化成證明其逆否命題判斷命題“已知a，x為實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，則a1”的逆否命題的真假. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122063】思路探究可以先寫(xiě)出逆否命題，直接判斷其真假，也可以利用原命題與逆否命題的真假性相同去判斷原命題的真假問(wèn)題中涉及不等式的解集，還可以利用集合的包含、相等關(guān)系求解解法一：逆否命題為：已知a，x為實(shí)數(shù)，若a<1，則關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集為空集拋物線(xiàn)yx2(2a1)xa22開(kāi)口向上，對(duì)應(yīng)方程的判別式(2a1)24(a22)4a7.因?yàn)閍&

13、lt;1，所以4a7<0，即拋物線(xiàn)與x軸無(wú)交點(diǎn)，所以關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集為空集故逆否命題為真法二：先判斷原命題的真假因?yàn)閍，x為實(shí)數(shù)，關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，所以(2a1)24(a22)0，即4a70，解得a.因?yàn)閍>1，所以原命題為真又因?yàn)樵}與其逆否命題的真假性相同，所以逆否命題為真法三：命題p：關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220有非空解集，命題q：a1.所以命題p：Aa|關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220有實(shí)數(shù)解a|(2a1)24(a22)0.命題q：Ba|a1因?yàn)锳B，所以“若p，則q”為真，所以“若p，則q”的逆

14、否命題“若q，則p”為真，即原命題的逆否命題為真母題探究：1.(改變問(wèn)法)本例中判斷命題“已知a，x為實(shí)數(shù)，如果關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集為空集，則a2”的逆命題的真假解逆命題為：已知a，x為實(shí)數(shù)，若a2，則關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集為空集拋物線(xiàn)yx2(2a1)xa22開(kāi)口向上，對(duì)應(yīng)方程的判別式4a7，因?yàn)閍2時(shí)，4a71所以關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不一定為空集故逆命題為假命題2(變換條件)本例1中判斷命題“已知a，x為實(shí)數(shù)，如果關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa22>0的解集是R，則a<”的逆否命題的真假解先判斷原命題的真假如

15、下：因?yàn)閍，x為實(shí)數(shù)，關(guān)于x的不等式x2(2a1)xa22>0的解集為R，且拋物線(xiàn)yx2(2a1)xa22的開(kāi)口向上，所以(2a1)24(a22)4a70，所以a<.所以原命題是真命題因?yàn)榛槟娣衩}的兩個(gè)命題同真同假，所以原命題的逆否命題為真命題規(guī)律方法(1)當(dāng)原命題的真假不易判斷，而逆否命題較容易判斷真假時(shí)，可通過(guò)判斷其逆否命題的真假來(lái)判斷原命題的真假.(2)在證明某一個(gè)命題的真假性有困難時(shí)，可以證明它的逆否命題為真(假)命題，來(lái)間接地證明原命題為真(假)命題.(3)四種命題中，原命題與其逆否命題是等價(jià)的，有相同的真假性，否命題與其逆命題也是互為逆否命題，解題時(shí)不要忽視.當(dāng) 堂

16、 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1命題“若m10，則m2100”與其逆命題，否命題，逆否命題這四個(gè)命題中，真命題是()A原命題、否命題B原命題、逆命題C原命題、逆否命題D逆命題、否命題C由原命題為真命題，所以逆否命題也是真命題2命題：“若x2<1，則1<x<1”的逆否命題是 ()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122064】A若x21，則x1，或x1B若1<x<1，則x2<1C若x>1，或x<1，則x2>1D若x1，或x1，則x21答案D3命題“若a2b2，則ab”的否命題是()A若a2b2，則abB若a2b2，則abC若ab，則a2b2D若ab，則a2b2答案B4命題“若x3，y5，則xy8”的逆命題是_；否命題是_；逆否命題是_答案逆命題：若xy8，則x3，y5；否命題：若x3，或y5，則xy8；逆否命題：若xy8，