專(zhuān)題5第3講圓錐曲線的熱點(diǎn)問(wèn)題

1、第 3 講圓錐曲線的熱點(diǎn)問(wèn)題(建議用時(shí)：60 分鐘)一、選擇題x2y21(2014 ·金華模擬 )若雙曲線 a2b21(a>0，b>0)與直線y3x 無(wú)交點(diǎn)，則離心率 e 的取值范圍是()A (1,2)B(1,2C (1， 5)D(1， 5解析 因?yàn)殡p曲線的漸近線為b，要使直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)，y±axy3x則直線 y3x 應(yīng)在兩漸近線之間， 所以有 b3，即 b3a，所以 b2 3a2，ac2a23a2，即 c24a2，e2 4，所以 1<e2.答案B2直線 4kx4yk 0 與拋物線 y2 x 交于 A， B 兩點(diǎn)，若 |AB|4，則弦 AB 的中點(diǎn)到直

2、線 x10 的距離等于()27A.4B29C 4D4解析直線 4kx 4y k0，即 yk x1，即直線 過(guò)拋物線44kx4y k0211yx的焦點(diǎn) 4，0 .設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 |AB|x1x22 4，故 x17717x22，則弦 AB 的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是4，弦 AB 的中點(diǎn)到直線 x20的距離是41924.答案C3已知拋物線 y2 4x，圓 F：(x1)2y2 1，過(guò)點(diǎn) F 作直線 l ，自上而下順次與上述兩曲線交于點(diǎn) A，B，C，D(如圖所示 )，則 |AB| ·|CD|的值正確的是()A等于 1C等于 4B最小值是D最大值是14解析設(shè)直線 l：xty 1，

3、代入拋物線方程，得 y2 4ty 40.設(shè) A(x1， y1 )， D(x2，y2)，根據(jù)拋物線定義 |AF|x1 1，|DF|x21，故|AB|x1， |CD|x2，22(y1y22所以 |AB| |CD|·x1x2y1y2)，4· 164而 y1y2 4，代入上式，得|AB| |CD|·1.故選 A.答案A4已知橢圓x2y24 b21(0<b<2)與y 軸交于A，B 兩點(diǎn)，點(diǎn)F 為該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則 ABF 面積的最大值為()A 1C 4B2D8解析 不妨設(shè)點(diǎn) F 的坐標(biāo)為(4b2 ，0)， 而|AB|2b， 1S ABF2×2b

4、15; 4b2b222b24b22(當(dāng)且僅當(dāng)2 4bb4b2b4b2，即 b22 時(shí)取等號(hào) )，故ABF 面積的最大值為2.答案B過(guò)拋物線y2 2px(p>0)的焦點(diǎn) F 且傾斜角為60°的直線 l 與拋物線分別交于 A，5|AF|()B 兩點(diǎn)，則 |BF|的值等于A 5B4C 3D2設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1 >x2，易知直線 AB 的方程為 y3解析3x 2p，代入拋物線方程21251 2p21 32y 2px，可得 x x 3p， x x 4 ，可得 x 2p，x p3ppp|AF|x122 26，可得 |BF|p pp 3.x2262答案C6

5、已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為 P， PF1F2 是以 PF1為底邊的等腰三角形，若|PF1 ，橢圓與雙曲線的離心率分別為1，e2，則 e1·2 的取值范圍是|10ee()1A (0， )B 3，1D1C. 5，9，解析設(shè)橢圓與雙曲線的半焦距為c，|PF1 |r 1， |PF2| r2.由題意知 r 110，r 22c，且 r 1>r2,2r2>r 1，2c<10,2c 2c>10，525 <c<5? 1<2 <4，2c22c2c2cc；e 102c2ar r5 c雙12

6、12c2c2cce .2ar r10 2c5c橢12c211e1·e2225>3.25 cc2 1答案B7(2014 ·湖北卷 )已知 F1，F(xiàn)2 是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P 是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且 F1PF23，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為()A.433B 233C 3D2解析設(shè)|PF1 1，2 21 2， 12 2c，橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為1| r|PF | r(r >r) |FF |a ，雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)為 a2，橢圓，雙曲線的離心率分別為e1，e2，由(2c)222r1r22r 1r2cos2223，得 4c r 1r2 r1r2.r1 r22a1

7、，r 1 a1a2.由得r1 r22a2r 2 a1a2，11a a2r11. ecce12令 mr124r1244，222r 2 2rr 21 2cr1r 2r 1r 2231 r 1r 1r 124r2116r 143當(dāng)r12時(shí)， mmax 3， cmax3，即11的最大值為43ee3.12答案A二、填空題拋物線22x22py(p>0)的焦點(diǎn)為 F，其準(zhǔn)線與雙曲線 xy 1 相交于 A，B 兩點(diǎn)，833若 ABF 為等邊三角形，則 p _.ppx2y2解析，2 ，代入方程 3 31得 p 6.由題意知 B 3答案69(2014 ·武昌區(qū)調(diào)研測(cè)試 )已知拋物線方程為y2 4x

8、，直線 l 的方程為 xy40，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P 到 y 軸的距離為 d1，P 到直線 l 的距離為 d2，則 d1 d2 的最小值為 _解析過(guò)點(diǎn) P 作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為A，交 y 軸于 B，由拋物線方程為 y24x 得焦點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 (1,0)，準(zhǔn)線為 x 1，則由拋物線的定義可得d1d2|PA| |AB|d2|PF|1d2，|PF|d2 大于或等于焦點(diǎn)F 到直線 l 的距離，即|PF|d2 的最小值為|104|52，225 2所以 d1d2 的最小值為 2 1.5 2答案2110(2013 ·安徽卷 )已知直線 ya 交拋物線 y x2 于 A，B 兩點(diǎn)若該拋物

9、線上存在點(diǎn) C，使得 ACB 為直角，則 a 的取值范圍為 _解析 以 AB 為直徑的圓的方程為 x2 2a.(y a)yx2，得 y2(1 2a)y a2 a 0，由x2 ya2a，a>0，即(ya)y (a1) 0.由已知解得 a 1.a10，答案1， )x2y211(2014 ·鎮(zhèn)江模擬 )已知點(diǎn) F 是雙曲線 a2b2 1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)，點(diǎn) E 是該雙曲線的右頂點(diǎn)， 過(guò)點(diǎn) F 且垂直于 x 軸的直線與雙曲線交于 A，B 兩點(diǎn)，若 ABE 是銳角三角形，則該雙曲線的離心率 e 的取值范圍是 _解析由題意知，ABE 為等腰三角形若 ABE 是銳角三角

10、形，則只需要AEB 為銳角根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，只要 AEF<4即可直線AB 的方程為 x c，代入雙曲線方程得2 b4b2，則 |AF|b2y 2，取點(diǎn) A c，aa， |EF|ac，只要a b22 222|AF|<|EF|就能使AEF<4，即 a <ac，即 b <a ac，即 c ac2a <0，即2e e 2<0，即 1<e<2.又 e>1，故 1<e<2.答案 (1,2)是橢圓x22 1 的左焦點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) 12設(shè) F1yP 在橢圓上，則 PF1·4PO的最大值為 _解析設(shè) P(x0，y0)，依題意可

11、得F1(223x03，0)，則 PF1·POx0y0223x021x03x0233 2.43x0 4 3x014 x0又 0 2，所以當(dāng) x02時(shí)，1·取得最大值3.2xPFP O4 2答案423三、解答題13已知拋物線 C 的方程為 x22py(p>0)，設(shè)點(diǎn) M(x0,1)(x0>0)在拋物線 C 上，且5它到拋物線 C 的準(zhǔn)線的距離為 4.(1)求拋物線 C 的方程；(2)過(guò)點(diǎn)M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別交拋物線C于1，y1)，2，y2A(xB(x)兩點(diǎn) (M，A，B 三點(diǎn)互不相同 )，求當(dāng) MAB 為鈍角時(shí)，點(diǎn) A 的縱坐標(biāo) y1 的取值范圍解(1)由定

12、義得p51 24，解得1p2，拋物線 C 的方程為 x2y.(2)由(1)知點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (1,1)，因此設(shè)直線 AM 的方程為 yk(x1)1，則直線 BM 的方程為 y k(x 1)1，聯(lián)立方程組y k x 1 1，得 x2 kx k10，x2y，1 為方程的根， A(k1，(k1)2 ，1 (k2)2，2.)>0k同理 B(k1，( k 1)2)，2 (k2)2>0， k 2，2 令 y1 (k1) ， AB·AM<0， 2324k<0，AB·2k(k 2)4k(2kk4k10kAM)11解得 k>2 或 0<k<2， y

13、1的取值范圍為4，1 (1， )14(2013 ·江卷浙 )已知拋物線 C 的頂點(diǎn)為 O(0,0)，焦點(diǎn)為 F(0,1)(1)求拋物線 C 的方程；(2)過(guò)點(diǎn) F 作直線交拋物線C 于 A， B 兩點(diǎn)若直線 AO，BO 分別交直線 l：yx2 于 M，N 兩點(diǎn)，求 |MN|的最小值解 (1)由題意可設(shè)拋物線 C 的方程為 x2 2py(p>0)，則 p21，所以拋物線 C的方程為 x2 4y.(2)設(shè) A(x1，y1)，B(x2， y2 )，直線 AB 的方程為 y kx1.由ykx1，消去 y，整理得 x24kx40，x24y所以 x1 x2 4k， x1 x2 4.從而 |

14、x1 x2 |4k21.y1又 yx1x，且 y x2，2x12x28M 的橫坐標(biāo) xM 1.解得點(diǎn)11x11xyx144 x8同理點(diǎn)N 的橫坐標(biāo) xN4x2.所以 |MN| 2|xM xN|8 8 2 4x14x21 x28 2x1 24 x1 x2 16x x8 2 k2 1，|4k3|t3令 4k 3 t，t 0，則 k4 .當(dāng) t>0 時(shí)， |MN| 2 2當(dāng) t<0 時(shí)， |MN| 2 22561>22.t2 t5321682.t5255254綜上所述，當(dāng) t3 ，即 k3時(shí)，8|MN|取到最小值 52.15已知拋物線M：y2 2px(p>0)上一個(gè)橫坐標(biāo)為3 的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為4.過(guò)點(diǎn) F(2,0)且與 x 軸垂直的直線 l1 與拋物線 M 相交于 A，B 兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) F 且與 x 軸不垂直的直線 l2 與拋物線 M 相交于 C， D 兩點(diǎn)，直線 BC 于 DA 相交于點(diǎn) E.(1)求拋物線 M 的方程；(2)請(qǐng)判斷點(diǎn) E 的橫坐標(biāo)是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由解 (1)由題意可知 3 p 4， p2.2拋物線 M 的方程為 y2 4x.22(2)可求得點(diǎn) A(2,2 2)，B(2， 22)，設(shè) Cy1，y1， Dy2，y2