函數(shù)極限與連續(xù)

1、第三節(jié)函數(shù)極限與連續(xù)函數(shù)極限內(nèi)容網(wǎng)絡(luò)圖rmf(x)=Alim/(r)-A函數(shù)極限定義；、lixn=coUm/(x)=8性質(zhì)-唯一性,有界性,不等式.界定理單禽檢用與雙*m函數(shù)圖b與數(shù)列sm一函數(shù)根隈與無窮小無窮大與無窮小-翔k碗、等價(jià).函數(shù)連續(xù)定義、內(nèi)容與要求1.理解函數(shù)極限的概念,理解函數(shù)左極限與右極限的概念,以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系.2.掌握函數(shù)極限的性質(zhì)及四那么運(yùn)算法那么3, 掌握函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)那么,并會利用它求極限,掌握利用兩個重要極限求極限的方法4, 理解無窮小、無窮大的概念,掌握無窮小的比擬方法,會用等價(jià)無窮小求極限.5, 理解函數(shù)連續(xù)性的概念含左連續(xù)與右連續(xù),

2、會判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型6, 了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性,理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界性、最大值和最小值定理、介值定理,并會應(yīng)用這些性質(zhì)重點(diǎn)函數(shù)極限的性質(zhì)及四那么運(yùn)算法那么、初等函數(shù)的連續(xù)性、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界性、最大值和最小值定理、介值定理難點(diǎn)函數(shù)極限的概念、函數(shù)極限的性質(zhì)、無窮大的概念,掌握無窮小的比擬方法、用等價(jià)無窮小求極限.三、概念、定理的理解與典型錯誤分析1 .函數(shù)極限的概念定義1.10lim/二丈假設(shè)存在一個常數(shù)>0,我>0,當(dāng)兀>洞,都有XT柚血/(x)=A歹定義i.iiXZ把1中“1換成“1so前鱷硅都有幽-小.定義定理定義1.121.41.

3、13lim/(x)=A、爐vsyarm把1中“工換成“A44fin/(x)=從/(z)=Urn網(wǎng)=且XT魴'JTT樞且黑加2設(shè)為在0七|有定義,假設(shè)存在一個常數(shù)A,lim=A:門MDFti定義1.141而設(shè)JI燈在.的某左半鄰域內(nèi)有定義,假設(shè)存在一個常數(shù)a,He0,當(dāng)-J一而<0時(shí),者b有|j工-幺|“此時(shí)也可用記號表示左極限值A(chǔ),因此可寫成0或血-/=fx?2ToXT"JWoflimyit=A/Ytti/定義1.15】T心設(shè)八才在小的某右半鄰域U十速“內(nèi)有定義,假設(shè)存在一個常數(shù)弘>0當(dāng)0<1-/<8日時(shí),都有U<F.此時(shí)也可用|/瓦+用&quo

4、t;4/卜=/5+0域lim#/#=/君JEW表示右極限j4o因此可寫成ER1修.F15期%=力=螃一"=工日用加="7E理1.5VT%T辦_eLKtXq該定理是求分界點(diǎn)兩側(cè)表達(dá)式不同的分段函數(shù)在該分界點(diǎn)極限是否存在的方法,而如果在'.的左右極限存在且相等,那么在該點(diǎn)的極限存在,否那么不存在.都有|/小M.止匕時(shí)lim/工=co:VM>0J<5>0,當(dāng)0?3-而卜5定義1.16IT砧時(shí),稱工.雨時(shí),/是無窮大量.圾/"+0°,只要把公式中“必卜M,改成“期“'°°只要把上式中“J.>M,改成“/

5、W<-M定義1.17國&二m力必>o丑>o.當(dāng)HU時(shí),都有睡時(shí)讀者同理可給出lim*o或-oo/k=00+00或-001、,了Tg7E義.lim/i=A注：*T砧lim/x=oo常數(shù)與HT通的區(qū)別,前者是說明函數(shù)極限存在,后者指函數(shù)極限不存在,但還是有個趨于無窮大的趨勢.因此,給它一個記號,但還是屬于極限不存在之列,以后,我們說函數(shù)極限存在,指的是函數(shù)極限值是個常數(shù).定義1.18AT%''9.稱州當(dāng)亙工.是無窮小量.這里的M可以是常數(shù),也可以是他速或®.lim=月常數(shù)<=>/X=力+武幻定理1.6.lim的-0其中Z物.0定義1.

6、19假設(shè)31>0,胡>Op當(dāng)XE時(shí),都有J工三",稱j當(dāng)工T工口是有界量.2 .無窮小量階的比擬,無窮小量與無窮大量關(guān)系血/W=0,血g(z)=0定義1.20設(shè)Z砧TTa這里工.可以是常數(shù),也可以是00,+00-00,以后我們不指出都是指的這個意思i假設(shè)lim犯二0幽,稱/1當(dāng)時(shí)是gW的高階無窮小量,記作/二心功.7而.11m忠"席數(shù)多0,假設(shè)一二稱了當(dāng)彳一/時(shí)是gx的同價(jià)無窮小量.I時(shí)是綱的等價(jià)無窮小量,記作力4G工7%.lim/4=c常數(shù)mQk譚數(shù)4假設(shè)訪與,稱/當(dāng)XT/k)gk)(#T麗)此時(shí)2式也可記作稱了當(dāng)XT/時(shí)是無窮小量由等價(jià)無窮量在求極限過程中起

7、到非常重要的作用,因此,引入版/x_假設(shè)E與gx前f,如果詢式了均是無窮小量,稱為等價(jià)無窮小量；如果/4gW均是無窮大量,稱為等價(jià)無窮大量；如果,出既不是無窮小也不是無窮大,我們稱為等價(jià)量.島/=乂常數(shù)h0行由彳T例如,那么Jwr".注：A不能為零,假設(shè)A=0,/工不可能和0等價(jià).無窮小量的性質(zhì):性質(zhì)1.8假設(shè)%工¥%口式了當(dāng)工TX.時(shí),均為無窮小量,那么阿卜修1+%&)+%(方=0(i)不T而其中(ii)砧M即工徒力%=0性質(zhì)1.9假設(shè)一當(dāng)一%時(shí)是有界量,-卜一上一網(wǎng)均為常數(shù).lim/比=0黑一*4無窮大量的性質(zhì):性質(zhì)1.9有限個無窮大量之積仍是無窮大量.性質(zhì)1.

8、10有界量與無窮大量之和仍是無窮大量.無窮小量與無窮大量之間的關(guān)系:lim/(x)=oo,那么limi=0定理1.7假設(shè)lim=8»修A力#T福2./(彳)Em0,5.35>0,當(dāng);rE(工口時(shí)外力¥0,那么2辦.3.函數(shù)連續(xù)的概念.定義1.21血加卜兩,稱在x=通假設(shè)：-處連續(xù).一日語言可寫為定義設(shè)J1在為的某鄰域內(nèi)有定義,假設(shè)Ve>0,3(5>O|x-xo|<5時(shí),都有|/工-/%|<J稱,在尸片處連續(xù).用函數(shù)值增量切形式可寫為定義1.22limAv=0假設(shè)以T.,稱了國在八10處連續(xù).,稱了在X=所處左連續(xù).黑3/明派處右連續(xù).定理1.8

9、在而處連續(xù)臺,在而處既是左連續(xù)又是右連續(xù).如果,在X二工.處不連續(xù),稱的間斷點(diǎn).間斷點(diǎn)的分類:lim/x=&常數(shù),四了在工=/處不連續(xù),稱x而是/"的可去間斷1假設(shè)：'假設(shè)工一】.為函數(shù)穴制的可去間斷點(diǎn),只須補(bǔ)充定義或改變/在了二而處的函數(shù)值,使函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).但須注意,這時(shí)函數(shù)與了已經(jīng)不是同一個函數(shù)但僅在'一%處不同,在其它點(diǎn)相同.我們正是利用這一性質(zhì)去構(gòu)造一個新的函數(shù)式】,使#在某閉區(qū)間上處處連續(xù),因而有某種性質(zhì).當(dāng)工*%時(shí),也具有這種性質(zhì).而'*X.時(shí),Fx=1A,所以/.在工工%的范圍內(nèi)也具有這種性質(zhì),從而到達(dá)了我們的目的/z=,lim=lim

10、=1例如X*皿¥T0工,sinx尸=4°,但/在".處沒定義和在X=.處不連綴設(shè)ILx=0,那么工在工二Q處連續(xù),但明與我定義域不同,SU1工=<0,雖然F旬'不是同一函數(shù),但在工豐冽完全相同,又如丁1.,x=°理3視味】,師°,知/泡=o處不連縝設(shè)sin工*0,xLx=0.尸在工二£連續(xù),雖然也與了定義域相同,但在工二Q處,兩個函數(shù)值不同,知尸與了不是同一函數(shù),但僅在x=0不同,其余點(diǎn)函數(shù)值處處相同.假設(shè)基佝二方-.).蝮竺勺叫旦鵬-0)一,旃+0),稱%為了W的跳躍間斷點(diǎn),稱如q+.)-/.廣o幗(1)的跳躍度.工二

11、通詢的第二類間斷點(diǎn).(1)(2)兩種類型的特點(diǎn)是左右極限都存在,我們統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).lim/=00假設(shè)(3)假設(shè)工.',左、右極限至少有一個不存在,我們稱,我們也稱'-%為/(1)的無窮型間斷點(diǎn),屬于第二類間斷點(diǎn).4.函數(shù)極限的性質(zhì)在下述六種類型的函數(shù)極限：(1)如/(力血/W(1) T-Htt(2)-lim/(x)lim,(4)I；(6)布它們具有與數(shù)列極限相類似的一些性質(zhì),我們以只要作適當(dāng)修改就可以了.(3)(4)I砧lim/為例,其它類型極限的相應(yīng)性質(zhì)的表達(dá)lim/(x)性質(zhì)1.11(唯一性)假設(shè)極限才T砧存在,那么它只有一個極限.lim/(x)Vjn、性質(zhì)1.12(

12、局部有界性)假設(shè)極限把如存在,那么存在喳的某空心鄰域,使/團(tuán)在0訂區(qū))內(nèi)有界.注意：圾,存在,只能得出在%的某鄰域內(nèi)有界,得不出/(工)在其定義域內(nèi)有界.lim/(x)=Atlinig(x)二瓦旦/?3r性質(zhì)1.13假設(shè)xtXqg.|、那么存在"Q的某空心鄰域00,使工E貝飛禽)時(shí),都有/W<gWolim/(幻二W>.(或<0)性質(zhì)1.14(局部保號性)假設(shè)*1*4,那么對任何常數(shù)0<ij<4(或(4<彳<0),存在%的某空心鄰域,使得對一切有f(x)>Jf>O(f(x)<ij<O)成立.VM)血/(x)=A?limg

13、(x)=By性質(zhì)1.15(不等式)假設(shè)JTTMHT而,且存在飛的某空心鄰域I0使得對一切XE(/B,都有浜綱,那么於尻lim/(1)與limg(x)性質(zhì)1.16(函數(shù)極限的四那么運(yùn)算)假設(shè)才T粘Eq,'均存在,那么函數(shù)J士g(x)J(K)：g"),雙方(匕為常數(shù))在K7而時(shí)極限均存在且lmi/W±gW=lim/(x)±limg11)TT%KTX&MTM；(2)%7W«(«)=fci/(x)tag界T如硒JTT.；lim力了)=Clim/(了)如式乃工0,那么4rxr(3)才T電E0'；又假設(shè)*T知g在,Jl0時(shí)的極限也存

14、在,且有l(wèi)im/(x)如g")11nl以外(4)JTTM.利用極限的四那么運(yùn)算,可得以下重要結(jié)果.,%力,限均為常數(shù),%H0也H0)0,融<明曲/二加瓦do>m1T11,»白.+鼻1-+L+r»if'+s；6f£XXiirlimJfTcd瓦+瓦一+L+EtFt+吼上面的結(jié)論可作為公式用.lim/(x)定理1.9(歸結(jié)原那么或海涅(Heine)定理)史她存在的充要條件是：V處/二/匕*而/=1,2,.力極限瞥了Xrs*T9都存在且相等.叫l(wèi)impr,lim/r.逆否認(rèn)理假設(shè)存在兩個數(shù)列IX/lXJs=X=0JXTb/=0,且不存在,那么

15、M/國)=4向/(1)=4/M/二的lim/&)HMDNTs或存在I"*TnR2mlim/(/)里加不存在.此定理是判斷函數(shù)極限不存在的一個重要方法.5.函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)假設(shè)函數(shù)/芯在點(diǎn)工二凝處連續(xù),即期/年他,利用極限的性質(zhì)1-5可得到函數(shù)在口改成也即可,讀者自己表達(dá)出性質(zhì)1.18假設(shè)以=/在7處連續(xù)J二外祖亡加處連續(xù),那么Y0連續(xù)的局部有界性,局部保號性,不等式等,只要把利用極限的四那么運(yùn)算,我們有性質(zhì)1.17連續(xù)函數(shù)的四那么運(yùn)算假設(shè)了芯,8.在點(diǎn)工二70處連續(xù),那么阿士綱J綱加決為常數(shù)黑g$Q在x通也連續(xù)lim/»=/用/=/血建3.處也連續(xù)且福在滿足性質(zhì)2的條

16、件下,極限符號與外函數(shù)J可交換順序,如果僅要可交換順序,有推論limg工二期,y=/在窗二即處連續(xù),那么假設(shè)；,1J血/3=/far網(wǎng)力證設(shè)即M=旃,那么g在#=而處連續(xù),又J=在M=%=g"o血/gW=/limgx處連續(xù),由性質(zhì)2知TTX,E.由于工T%,要構(gòu)H%,有虱了二碘,所以氏*艱/晚以功.在這里,我們巧妙地利用可去間斷點(diǎn)的性質(zhì),構(gòu)造一個連續(xù)函數(shù),以滿足所需的條件,上面的性質(zhì)1.18及推論也是求函數(shù)極限的一個重要方法.即極限符號與外函數(shù)交換順序,把復(fù)雜函數(shù)極限轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù)極限.定理1.10初等函數(shù)在其定義域上連續(xù).6 .閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理i.ii最大值與最小值定理假

17、設(shè)鼠引上連續(xù),那么上一定能取到最大值與最小值,即存在工1,士！=/Q在閉區(qū)間上3上連續(xù),那么了在除口上有界.定理1.12根的存在定理或零值點(diǎn)定理假設(shè)函數(shù)/在閉區(qū)間白上連續(xù),/伽0,那么至少存在一點(diǎn)心口面力推論1假設(shè)函數(shù)上連續(xù),且/為介取公/之間的任何常數(shù),那么至少存在一點(diǎn)氣以垃微©N推論2假設(shè)函數(shù),在閉區(qū)間限引上連續(xù),那么值域網(wǎng)了二加,屈.這幾個定理非常重要,請大家要記住這些定理的條件與結(jié)論,并會運(yùn)用這些定理去解決問題.7 .重要的函數(shù)極限與重要的等價(jià)量利用初等函數(shù)的連續(xù)性及極限符號與外函數(shù)的可交換性及等價(jià)量替換,夾逼定理可得到下面的重要的函數(shù)極限.limilr_2.1呵1+冷|二g

18、lim3.,.：=limlln(l+x)=limln(l+x)=lntai(l+xr=ln=l#tO工#tOttQInn-設(shè)/-1=Ztai-=lim!-1.工=修.111(1+；)iQln(1+.4.#_rlna_ilim5.XT.,=limIna=ha(a>O,rm1為常數(shù))x*tQ工Ina7/購.)-1ln(I+x)LUL小小物L(fēng)m血=lim:b=為吊數(shù),&h0)6 .i.；:二一上二arcsinjHn£<1,餞arcsinx-Zinn=lim-1txsintiosinttai7 .,.：J.arctanx>幾.1.1瓦karctanx=tlim=li

19、m-cos/=8.x=M0tant't°sintlim¥二0人0常數(shù)9 ,->：而=0.>1常數(shù),上為常數(shù)10 .,-M®1Ern|ux=a>0,Smvx=貼/均為常數(shù),那么11 .假設(shè)lim網(wǎng)工“=血產(chǎn)"am=gW的禺憫禺珈加班&=Gm.£*>=/即KT融.注：不僅要記住這些公式的標(biāo)準(zhǔn)形式,更要明白一般形式.即上面公式中的XT'?時(shí),/7°,結(jié)論依然成立.利用上述重要極限,我們可以得到以下對應(yīng)的重要的等價(jià)無窮小量,在解題中經(jīng)常要利用他們當(dāng)40時(shí),皿1兀%+工工4-137疝aa>p

20、fa士1,常數(shù)1+工廠Tbxb豐0,常數(shù),arcsinx兀arctan1兀1-cos注：上式中的工可換成了,只要工必時(shí),必旬.結(jié)論依然成立.例如加/假設(shè)工T而時(shí)J.回.firn/x=盤常數(shù)豐0Jx工二7/此外,假設(shè)修砧.1m.1例1.求/TU工.典型錯誤一nlim.1仆=0-vnX5in=0it口jr一：力Siti_點(diǎn)評由于：TUx不存在,不能用極限的乘積運(yùn)算法那么Im.15曾由一=1旬XxtO'tO1sin-典型錯誤二1m皿_1點(diǎn)評錯誤運(yùn)用了丁T.-j-.它的一般形式,假設(shè)I7%,前b)T.,那么Eigin/W_1一.而-(xOB,->®m.人FT.Jt而這里'

21、;x,不符合一般形式的條件解由無窮小量的性質(zhì)：有界函數(shù)與無窮小量之積仍為無窮小量,故如tan工一疝了例2.,T口sin?.典型錯誤limtanj-sinA/ftlitnnnr二,i':''-''1.點(diǎn)評這里分母smh用x3替代是合理的,由于smh是分母中的因式,而分子中的tenrisinr用x替代是不合理的,原因是tan省$in1不是分子中的因式,故不能替代.f】、1SillXjf-_jf2litntanx-sinx(cus)_lim,卜d)版&£解''L.-'.-I.-.二：一-'例問兩個無窮大量之和是否為無窮大量.典型錯誤是點(diǎn)評沒有注意到正無窮大量與負(fù)無窮大理都是無窮大量答不一定例(林哨HT8時(shí),都是無窮大量