線性方程組的矩陣求法

1、線性方程組的矩陣求法摘要:關鍵詞：第一章引言矩陣及線性方程組理論是高等代數(shù)的重要內容，用矩陣方法解線性方程組又是人們學習高等代數(shù)必須掌握的基本技能，本文將給出用矩陣解線性方程組的幾種方法，通過對線性方程組的系數(shù)矩陣(或增廣矩陣)進行初等變換得到其解，并列舉出幾種用矩陣解線性方程組的簡便方法。第二章用矩陣消元法解線性方程組第一節(jié)預備知識定義1:一個矩陣中不等于零的子式的最大階數(shù)叫作這個矩陣的秩。定理1:初等變換把一個線性方程組變?yōu)橐粋€與它同解的線性方程組。定義2:定義若階梯形矩陣滿足下面兩個條件：(1) B的任一非零行向量的第一個非零分量(稱為的一個主元)為1;(2) B中每一主元是其所在列的唯

2、一非零元。則稱矩陣為行最簡形矩陣。第二節(jié)1 .對一個線性方程組施行一個初等變換，相當于對它的增廣矩陣施行一個對應的行初等變換，而化簡線性方程組相當于用行初等變換化簡它的增廣矩陣，因此，我們將要通過花間矩陣來討論化簡線性方程組的問題。這樣做不但討論起來比較方便，而且能給我們一種方法，就一個線性方程組的增廣矩陣來解這個線性方程組，而不必每次都把未知量寫出來。下面以一般的線性方程組為例，給出其解法：aiiXi-ai2X2ainXn=b,a2iXia22X2a2nXn=b2,(i)amiXi-am2X2-amnXn=bm.根據(jù)方程組可知其系數(shù)矩陣為:aiiai2aina2ia22a2naamiam2a

3、mn；其增廣矩陣為：aiiai2aina2ia22a2nlamiam2amn(3)bib2bm/根據(jù)（2）及矩陣的初等變換我們可以得到和它同解的線性方程組，并很容易得到其解。定理2:設A是一個m行n列矩陣diWn(4)A=a2ia22a2namiam2通過行初等變換和第一種列初等變換能把A化為以下形式,1000C1,r100C2,r1c1nC2n0001*0進而化為（5）0001crr11,11Crn00'0J這里r至0,rwm,rwn,*表示矩陣的元素，但不同位置上的卡表示的元素未必相等。即任何矩陣都可以通過初等變換化為階梯形，并進而化為行最簡形現(xiàn)在考察方程組（1）的增廣矩陣（3）,

4、由定理2我們可以對（1）的系數(shù)矩陣（2）施行一次初等變換，把它化為矩陣（5）,對增廣矩陣（3）施行同樣的初等變換，那么（3）可以化為以下形式：1000G,r+Gnd1、0100C2,fC2nd2（6）0001Cr,r書Crnd,00dr書00dm與（6）相當?shù)木€性方程組是:Xi1-G,rlXir1,GnXin=di,X2-C2,rI%i如凡H,XirCr,riXr1,，CrnXn=dr,°=dr1,0=dm,這里ii,i2,，in是1,2,，n的一個排列，由于方程組（7）可以由方程組（1）通過方程組的初等變換以及交換未知量的位置而得到，所以由定理1,方程組（7）與方程組（1）同解。因

5、此，要求方程組（1）,只需解方程組（7），但方程組（7）是否有解以及有怎樣的解很容易看出：情形（1）,r<m,而dr4,，dm不全為零，這時方程組（7）無解,因為它的后m-r個方程中至少有一個無解。因此方程組（1）也無解。情形（1）,r=m或r<m而df,，dm全為零，這時方程組（7）Xi1G,r"Cm%=d1,Xi2C2,r1Xir1C2nxin=d2,與方程組（8）同解。%'Cr,r.Xin.Cm%=dr當r=n時，方程組（8）有唯一解，就是Xit=dt,t=1,2,n.這也是方程組（1）的唯一解當r<n時方程組（8）可以改寫為xdi-01151,-6%

6、,%;d2-c2,rdXir1-c2nXin,(9)Xir-dr_CrXiri-Crnxin于是，給予未知量X，X以任意一組數(shù)值ki,ki,就得到r1nr1nX=di-q-kiri-Gnkin，Xir（8）的一個解：xir1=dr-Cmkin=Kr1，Xin=L這也是（1）的一個解。由于k4，一飛可以任選，用這一方法可以r1n得到（1）的無窮多解。另一方面，由于（8）的任一解都必須滿足（9）,所以（8）的全部解，亦即（1）的全部解都可以用以上方法得到。例1:解線性方程組x12x23x3x4=5,2x14x2-x4=-3,-x1-2x23x32x4=8,x12x2-9x3-5x4-21.解：方程

7、組的增廣矩陣是12315'240-1-3-1-2328d2-9-5-21j進行初等行變換可得到矩陣最簡形0131220011132石0000090000對應的線性方程組是x12x212X4""113x3-x4二26把移到右邊作為自由未知量，得原方程組的一般解xi=-2x2-x4,22131x3=-x4.62第三章用初等變換解線性方程組定義2:設B為mn行最簡形矩陣，按以下方法作sn矩陣C:對任一i:1wi<s,若有B的某一主元位于第i歹U,則將其所在行稱為C的第i行，否則以n維單位向量e=（0,，0,-1,0，0）作為C的第i行，稱C為B的sn單位填充矩陣（其

8、中1wiws）.顯然，單位填充矩陣的主對角線上的元素只能是“1”或“-1”,若主對角線上某一元素為“-1”,則該元素所在列之列向量稱為C的“八列向量”。定義3:設B為行最簡形矩陣，若B的單位填充矩陣C的任一“J一列向量”均為以B為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組：tllXi2X2h/n=0,b21K62X2tbnXn-0,>2X2n%=0.的解向量，則陳C與B是匹配的（也說B與C是匹配的）。引理1:設B為行最簡形矩陣，若將B的第i列與第j列交換位置所得矩陣仍為行最簡形矩陣，則：（I）將的單位填充矩陣的第行與第行交換位置，第列與第列交換位置所得矩陣為單位填充矩陣，其中（II）若C與B是匹配的，則C

9、與B'也是匹配。證明：結論（I）顯然成立，下證（H）,因為C與B是匹配的，故C只能是nxn矩陣，從而C也是nxn矩陣，設以B為系數(shù)矩陣的方程組'.1.為（1）,以B為系數(shù)矩陣的方程組為（1），以B為系數(shù)矩陣的方程組biiXibi2X2binXn=0,為.b2iXib22X2b2nXn=0,q）'''bmiXibm2X2bmnXn-0.則由B與B'的關系可知對方程組（i）進行變量代換。Xi二yi，Xj二yj,Xn=Vn就得到方程組（2）,于是方程組（i）的任一解向量交換i、j兩個分量的位置后就是方程組（2）的一個解向量，又從C與c的關系可知，C的任

10、一“J一列向量”均可由C的某一“J一列向量”交換i、j兩個分量的位置后得到，從而由C與B匹配知C與B'也是匹配的。引理2:任一m"行最簡形矩陣與其nn單位填充矩陣C是匹配證明：1設100bu+bi,”010b2,r+b2,H2bm、b2nbrn00nnB=00I1br,r書br,r42100-00000000則以為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組為=0,X2b2,riXr1b2,.2%2b2nXn=0,Xi-匕,1'ibi,rNr2DnXnXr0,兇1,2%2bmnXn=0A00b1,r+b1,修010b2,r書壇r出而B的單位填充矩陣為C=001br,r+br,r也000-

11、10其所有J一列向量為r1=(b,r1,br,r1,-1,0,0)r2=仇2,br,r2,0,-1,0)n=(b1,n,br,n,0,0,-1)顯然它們都是方程組(4)的解，即B與C是匹配的.2,一般形式的行最簡形矩陣B顯然總可以通過一系列的第二類初等列變換(變換兩列的位置)化為(3)的形式，從而B的單位填充矩陣C通過相應的初等行、列變換就變成矩陣(5),由于這種變換是可遞的據(jù)引理2及引理1(H)知B與C是匹配的定理3:設齊次線性方程組aiiXi-ai2X2一-ainXn=0,a2iXia22X2a2nXn=0,(6)amiXiam2X2-amnXn=0.的系數(shù)矩陣A經(jīng)一系列初等行變換化為行最

12、簡形矩陣B,則B的nxn單位填充矩陣C的所有“尸列向量成方程組(6)的一個基礎解系。證明：設以B為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組為(i),則(i)與(6)同解,據(jù)引理2知C的所有“J一列向量”都是方程組(i)的解，且是n-r個線性無關的解向量，(這里二秩舊尸秩(A),從而構成方程組(i)的一個基礎解系，也是方程組(6)的一個基礎解系.定理3:設非齊次線性方程組aiiXi-al2X2ainXn=bi,a21Ka22X2a2nXn=b2,amiXiam2X2amnXn也有解，其增廣矩陣A經(jīng)一系列初等行變換化為行最簡形矩陣B,則B的nqn+i)單位填充矩陣C的所有“尸歹晌量”構成方程組的導出組的一個基礎解

13、系，而C的最后一個列向量為方程組(7)的一個特解。證明：由定理3,前一結論顯然，下證C的最后一個列向量為方程組(7)的一個特解。作齊次線性方程組ai1x1-a12x2-anXn.blxn1=0a21x1a22X2a2nXnb2Xn1=0am1x1'am2x2'amnxnbmxn1=0則方程組（8）的系數(shù)矩陣即為方程組（7）的增廣矩陣A,于是B的（n+1）x（n+1）單位填充矩陣為由定理3知C的最后一個列向量是方程組（8）的一個解，從而易知C的最后一個列向量即為方程組（7）的一個特解.例2:求線性方程組Xi-X23%-X4-X5=-3(9)3x12x24x3-5x4-x5-42x

14、14x32x4-3x5-4x12x3x4-3x5-2的一般解。解:方程組（9）的增廣矩陣為1321-12003442-1521-1-1-3-1-344-2>用初等行變換將變?yōu)樾凶詈喰尉仃嚒?00901002-100001002-10-2100寫出B的5M彈位填充矩陣:200-2-1021B=0000©0-100001-1000-10于是，方程組的導出組的基礎解系為1=(2,-1,-1,0,0)2=(020,-1,-1)而方程的一個特解為3=(-2,1,0,0,0)從而方程組(9)的一般解為“=。1+k2%+”3其中k1,k2為任意常數(shù).第四章線性方程組通解的一種簡便求法1齊次線

15、性方程組基礎解系的一種簡便求法設有齊次線性方程組4的S12X2an4=0,a21X822X2a2nXn-0,a”-am2X2,-amnXn=0.矩陣形式為XAT=0,其中X=(x1,x2xn),a11a12alna21a22a2na=i、am1am2amn/求方程組XAT=0的一個基礎解系的方法如下Am怎行初等變換0(nt/m)1PIJ其中r=r(A),r(D.加)=r,即D.為一個行滿秩矩陣，En為n階單位矩陣，P為n階可逆矩陣。則矩陣P的后(n-r)行即為方程組(1)的一個基礎解系。下面證明此結論證明:對于nxm矩陣at,必存在n階和m階可逆矩陣P,Q,使丁Er0丁20D一一一PATQ=1

16、c，所以PAT=JccQ=Jr*I,因為P為可逆矩陣,P01J001p（n）刈P的行向量組線性無關，所以P的后（n-r）行行向量線性無關，而矩陣P，一.、，d）的后（n-r）行為（0,En）P,因為（0,En）PAT=（0,En,）9=0,l0（n_r）m,所以X=（0,En）P為方程組xat=0一個解，即P的后（n-r）行為方程組（1）的一個基礎解系。因為PAT：En=PAP=r10（n）m/p，則PJ就是對矩陣AP施行初等行變換，將其轉變?yōu)閒D0（n_c）：xm$的后（n-r）行即為方程組（1）的一個基礎解系例3求齊次線性方程組x1x2x34x4-3x5=0x1x23x32x4x5=02x

17、1x23x35x4-5%=03x1x25x36x4-7x5=01123-1A10-2t020-6Q2的一個基礎解系。110135005600-5-7002310-1-2-1112-10-36401230彳123：100000_2_29a-:-11000T0000-:-1301000000：0m001000009:21001因為r(A)=2，所以P的后3行，即匕=(-2,1,1,0,0),%=(-1,-3,0,1,0),3=(2,1,0,0,1)為方程組的一個基礎解系。2非齊次線性方程組通解的一種簡便求法設有非齊次線性方程組3Mxi812X2arnXn=b,821X1822X2a2nXn=3,am1、am2X2-amnXn=bm.其矩陣方程為XAT=bT,其中b=b2<bmJ求方程組XAT=bT的通解的方法如下JAT)：1行初等變換D湎)：出0:1丁.巳七_一-lb)_|除0(n+T)J-1JJ其中pn為n階可逆矩陣，r=r(A)T,則(1)矩陣Pn的后(n-r)行即為方程組XAT=0的一個基礎解系；(2)X=刀3為方程組XAT=bT一個特解。結論(1)的正確性在前面已經(jīng)得到證明，下面證明結論(2)。當r(AT)=rATbT時，方程組有解，對此情況進行證明。則矩陣Pn的后(n-r)行即為方程組XAT=0的一個基礎解系，X=刀3為方程組XAT=b