對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

1、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)建國中學(xué) ?林信安老師3-3-2 對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)設(shè) a0，且 a 1， b, r, s 均為正數(shù)(1)設(shè) a0，且 a 1，b0， a log a bb說明： loga 代表一個(gè)數(shù)，a的這個(gè)數(shù)次方就等於，換句話說，a的a 次方等於。寫bblog bb成式子： x= logabb=ax= alog a b(2) loga1=0，logaa=1證明：因?yàn)?a0=1，a1=a。r(3) logar+logas =logars ,logar logas= loga s同底的對(duì)數(shù)相加等於真數(shù)相乘，同底的對(duì)數(shù)相減等於真數(shù)相除證明：因?yàn)?alog a r =r, a log a

2、s =s，所以 rs= a log a ralog a s = alog a r log a sloga rs=logar+logasrlog a ralog a s= alog a r log a srs = aloga s =log ar logas(4) log am b nn log a b ，m,n 為實(shí)數(shù)，且 m0m(a)logart=t logar(t 為實(shí)數(shù) )證明： r= aloga rrt=( alog ar)t= at log a ra talog r =t log r(b) log at r1log a r(t 為實(shí)數(shù) )t證明： r= alog1 log a rlog

3、 a t r1log a ra rr= (a t ) tt從 (a) (b)可以得到 log am bnn log a b 。m1logb(5) loga b=c，其中 c0， c 1（換底公式）(a) 換底公式的用意只要 a 是異於 1 的正實(shí)數(shù)， a 都可以當(dāng)對(duì)數(shù)的底數(shù)，所以對(duì)數(shù)的底數(shù)有無限多個(gè)。當(dāng)我們求對(duì)數(shù)值需要去查對(duì)數(shù)表時(shí) ，是不是需要製作不同底數(shù)的對(duì)數(shù)表呢？接下來我們介紹換底公式，利用換底公式可以使對(duì)數(shù)值處理更容易。對(duì)數(shù)的底數(shù)中，以10 為底數(shù)較常使用。我們想問 log23 如何用 log 103 與 log 102 來表示？先觀察一個(gè)例子： log23= log 5log 5 2

4、5log5 3 = log 5 3log55= log 53 。log 5 2log 52(b) 證明換底公式證明： log a b= log clog c a c log c b = log c blogc c= log c b 。log c alog c a計(jì)算要訣：(1) 同底對(duì)數(shù)相加（減），真數(shù)相乘（除）(2) 對(duì)數(shù)相乘考慮換底公式。例題 1計(jì)算下列各式：(1) log 2 8(2) (5) log5 7(3)log 22 325228362(4)log 104 log105+2log 10125(5)log 4152log 414+3log 47log45Ans：(1) 6(2)7(

5、3)52(4)2(5)315例題 2請利用換底公式證明：(1)log ab=1(b0，b 1)log b a(2) log a blog b c log c d log a d （連鎖律）2例題 3試求下列各值：(1) log4 27log2 3(2) log 2 3 log 7 64 log 3 5 log 5 49(3) (log25+log40.2)(log52+log250.5)31Ans：(1) 2(2) 12 (3) 4例題 4設(shè) log23=a，log311=b，試以 a,b 表 log6644。2+abAns：1+a+ab練習(xí) 1試求下列各值：log 3(1) 2 log 2

6、3(2) 2 2 log 2(3) log 1443 2log 14463(4) log 2 ( 3535 )(5)log 4 27log 5 16log 2 3(6)log 25 811138Ans：(1)3(2) 3(3)12(4)2(5)2(6)3練習(xí) 2化簡下列各式：50327442(1)log10 9log1070+log 1035(2)log1073log10 8+3log10 343 (3)log 354+log36 2log32Ans：(1)2(2)0(3)4練習(xí) 3log 2 615 log 2 5 +4 log 5 4 =？。Ans：113練習(xí) 4設(shè) a=log102， b

7、=log10 3，試將下列各數(shù)值以 a,b 表示：(1)log624 (2)log2 3+log332 (3)log56 (4)log 0.75 100Ans：(1)3a+b(2) b+ a(3)a+b(4)2a+b2a3b2(1 a)b 2a練習(xí) 5設(shè) a log23， b log311，以 a，b 表出 (1) log212。(2) log6618。Ans：(1) 2a(2)12a 1 a ab例題 5求下列方程式之解：(1)22x 7 2x+12=0 (2)2 3x 10 22x+31 2x 30=0Ans：(1)x=2 或 log23(2)x=1 或 log23 或 log25例題 6解下列方程式：(1)log6x+log6(x2 7)=1(2)log 1 x( 2 log16x2 )3042xx(3)log10x 6 logx10=1(4)log10(10 +100)=2 +1+log 10231Ans：(1)x=3 (2)x=8(3)x=10或100(4)x=2練習(xí) 6試解下列方程式：xx(1)1+log4(x 1)=log2(x9) (2)log3(3 +6)=2+lo