導數問題的六大應用

1、導數問題的六大熱點導數部分內容，由于其應用的廣泛性，為解決函數問題提供了一般性的方法及簡捷地解決一些實際問題.因此在高考新課程卷中占有較為重要的地位，其考查重點是導數判斷或論證單調性、函數的極值和最值，利用導數解決實際問題等方面，常以一小一大或二小一大的試題出現(xiàn)，分值1217分.下面例析導數的六大熱點問題，供參考.一、運算問題是指運用導數的定義、常見函數的導數、函數和差積商的導數，及復合函數、隱函數的導數法則，直接求出其導數的運算問題.例1已知a>0,n為正整數.設y=(x-a)n,證明y'=n(x-a)n.n證明：因為(x-a)n=£C；(a)n'xk,k.0

2、nnnJkk1_ck,kjn加以y=Ek(-a)x=工nCn_i(a)x=n(xa)k_0k_0例2已知y=(x+I)；用定義法求y'.，、-232,求y=2x3x+4+=的導數.xx已知函數f(x)=Vax1，、12-T/一f(x)=-(ax-1)2?2ax,即f(1)=a(a-1)2=2,解得a=2.二、切線問題是指運用導數的幾何意義或物理意義，解決瞬時速度，加速度，光滑曲線切線的斜率等三類問題.特別是求切線的斜率、傾斜角及切線方程問題，其中:-1,且f'(1)=2,求a的值.分析：對于運用導數的定義，即y'=即,即可解決；對于可應用(u±v)'=

3、v+u以及(x")'=axa，解之；對于是逆向型的復合函數導數運算問題，用y'x=y；,u1及方程思想即可解決.解析：y'=limy=lim/0/-x-x-：0(x八八x1)2-(x1)2=1m(2x+2+Ax)=2x+2.34由法則，即得y'=4x-3+-.xx曲線y=f(x)在點P(xcf(X0)處的斜率k,傾斜角為0,則tan日=k=f'(x0).其切線1的方程為：y=y0+f*(x0)(x-xo).若曲線y=f(x)在點P(xo,f(Xo)的切線平彳r于y軸(即導數不存在)時，由切線定義知，切線方程為x=xo.1.ax例3已知a>

4、0,函數f(x)=2:二x1:二一a記曲線y=f(x)在點M(xf(x1)處的切線為1.求l的方程;設l與x軸交點為(x2,0)證明:解：求f(x)的導數：f'(x)的方程:1-ax1y_()=-xii(x-xi).x證明：依題意，切線方程中令y=0,2x2=x1(1-ax1)+x1=x1(2-ax1),其中0<x1<一.a=x1(2ax1)，有x2>0,及x2-a(x1小,2由0cxic,x2a二0%21，一，<，當且僅當axi1時,ai(一時，ax1<1,a因此,x2=x1(2-ax1)xi5且由,x2所以xi>0,f(x)=ax2+bx+c,曲

5、線y=f(x)在P(x0,f(x0)處切線的傾斜角的取值范圍是0,則P到曲線y=f(x)對稱軸距離的取值范圍是41(A) 0,a1(B) 0,2ab(C) 0,|2ab-1(D) 0,|2a解：f'(x)=2ax+b,故點P(x0,f(x0)處切線斜率k=2ax)+b=tanHC0,1,于點P到對稱軸x=-b-的距離d=|x0(-b-)|=2a2a2ax0b2a1，e0,故選(B).2a三、單調性問題一般地，設函數y=f(x)在某個區(qū)間內可導.如果f'(x)>0,則f(x)為增函數；如果f'(x)<0,則f(x)為減函數.單調性是導數應用的重點內容，主要有四

6、類問題：運用導數判斷單調區(qū)間；證明單調性；已知單調性求參數；先證明其單調性，再運用單調證明不等式等問題.x例5設a>0,f(x)=J+是R上的偶函數.aex(I)求a的值；(II)證明f(x)在(0,+8)上是增函數。(I)解：依題意，對一切xR有f(xf(-x1即xea1x1x1一+=-+aex,所以(a)(ex-)=0對一切xWR成立aexaexaex1.O由此信到a=0,即a=1a又因為a>0,所以a=1(n)證明：由f(x)=ex+e-x得f*(x)=ex-e=e(e2x-1)當x0,+81寸，有e">0,e2x-1>0此時f'(x)>0

7、,所以f(x)在(0,+8*增函數.評注：對于第(n)問是證明函數的單調性，雖然可利用函數單調性定義直接證明，但對f(x1)f(x2)的變形要求較高，技巧性強，且運算量大，是一種“巧法”；而利用導數法，簡捷明快，也成了“通法”.四、極值問題即運用導數解決極值問題.一般地，當函數f(x)在左處連續(xù)，判別f(%)為極大(小)值的方法是：如果在x0附近的左側f'(x)>0,右側f'(x)<0,那么f(x()是極大值.如果在x0附近的左側f'(x)<0,右側f'(x)>0,那么f(x0)是極小值.例6函數y=1+3x*3有()(A)極小值1,極大

8、值1(B)極小值2,極大值3(C)極小值2,極大值2(D)極小值1,極大值3分析：本題是求已知三次函數的極值問題，考慮運用導數先確定函數的單調性，再求其極值.2解：由y'=33x=0,得x=1或x=1.當xC(8,1)U(1,十0°)時，y'<0.當xC(1,1)時，y'>0.因此函數y=1+3x-x3在(8,1)上單調遞減，在(1,1)上單調遞增，在(1,十°°)上單調遞減，即x=1是極小值點，x=1是極大值點.所以極小值為1,極大值為3,故選(D).五、最值問題運用導數求最大(小)值的一般步驟如下：若f(x)在a,b上連續(xù)，

9、在(a,b)內可導，則求f(x),令f'(x)=0,求出在(a,b)內使導數為0的點及導數不存在的點.比較三類點：導數不存在的點，導數為0的點及區(qū)間端點的函數值，其中最大者便是f(x)在a,b上的最大值，最小者便是f(x)在a,b上的是小值.一一42例7求函數f(x)=x2x+5在2,2上的最大值與最小值.,.3解：f(x)=4x4x,令f(x)=0,解得Xi=-1,x2=0,x3=1,均在(一2,2)內.計算f(-1)=4,f(0)=5,f(1)=4,f(-2)=13,f(2)=13.通過比較，可見f(x)在2,2上的最大值為13,最小值為4.六、應用問題如果所制做容器的底面的一邊例8用總長14.8m的鋼條制成一個長方體容器的框架,比另一邊長0.5m,那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積分析：本小題主要考查應用所學導數的知識、思想和方法解決實際問題的能力，建立函數式、解方程、不等式、最大值等基礎知識.解：設容器底面短邊長為xrn,則另一邊長為(x+0.5)m,高為14.84x-4x0.53=3.2-2x.4由3.22x>0和x>0,得0cx<1.6,設容器的容積為ym3,則有y=x(x+0.5)(3.22x)(0<x<1.6)