約束問題與臨界值

1、約束問題與臨界值現(xiàn)行高中物理教材的各種版本中，都未曾提及約束問題。然而，有關(guān)約束問 題的習(xí)題卻不少，就是在高考中也常出現(xiàn)這類題型。 至于中學(xué)物理競(jìng)賽試題中更 是屢見不鮮，并常以拔高題出現(xiàn)。下面擬就中學(xué)物理中有關(guān)約束問題，作一淺析。1有關(guān)約束問題的基本概念如果某一物體被限制在某一曲面或曲線上運(yùn)動(dòng)，我們就說該物體的運(yùn)動(dòng)受到約束。那么該曲線或曲面就稱為約束。例如：圖1中單擺小球被限制在圓弧上運(yùn)動(dòng)；圖2中物體m沿（光滑或粗糙的）斜面下滑，物體 m被限制在斜面上運(yùn)動(dòng);圖3中導(dǎo)體ab被限制在導(dǎo)電滑軌MN上運(yùn)動(dòng)等等，都屬于約束問題。圖1中的擺線，圖2中的斜面，圖3中的滑軌等都叫約束。由此可以看出，約束既是實(shí)

2、在的物體，又是某些物體對(duì)別的物體運(yùn)動(dòng)限制作用的抽象。約束的分類隨依據(jù)不同而異X XX XX XmX XTx x ilx xX X垓XX XX x圖4按約束隨時(shí)間改變與否，可分為穩(wěn)定約束與不穩(wěn)定約束。例如:圖2中，如果斜面體是固定的，則稱為穩(wěn)定約束，如果斜面體是放在光滑的水平面上，當(dāng)m下滑時(shí)，斜面體本身也作加速運(yùn)動(dòng)，則稱為不穩(wěn)定約束。按其 約束的方向來分，可分為單向約束和多向約束。如圖1中，小球每時(shí)刻都只在沿繩伸長(zhǎng)的方向受限制，貝U稱為單向約束；圖4中，帶電小圓環(huán)沿絕緣桿在電磁場(chǎng)中下滑時(shí)， 除沿桿的方向以外，其他 方向都受到限制，稱為多向約束。從約束的光滑情況來分，又可分為光滑約束和 有摩擦約束

3、。力學(xué)中把約束對(duì)物體的作用力，稱為約束反力。例如：圖1中繩子對(duì)小球的拉力；圖2中斜面對(duì)物體的支持力等等都叫做約束反力。由上述定義可以看出，約束反力是因其起源和作用而得名，在含意上有其狹 義的規(guī)定性，就性質(zhì)而言都屬于彈力，且都是約束對(duì)研究物體的作用力。2約束反力的求解約束反力的大小及其變化情況，往往不能預(yù)先知道，也不是都能由平衡條件計(jì)算出來的，而需要根據(jù)物體的運(yùn)動(dòng)被限制在約束上這一條件，運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律列方程求解。【例1】一質(zhì)量為m的小球，與長(zhǎng)為I的細(xì)繩組成一單擺?，F(xiàn)將此單擺拉到與豎直線成 a角的位置，由靜止釋放，在擺動(dòng)途中，擺繩被一釘子A所阻，釘子與擺的懸掛點(diǎn)0相距r，兩 者連線與豎直線成B角

4、。如圖5所示。試求:擺繩為釘子所阻后，繩子張力的表達(dá)式小球在繼續(xù)上升的過程中，若擺繩發(fā)生彎曲，在此情況下，L、r、鳥a之間的關(guān)系【解析】小球從開始擺動(dòng)到擺繩發(fā)生彎曲之間，都屬于單向約束問題。小球擺到圖示位置B時(shí)，是以釘子A為圓心的，以L r為半徑的圓周運(yùn)動(dòng)。設(shè)繩子對(duì)小球1 22mvB的約束反力為T, AB線與豎直夾角為B,由機(jī)械能守恒定律得:-mgL cos 二由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得此時(shí)法向方向方程:十2T -mg cos ： = m L rCOST-2 rcos ： -Leos :-37而B只有在2 ":：:二時(shí)，繩子才有可能彎曲，故而1 < cos(K 0，即:-2 rcos ：

5、 - Lcos :3 L-r:0式聯(lián)立解得：八2mg.冉tT 二 3mg cosr cos - - L cos:L -r若繩子發(fā)生彎曲，則T=0,意味著約束解除，由此條件求得:由此得出的L，r，a 0應(yīng)滿足的條件為：3(L r)< 2(rcos Lcos a< 03即：一 L 一 r i，i r cos ： - L cos 兀 i: 023雙向約束問題中約束反力的轉(zhuǎn)換如果約束從兩側(cè)限制物體的運(yùn)動(dòng)，則約束反力的方向是可能發(fā)生改變的， 這 一點(diǎn)可以通過下面的例子看出圖5【例2】用細(xì)線把質(zhì)量為M的大圓環(huán)掛起來，環(huán)上套有兩個(gè)質(zhì)量均為m的小環(huán)，它們可以在大環(huán)上無摩擦地滑動(dòng)。若兩小環(huán)3同時(shí)從大

6、環(huán)頂部由靜止開始向兩邊滑下，如圖 6所示。試證明：如果m 3M ,2則大環(huán)會(huì)升起來。并求大環(huán)開始上升時(shí)小環(huán)位置 B為多少？【解析】此題中小環(huán)受到雙向約束。設(shè)細(xì)線張力為 T,小環(huán)與大環(huán)間相互作用力為 N（即約束反力），小球滑到位置 0角時(shí)的速度為V。貝2對(duì)小環(huán)：mgcosv-N =mR1 2m g R L cp sm-v由式可解得約束反力：N=mg（3cos 0 2）2當(dāng)cos 時(shí)，N=0，此時(shí)約束瞬間解除。32若0角再增大，COST；：'時(shí)，NV0，說明約束力又復(fù)出現(xiàn)而且改變方向。3小環(huán)對(duì)大環(huán)的反作用力將可以提供向上的分力，從而可能使大環(huán)升起。對(duì)大環(huán)：T=Mg + 2Ncos 0當(dāng)大環(huán)

7、升起時(shí)，繩子張力T=0，（繩對(duì)大環(huán)的約束解除）°T=Mg+2Ncos 0 =Mg_2mg（3cos 2）cos =026mcos 0 4mcos0+M=0cosh _4m±Jl6m2 -24Mm 1 亠1 / 3Mcos _12一 3 _3、_ 2m3由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，只有當(dāng)m 時(shí)，上式為實(shí)數(shù)，cos有解，此時(shí)小環(huán)的位置用0角表示為：日=arccos丄土丄訥-3（3 3耳 2m y4有摩擦力的約束中的區(qū)間問題約束反力在約束（曲線或曲面）的垂直方向（法向），如果有摩擦存在，它卻在約束的切線方向。因此在研究有摩擦的約束問題時(shí)，先要根據(jù)物體有幾個(gè)可能的運(yùn)動(dòng)方向，確定相應(yīng)的摩擦力的方

8、向。最常見的情況是存在兩種可能的運(yùn)動(dòng) 方向，故而摩擦力的方向也就有兩種可能取向。 因此，在運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律列方 程時(shí)，也將會(huì)出現(xiàn)兩組，這就導(dǎo)致某些相關(guān)量參數(shù)有一變化區(qū)間?！纠?】有一頂角為60°勺錐形容器，在距頂點(diǎn)O為L(zhǎng)=1.0m處有一質(zhì)量 m=1.0kg的小物體，讓物體 m與容器一起繞通過O 點(diǎn)的豎直軸線作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)（見圖7）。若®i=5rad/s,則摩擦因數(shù)p至少應(yīng)為多大才能實(shí)現(xiàn)這一情況?若32=8rad/s時(shí)，范為多大才能實(shí)現(xiàn)這一情況？【解析】先假設(shè)物體有向下滑動(dòng)的趨勢(shì)，貝U摩擦力將沿斜面向上，物體受力如圖8所示，沿圓周的切向和法向建立直角坐標(biāo)系，則牛頓運(yùn)動(dòng)定律方程為：

9、Ncpsf s i2 nm LsinN si nf cosmg解得：N = mgsin 0 +m(2Lsin 0 co= 1(5.8 (N)2 2f=mgcos 0- m® Lsin 0=2.41 (N)f> 0,說明方向上與假設(shè)相符。=0.161N2 2 2由 f=mgcos m® m® Lsin 0可知：geos-L sin2 v:5.89 rad / s當(dāng)f=0時(shí)，®有一個(gè)臨界角速度® 0存在。由此得：mgcos0 =m®Lsi n2 0即當(dāng)®V ®o時(shí)，有下滑的趨勢(shì)，摩擦力向上；當(dāng) ®>

10、; ®o時(shí)，有上滑趨勢(shì), 摩擦力向下。®2=8rad/s>®o，故f向下，受力如圖9所示。牛頓運(yùn)動(dòng)定律方程:2 .圖gNcos 0 +fsi n 0 ms in 0Nsin 0 =mg+fcos 02 22N 二 m，L sknctd s m g 4Bi2i 7. N解得：f =mL L sin v-gcosv -7.34 N = 0.22N本題中，如果 足恒定的，則要使m在確定的高度與錐形容器一起作圓周運(yùn) 動(dòng)，則角速度3必有一個(gè)變化范圍，即當(dāng) 3<30時(shí)，有下滑趨勢(shì)，f向上，相應(yīng)建立牛頓運(yùn)動(dòng)方程求出3的最小值omax；當(dāng)3>30時(shí)，有上滑趨勢(shì)，

11、f向下，相應(yīng)建立牛頓運(yùn)動(dòng)方程，求出3的最大值3max，則3的變化范圍是：3minV 3< 3max。5單向約束解除的可能性（臨界值問題）如果約束對(duì)物體的限制是單側(cè)的，即它只限制物體不得從某一側(cè)脫離約束，但卻允許物體從另一側(cè)脫離，在這類約束中，約束反力也是單側(cè)的。對(duì)于這種單 側(cè)約束，應(yīng)當(dāng)注意約束解除的可能性。如在例1中，0在0°90°勺范圍內(nèi)是不會(huì) 解除約束的，當(dāng)其a角足夠大，小球擺動(dòng)，使0>90°才可能向內(nèi)作拋體運(yùn)動(dòng)， 即約束解除有可能。如 0=180°而小球仍沒有離開圓周，則以后再也不可能離 開圓周了。所以約束解除的范圍只能在 90

12、6;< 0V 180°如果a角大到可以使小球 能以A為圓心，Lr為半徑作圓周運(yùn)動(dòng)，則小球的單向約束將不能被解除。約束解除問題也稱臨界值問題。在具體問題中，何時(shí)解除約束，往往不能預(yù) 先知道。為了找出約束解除的時(shí)刻（或位置）即臨界值狀態(tài)，常用的方法是：先 假定物體不脫離約束、將假設(shè)的約束反力代入牛頓運(yùn)動(dòng)方程中求解，解出約束反力的表達(dá)式后，令其約束反力等于零（這就意味著約束解除），由此可求出相應(yīng) 的時(shí)刻（或位置）?！纠?】（83年高考題）一個(gè)光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎 直方向，母線與軸線之間的夾角為 30° （圖示10），一條長(zhǎng)度為L(zhǎng)的繩（質(zhì)量不 計(jì)）一端固定

13、在圓錐體的頂點(diǎn) A處，另一端系著一質(zhì)量為 m的小物體（小物體 可看作質(zhì)點(diǎn)），物體以速度v繞著圓錐體的軸線作水平勻速圓周運(yùn)動(dòng)（物體和繩在附圖中都沒畫出）。求定律的方程得:2T sin 30° - N cos300 二 mVoL sin 30°Nsin30°+Tcos30°=mg解得：20mv1N = mg sin 300mg 3L sin 306T = mg cos3001 mg 二 2 3 1 1 mg6 6N為正值說明N的方向與假設(shè)相符合。當(dāng)N=0時(shí)，斜面對(duì)物體的約束解除物體處于臨界狀態(tài)，設(shè)此時(shí)速度為V0,2那么：Tsin300V0 0 Lsi n30

14、Tcos30°mg解得:v0=峠= iLgvo =：Lg由于；Lg，實(shí)際此時(shí)物體已脫離錐面做圓錐擺運(yùn)動(dòng)。設(shè)繩與豎直夾角為a,受力如圖12所示，那么:2mv2T' sin 上L sina.117 T.1r mgcos30 2, 3T' cos ： = mg解得：T'= 2mga= 45 °本題中，無論v為何值，繩子的約束是不能解除的F面兩例也是臨界冋題【例5】光滑的斜面上用繩拴一質(zhì)量為 m的小球，如圖13所示。當(dāng)斜面水1 3一平向左作印=-g和a2 =-g的加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，求繩上張力分別是多大?2 2E14【解析】當(dāng)加速度較小時(shí)，小球是壓在斜面上的，小球受

15、重力 G、支持力N和張力T 三個(gè)力的作用，受力如圖14所示。當(dāng)加速度很大時(shí)，小球?qū)h離斜面，此時(shí)小 球只受重力G和張力T'的作用，受力如圖15所示。為準(zhǔn)確判斷是屬于哪一種情 況，必須以小球壓在斜面上還是飄離斜面為界， 求出其制約參量加速度的臨界值 ao。當(dāng)avao時(shí)，小球壓在斜面上，且有支持力存在。當(dāng) a>ao時(shí)，小球飄離斜面，當(dāng)然也就沒有支持力存在了。因此解這類問題時(shí)，可以先求出臨界加速度小球?qū)⒁h離斜面時(shí)，N=0,但繩子與斜面仍然平行。受力如圖15所示,其運(yùn)動(dòng)方程為:Tcos45°maoTsi n45°mg聯(lián)立式解出ao=g1 一因aig : a°

16、;，所以小球是壓在斜面上的，此時(shí)小球受力如圖14所示。其2運(yùn)動(dòng)方程為：oo1T cos45 - N sin45mg 2Tsin45°Ncos45°mg 聯(lián)立解得T =亠2 mg4因a-g a0，所以小球已漂離斜面，小球受力如圖15所示。此時(shí)繩與斜2面已不再平行，設(shè)這時(shí)繩與水平方向的夾角為a,其運(yùn)動(dòng)方程為:T' cos mg聯(lián)立式解得T'Wmg，:二 arctgT' sin a =mg【例6】一支圓柱形的玻璃管，質(zhì)量為20g,密度為2g/cm3, 高12cm，容積為20cm3。它的一端封閉，一端開口?，F(xiàn)將其開口 端豎直向下壓入水中，在下壓過程中管內(nèi)的空

17、氣不跑出，且溫度保 持不變。求：當(dāng)將管口壓入水中 Hi=4m和H2=14m深處時(shí)，放手后管將如何運(yùn) 動(dòng)？【解析】設(shè)管口壓入某一深度Ho時(shí)，放手后管處于平衡狀態(tài)。這時(shí)管內(nèi)空氣的體積為V2,管內(nèi)液面與管口的距離為h2，與水面的距離為hl，如圖16所示。設(shè)玻璃 管的體積為V3,以系統(tǒng)為對(duì)象，由平衡條件（忽略管內(nèi)空氣的重力）：mg= (V3+V2) p水 gma玻3=10 cm代入式解得：V2=10g/cm3再以管內(nèi)封閉的空氣為研究對(duì)象，取壓入水中前為狀態(tài) 1，玻璃管平衡時(shí)為5=2R =2 10 Pa狀態(tài)2,由玻意耳定律有:P1V1=P2V25，P2=P1+P水P水=P2 P1=1 X10 (Pa)-

18、'P水=卩水gh1 h1=10(m)V -V2 V2h2-2 = 0.06 mj H0 =0 01006 mS S這是一種不穩(wěn)定平衡。當(dāng)壓入的深度H1=4mvH0時(shí)，浮力大于重力，玻璃管將會(huì)變加速上浮;當(dāng)H2=14m>H0時(shí)，浮力小于重力，玻璃管將變加速下沉。H0是以玻璃管上浮或下沉為界時(shí)制約參量水的深度的臨界值。D1T【例7】如圖仃所示，一質(zhì)量為m的小球，帶正電荷Q，固定 在絕緣細(xì)繩oA的B點(diǎn)，oB = r，A端套在以o為圓心，R為半徑的 光滑圓環(huán)上。整個(gè)系統(tǒng)同處在光滑絕緣的水平面上， 且平面所在的區(qū) 域具有強(qiáng)度為B方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。當(dāng) A、B繞o以勻角速3在水平面上 順

19、時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，試討論 AB和oB兩段繩的張力大小和方向?！窘馕觥吭O(shè)當(dāng)3=0時(shí)，兩段繩剛好伸直且張力都為零，而且繩子只能有張力不可能有壓力。小球在作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，可能受到任一段繩子的張力，令這個(gè)張力為T,規(guī)定沿半徑指向圓心的為正。小球受到的洛侖茲力 Fb= BQv = BQ cor，它的方向總 是沿半徑指向圓心的。T與Fb的合力就是小球作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。其運(yùn)動(dòng)方 程為：2 2T+FB=nmo rT=mto r BQor3Q當(dāng) m r = BQ 0，即0時(shí)，T = 0m當(dāng)3>W0時(shí)，小球受到OB繩指向0的張力，AB段不受力；當(dāng)3<30時(shí)， 小球受到AB繩沿半徑向外的張力，oB段不受力?？?/p>

20、見，以兩段繩子哪段受力 為界，30是制約參量的臨界角速度。6臨界值問題不僅在力學(xué)臨界值問題在電學(xué)、熱學(xué)、光學(xué)及綜合物理題中是屢見不鮮的， 只要抓住出 現(xiàn)兩種不同物理現(xiàn)象或狀態(tài)的界，找準(zhǔn)制約參量的臨界值，這類問題就可迎刃而 解，【例8】物體在透鏡前垂直于透鏡主軸放置，通過透鏡成放大三倍的像。然 后將物體向著透鏡平行移近2cm，又得到放大二倍的像。求透鏡的焦距?！窘馕觥坑赏ㄟ^透鏡成放大的像，可推知此透鏡一定是凸透鏡。物體通過凸透鏡既可 在異側(cè)成放大的實(shí)像，又可在同側(cè)成放大的虛像。是放大實(shí)像還是放大虛像，是 由物距的大小決定的，物距等于焦距是成實(shí)像或虛像的臨界。所以此題有兩解。第一種情況：物體從大于

21、焦距處移到小于焦距處， 即先成放大實(shí)像，后成放 大虛像。設(shè)透鏡焦距為f,先后的物距和像距分別為U1、U2、VI、V2,由透鏡成像35即：4 f ufV|u143V2u23 口2即：4 f u2彳2V2 u243公式得:(V1=3ui , I V2 I =2u2)由題意 ui U2=2 (cm)得 fi=2.4 (cm)。第二種情況：兩次物體都在焦點(diǎn)以內(nèi)，先后都成放大虛像。同理可得:f2 = Ju1即卩：u1f2V Ui 23f2 = "u? =2u2即卩：u2 =丄 f2v2 +u22由題意 ui u2=2( cm)得 f2=12( cm)?！靖櫽?xùn)練】1. 如圖18所示，將質(zhì)量為ikg的小球掛在傾角為30°勺光滑斜面體上。求:1當(dāng)斜面以“尹的加速度沿水平方向向右作勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩對(duì)球的拉 力和球