東北大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)械振動(dòng)理論及應(yīng)用課程PPT第二章

1、 任何具有質(zhì)量和彈性的系統(tǒng)都能產(chǎn)生振動(dòng)，若不外加激勵(lì)的作用，振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng)，通常稱(chēng)為自由振動(dòng)。 保守系統(tǒng)在自由振動(dòng)過(guò)程中，由于總機(jī)械能守恒，動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)換而維持等幅振動(dòng)，稱(chēng)為無(wú)阻尼自由振動(dòng)。 實(shí)際系統(tǒng)不可避免存在阻尼因素，由于機(jī)械能的耗散，使自由振動(dòng)不能維持等幅而趨于衰減，稱(chēng)為阻尼自由振動(dòng)。第二章第二章 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 最簡(jiǎn)單的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)就是一個(gè)彈簧連接一個(gè)質(zhì)量的系統(tǒng)，如圖2.1-1所示的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)。 彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)有一個(gè)共同的特點(diǎn)：當(dāng)受擾動(dòng)離開(kāi)平衡位置后，在恢復(fù)力作用下系統(tǒng)趨于回到平衡位置，但是由慣性它們會(huì)超越平衡點(diǎn)。超越后，恢復(fù)力再次作

2、用使系統(tǒng)回到平衡位置。結(jié)果系統(tǒng)就來(lái)回振動(dòng)起來(lái)。2.1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng) 圖 2.1-1 (2.1-1)kxxm 設(shè)在某一瞬時(shí)t，物體的位移為x，則彈簧作用于物體的力為-kx，以 和 分別表示物體的速度與加速度。由牛頓定律，有x x 0kxxm 0 xmkx 根據(jù)常微分方程理論，式(2.1-3)的解具有下面的一般形式式中A1和A2是取決于初始條件 t=0, , 的積分常數(shù)。)0(0 xx )0(0 xx tAtAtxnnsincos)(21(2.1-4)這里 為系統(tǒng)的固有頻率。mkn令mkn(2.1-2)02xxn (2.1-3)這是二階常系數(shù)線性齊次常微分方程。 方程(2.1-1)改寫(xiě)為sin

3、 ,cos21AAAAcos ,sin21AAAA設(shè) 或 (2.1-5)(2.1-6)2221AAA121tanAA2221AAA211tanAA得 或 式中常數(shù)A和(=/2-)分別稱(chēng)為振幅和相角。方程(2.1-7)說(shuō)明該系統(tǒng)以固有頻率n作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。tAtAtxnnsincos)(21解為 )cos()(tAtxn )sin()(tAtxn(2.1-7)或 凡是系統(tǒng)響應(yīng)可以用時(shí)間的正弦函數(shù)(或余弦函數(shù))表示的振動(dòng)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)： 矢量A與垂直軸x的夾角為nt-，A在x軸上的投影就表示解x(t)=Acos(nt-) 。當(dāng)nt-角隨時(shí)間增大時(shí)，意味著矢量A以角速度n按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，其投影成諧波變化。

4、 圖 2.1-2 振動(dòng)重復(fù)一次所需要的時(shí)間間隔。振動(dòng)周期T： 在簡(jiǎn)諧振動(dòng)的情況下，每經(jīng)過(guò)一個(gè)周期，相位就增加2，因此n(t+T)+-(nt+)=2故有nT2(2.1-9) 實(shí)際上T代表發(fā)生一次完整運(yùn)動(dòng)所需要的時(shí)間，周期通常以秒(s)計(jì)。 在單位秒時(shí)間內(nèi)振動(dòng)重復(fù)的次數(shù)。振動(dòng)頻率f：mkTfn2121(2.1-10)頻率的單位為次/秒，稱(chēng)為赫茲(Hz)。tAtAtxnnsincos)(2101xA 設(shè)在初瞬時(shí)t=0，物體有初位移 與初速度 ，則代入式(2.1-4)及其一階導(dǎo)數(shù)，振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)初始條件 的響應(yīng)為0 xx 0 xx 00 , xxtAtAtxnnnncossin)(21nxA02txtxt

5、xnnnsincos)(00(2.1-10)2020nxxA 比較方程(2.1-4)和(2.1-10)，并利用方程(2.1-6)可以得到振幅A和相角的值。(2.1-11)001tanxxn或001tanxxn 現(xiàn)在來(lái)看由彈簧懸掛的物體(圖2.1-3)沿鉛直方向的振動(dòng)。 當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)為靜平衡時(shí)彈簧在重力mg的作用下將有靜伸長(zhǎng)kmgs(2.1-12) 在重力與彈簧力的作用下，物體的運(yùn)動(dòng)微分方程為)(xkmgxms (2.1-13)因?yàn)閙g=ks，上式仍可簡(jiǎn)化為kxxm 圖 2.1-3 從彈簧的靜變形可以方便的計(jì)算出振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率。sgmk(2.1-14)sngkmgs 例例2.1-1 均勻懸臂梁

6、長(zhǎng)為l，彎曲剛度為EJ，重量不計(jì)，自由端附有重為P=mg的物體，如圖2.1-4所示。試寫(xiě)出物體的振動(dòng)微分方程，并求出頻率。 解：解：由材料力學(xué)知，在物體重力作用下，梁的自由端將有靜撓度EJPls33則頻率為33mlEJgsn圖 2.1-4 這里，懸臂梁起著彈簧的作用，自由端產(chǎn)生單位靜變形所需要的力就是梁的彈簧系數(shù)33lEJPks 物體梁端的振動(dòng)微分方程為ylEJym33 033ymlEJy 即則頻率為3321mlEJfsin2mglml 例例2.1-2 可繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)的細(xì)長(zhǎng)桿，下端附有重錘(直桿的重量和錘的體積都可以不計(jì))，組成單擺，亦稱(chēng)數(shù)學(xué)擺。桿長(zhǎng)為l，錘重為P=mg，試求擺的運(yùn)動(dòng)微分方程及

7、周期。 假定角不大，可令sin，則上式簡(jiǎn)化為0lg 解：解：取偏角為坐標(biāo)。從平衡位置出發(fā)，以逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，錘的切向加速度為 ，故有運(yùn)動(dòng)微分方程為 l圖 2.1-5glTn22lgn2故則振動(dòng)周期為 例例2.1-3 可繞水平軸擺動(dòng)的物體，稱(chēng)為復(fù)擺(亦成為物理擺)。設(shè)物體的質(zhì)量為m，對(duì)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，重心G至軸O的距離為s，如圖2.1-6所示，求復(fù)擺微幅振動(dòng)的微分方程及振動(dòng)周期。 解：解：取偏角為坐標(biāo)，以逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎瑥?fù)擺繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程可列為 sinmgsI 假定角不大，可令sin，則上式簡(jiǎn)化為0Imgs 這就是振動(dòng)微分方程。圖 2.1-6故固有頻率為ImgsnmgsITn22則振動(dòng)

8、周期為 解：解：設(shè)為圓盤(pán)相對(duì)于靜平衡位置的角坐標(biāo)。微分方程為 例例2.1-4 鉛垂圓軸，上端固定，下端裝有水平圓盤(pán)，組成扭擺，如圖2.1-7所示。設(shè)有力矩圓盤(pán)及圓軸下端繞有轉(zhuǎn)過(guò)某一角度后突然釋放，則圓盤(pán)將在水平面內(nèi)進(jìn)行扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。已知圓軸的扭轉(zhuǎn)彈簧系數(shù)(使軸的下端產(chǎn)生單位所需的扭矩)為k(Nm/rad)，質(zhì)量不計(jì)，圓盤(pán)對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，求扭擺的振動(dòng)微分方程及周期與頻率。kI 圖 2.1-7kITn22Ikfn212 可見(jiàn)扭擺的自由振動(dòng)也是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其周期與頻率為故Ikn0Ik 或 對(duì)于能量無(wú)耗散的振動(dòng)系統(tǒng)，在自由振動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。常數(shù)UT(2.2-1)0)(ddUTt(2.2-2)ma

9、xmaxUT(2.2-3)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得 如果取平衡位置為勢(shì)能零點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律，有2.2 能量法能量法 例例2.2-1 有一個(gè)重量為W，半徑為r的實(shí)心圓柱體，在半徑為R的圓柱形面上無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)，如圖2.2-1所示。假設(shè)該滾動(dòng)的圓柱體進(jìn)行簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，試求它繞平衡位置作微小擺動(dòng)時(shí)的固有頻率n。 解：解：圓柱體在擺動(dòng)時(shí)有兩種運(yùn)動(dòng)：移動(dòng)和滾動(dòng)。設(shè)坐標(biāo)如圖2.2-1所示。rrRrRvc,)(擺動(dòng)時(shí)圓柱體中心C點(diǎn)的速度及圓柱體的角速度分別為圖 2.2-1系統(tǒng)的動(dòng)能T為2sin)(2)cos1)(2rRWrRWU 若選圓柱體中心C在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最低點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)，則系統(tǒng)的勢(shì)能為22222222243212

10、1212121rRgWrrRrgWrRgWImvTcc圓柱體的勢(shì)能為相對(duì)于最低位置O的重力勢(shì)能。2)(21rRWU0)()(23)(21)(43dd)(dd2222 rRWrRgWrRWrRgWtUTt0)(32rRg 由式(2.2-2)，有上式可以簡(jiǎn)化為 當(dāng)圓柱體作微擺動(dòng)時(shí)， ，因此系統(tǒng)的勢(shì)能為22sin)(32rRgn)sin(tAn222max)(43ArRgWTn故系統(tǒng)固有頻率為 系統(tǒng)的固有頻率也可以用Tmax=Umax來(lái)計(jì)算，設(shè)系統(tǒng)作自由振動(dòng)時(shí)的變化規(guī)律為則系統(tǒng)的最大動(dòng)能為 系統(tǒng)的最大勢(shì)能為2max)(21ArRWU則得固有頻率n同前。 解：解：在桿有微小偏角時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)及錘的位移

11、與速度可以近似的表示為a，l與 。故振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)能與勢(shì)能可以表示為l 例例2.2-2 細(xì)桿OA可繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖2.2-2所示，在靜平衡時(shí)成水平。桿端錘的質(zhì)量為m，桿與彈簧的質(zhì)量均可略去不計(jì)，求自由振動(dòng)的微分方程及周期。 2221,)(21akUlmT圖 2.2-20)(2121dd222akmlt02lamk 代入方程(2.2-2)有由此可得固有頻率為mklan周期為kmalT2，平衡時(shí) 。)mglaksssa21,（平衡位置為零勢(shì)能點(diǎn), ,212221mglkU 在前面的討論中，都忽略了彈簧的質(zhì)量。這樣的簡(jiǎn)化，已經(jīng)足夠滿足許多工程實(shí)際問(wèn)題的需要了。 在一些工程實(shí)際問(wèn)題中彈簧本身的質(zhì)量可

12、能占系統(tǒng)總質(zhì)量的一定比例，而不能被忽略。 如何考慮彈簧本身的質(zhì)量，以確定其對(duì)振動(dòng)頻率的影響，瑞利(Rayleigh)提出的一種近似方法。 如果忽略這部分彈簧的質(zhì)量，將會(huì)導(dǎo)致計(jì)算出來(lái)的固有頻率偏高。 2.3 瑞利法瑞利法 現(xiàn)以圖2.3-1所示的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)為例說(shuō)明瑞利法的應(yīng)用。 設(shè)為彈簧單位長(zhǎng)度的質(zhì)量，則彈簧微段du的動(dòng)能為ulxud212 設(shè)彈簧在振動(dòng)過(guò)程中變形是均勻的，即彈簧在聯(lián)結(jié)質(zhì)量塊的一端位移為x，彈簧(處于平衡位置時(shí))軸向長(zhǎng)度為l，則距固定端u處的位移為 。因此，當(dāng)質(zhì)量塊m在某一瞬時(shí)的速度為 時(shí)，彈簧在u處的微段du的相應(yīng)速為 。 x xluxlu圖 2.3-1整個(gè)彈簧的動(dòng)能為2 0

13、2321d21xlulxuTl(2.3-1) 整個(gè)系統(tǒng)的總動(dòng)能為質(zhì)量塊m的動(dòng)能和彈簧質(zhì)量的動(dòng)能之和。在質(zhì)量塊經(jīng)過(guò)靜平衡位置時(shí)，系統(tǒng)最大動(dòng)能為2max2max2maxmax32132121xlmxlxmT(2.3-2)系統(tǒng)的勢(shì)能將仍和忽略彈簧質(zhì)量時(shí)一樣為2maxmax21kxU(2.3-3)AxAxtAxnnmaxmax,),sin(由Tmax=Umax可得2max2max21321kxxlm(2.3-3)對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)代入得3lmkn(2.3-4)式中l(wèi)為彈簧的總質(zhì)量?？梢?jiàn)彈簧質(zhì)量對(duì)于頻率的影響相當(dāng)于在質(zhì)量m上在加上1/3彈簧質(zhì)量的等值質(zhì)量，這樣就可以把彈簧質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)的固有頻率的影響考慮進(jìn)去。

14、例例2.3-1 設(shè)一均質(zhì)等截面簡(jiǎn)支梁，如圖2.3-2所示，在中間有一集中質(zhì)量m，如把梁本身質(zhì)量考慮在內(nèi)，試計(jì)算此系統(tǒng)的固有頻率和梁的等效質(zhì)量。 解：解：假定梁在自由振動(dòng)時(shí)動(dòng)撓度曲線和簡(jiǎn)支梁中間有集中靜載荷mg作用下的靜撓度曲線一樣。圖 2.3-233232434348lxxlyxxlEJmgym式中ym為中點(diǎn)撓度。EJmglym483222 0 332351721d43212mlmylxlxxlyT根據(jù)材料力學(xué)有設(shè)為梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的質(zhì)量，整個(gè)梁的動(dòng)能為可見(jiàn)梁的等效質(zhì)量為lmeq3517)sin(tAynm因?yàn)槭呛?jiǎn)諧振動(dòng)，設(shè)33243)cos(lxxlyytAymnnm則222maxmax35172

15、1351721nAlmyplmT系統(tǒng)的最大總動(dòng)能為22maxmax2121kAkyU梁的最大彈性勢(shì)能仍為22221351721kAAlmn由Tmax=Umax，得得lmkn3517下面證明一個(gè)等截面懸臂梁(見(jiàn)圖2.3-3)在自由端的等效質(zhì)量為 。假定梁自由振動(dòng)時(shí)的振動(dòng)形式和懸臂梁在自由端加一集中靜載荷時(shí)的靜撓度曲線一樣。 l14033由材料力學(xué)知，在梁端靜載荷P的作用下，懸臂梁自由端的撓度為 ，截面x處的撓度為 。EJPl3333223lxlx圖 2.3-3假定在自由振動(dòng)中，梁各點(diǎn)的振幅仍近似的按比例，即設(shè) 033223)(ylxlxxy其中y0為梁自由端的振幅。設(shè)質(zhì)量m的自由振動(dòng)可表示為 ；

16、而梁的振動(dòng)可表示為 tynsin0txytxynsin)(),(全梁動(dòng)能的最大值為 202 0 2322302022max1403321d3221d)(21ylxxlxlyxxyTnlnln故整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)能的最大值為 202max1403321ylmTn而系統(tǒng)勢(shì)能的最大值為 20320max32121ylEJkyUlmlEJn14033332由 可得 maxmaxUT 彈簧剛度系數(shù)就是使彈簧產(chǎn)生單位變形所需要的力或力矩。xFk (2.4-1) 同一彈性元件，根據(jù)所要研究振動(dòng)方向不同，彈簧剛度系數(shù)亦不同。 以一端固定的等直圓桿為例加以說(shuō)明，如圖2.4-1所示。2.4 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)圖 2

17、.4-1EAFlxB 確定沿x方向的剛度時(shí)，在B處沿x方向加一垂直力F。B點(diǎn)在x方向的剛度系數(shù)為lEAxFkBx 根據(jù)材料力學(xué)知，B點(diǎn)在x方向的位移為圖 2.4-1EJPlyB33 確定沿y方向的剛度時(shí)，在B點(diǎn)沿y方向加一橫向力P。 桿作彎曲變形，根據(jù)材料力學(xué)知，B點(diǎn)沿y方向的位移B點(diǎn)沿y方向的剛度系數(shù)為33lEJyPkyB 桿件作轉(zhuǎn)扭，產(chǎn)生扭角，根據(jù)材料力學(xué)知，B點(diǎn)沿x軸的扭角為GJMlBlGJMkB 確定繞x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向的剛度，需要在B端繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)方向加一扭矩M。B點(diǎn)繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)方向的剛度系數(shù)為 對(duì)于螺旋彈簧，在承受軸向拉伸或壓縮、扭轉(zhuǎn)與彎曲變形時(shí)，剛度系數(shù)分別為 44431,8643212

18、GdEdEdkkknDnDnDEG式中E為彈性模量，G為剪切模量，d、D分別 為簧絲、簧圈直徑，n為彈簧有效圈數(shù)。 工程中用到的彈簧類(lèi)型很多，計(jì)算時(shí)需要其剛度系數(shù)，一般可以根據(jù)等效剛度系數(shù)的推證方法加以推導(dǎo)。 圖2.4-2(a)是兩個(gè)串聯(lián)彈簧，剛度系數(shù)分別為k1和k2。B點(diǎn)的位移及等效剛度系數(shù)為2121kkkkxFkB21kFkFxB 串、并聯(lián)彈簧的等效剛度的計(jì)算。串聯(lián)彈簧的作用使系統(tǒng)中的彈簧剛度降低。 如果有n個(gè)彈簧串聯(lián)，剛度系數(shù)分別為k1, k2, , kn，則等效剛度系數(shù)k應(yīng)滿足關(guān)系式niinkkkkk12111111(2.4-2)圖 2.4-2 圖2.4-2(b)是兩個(gè)并聯(lián)彈簧，剛度系數(shù)分別為k1和k2。兩個(gè)彈簧所受的力分別為k1xB、k2xB 并聯(lián)彈簧的系統(tǒng)剛度是原來(lái)的彈簧剛度的總和，比原來(lái)各彈簧的剛度都要大。 如果有n個(gè)彈簧并聯(lián)，其彈簧剛度系數(shù)分別為k1, k2, , kn， 則等效剛度系數(shù)為niinkkkkk121(2.4-3)21kkxFkBB點(diǎn)的等效剛度：BBxkxkF21根據(jù)靜力平衡條件得：圖 2.4-2 彈簧的并聯(lián)與串聯(lián)，不能