非線性方程組的求解

1、非線性方程組的求解摘要：非線性方程組求解是數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)值分析課程的一個重要組成部分，作為一門學(xué)科，其研究對象是非線性方程組。求解非線性方程組主要有兩種方法：一種是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法，如牛頓法、梯度法、共腕方向法、混沌法、BFGSI、單純形法等。傳統(tǒng)數(shù)值方法的優(yōu)點是計算精度高，缺點是對初始迭代值具有敏感性，同時傳統(tǒng)數(shù)值方法還會遇到計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和矩陣求逆的問題，對于某些導(dǎo)數(shù)不存在或是導(dǎo)數(shù)難求的方程，傳統(tǒng)數(shù)值方法具有一定局限性。另一種方法是進化算法，如遺傳算法、粒子群算法、人工魚群算法、差分進化算法等。進化算法的優(yōu)點是對函數(shù)本身沒有要求，不需求導(dǎo)，計算速度快，但是精度不高。關(guān)鍵字：非線性方程組、牛頓

2、法、BFG法、記憶,$度法、Memetic算法1：三種牛頓法：Newton法、簡化Newton法、修改的Newton法"3求解非線性方程組的Newton法是一個最基本而且十分重要的方法，目前使用的很多有效的迭代法都是以Newton法為基礎(chǔ)，或由它派生而來。n個變量n個方程的非線性方程組，其一般形式如下：?i(,X2,.Xn)=0,f2(Xi,X2,.Xn)=0(1).fn(X,X2,.Xn戶0式(1)中，屋兌區(qū),.4)(i=1,?,n)是定義在n維Euclid空間Rr開域D上的實值函數(shù)。若用向量記號，令:xjX2X=,F(X)=1.IHn1-fl(Xi,X2,.Xn)=0-fi(X)

3、f2(Xi,X2,.Xn)=0=f2(X)"._fn(Xi,X2,.Xn)=01_fn(X)則方程組(1)也可表示為:F(X)=0其中：X三Rn,F:Fn-R0,F(X)CRn,Rn為賦值空間。一般地，若在包含的某鄰域D內(nèi)，按某種近似意義，用線性函數(shù)：ik(X)=AXbk近似地代替向量值函數(shù)F(X),此處A是n階矩陣，則可將線性方程組：ik(X)=ax+bk(4)的解作為非線性方程組(2)的近似解。1.1Newton法Newtorfe的迭代公式為：Xk書=Xk+AXkk=0,1,2,.(5)、F'(Xk)gXk)=-F(Xk)其中Xk=Xk1-Xk.簡化Newton法川盡管N

4、ewton法具有較高的收斂速度，但在每一步迭代中，要計算n個函數(shù)值f,以及n2個導(dǎo)數(shù)值f'形成Jacobi矩陣f'(Xk),而且要求f'(Xk)的逆陣或者解一個n階線性方程組，計算量很大。為了減少計算量，在上述Newton法中對一切k=0,1,2,.,取f'(Xk)為f'(X.),于是迭代公式修改為：(6)Xk1=Xkf'(Xk)尸f(Xk),k=0,1,2.式(5)即為簡化的Newton法。該方法能使計算量大為減少，但卻大大降低了收斂速度。簡化的Newton法的算法與Newton法的算法區(qū)別就在于只由給定的初始近似值計算一次f'(X),

5、以后在每一次迭代過程中不再計算f'(XJ，保持初始計算值。修正的Newton法吸取Newton法收斂快與簡化的Newton法工作量省的優(yōu)點，文獻【2】把m步簡化的Newton步合并成一次Newton步。則可以得到下列迭代程序:Xk,。=Xk'Xk,j=Xk,jf'(Xk)f(Xk,j)>(7)Xk書=Xk,m式中：j=1,2,?,m,k=0,1,2,?,該式稱為修正的Newton法。通過分析Newton法、簡化的Newton法和修正Newton法的原理，并通過對算例的分析比較，我們可知：Newton法(5)式具有較高的收斂速度，但計算量大，在每一步迭代中，要計算n

6、個函數(shù)值f,以及n2個導(dǎo)數(shù)值f形成Jacobi矩陣f'(Xk)，而且要求f'(Xk)的逆陣或者解一個n階線性方程組；簡化的Newton法(6)式，它用迭代初值X。來計算f'(Xk),并在每個迭代步中保持不變，它能使每步迭代過程的計算量大為減少，但大大降低了收斂速度。修正Newton(7)與Newtorfe(5)相比，在每步迭代過程中增加計算n個函數(shù)值，并不增加求逆次數(shù)，然而收斂速度提高了2:BFGS法【4-6】非線性方程組一般形式為：方程組(1)將其轉(zhuǎn)化為一個全局優(yōu)化問題。構(gòu)造n能量函數(shù)：(X)=£f；(X),X=(X1,X2,.X，求非線性方程組解的問題就轉(zhuǎn)

7、化為i=1求解能量函數(shù)極小值的問題。即給定一個充分小的實常數(shù)6,搜索x*=(x；,x2,.k)使得小(X*)<名則X*即是非線性方程組(D對應(yīng)的近似解。BFGS查分算法文獻【4】將傳統(tǒng)的BFGST法和查分算法有機融合，用來求解非線性方程組,效果顯著，可以較為廣泛地應(yīng)用于非線性方程組的求解。BFGST法是由Broyden、Fletcher、Goldfarb和Shanno等人在1970年提出的。它是一個擬牛頓方法，具有二次終止性、整體收斂性和超線性收斂性，且算法所產(chǎn)生的搜索方向是共腕的。BFGS?法是一個有效的局部算法，用來求解極小值的。例如方程組'fl(Xi,X2,.Xn)=A(8

8、)f2(X1,X2>.xn)=A2fn(Xi,X2,.Xn)=O可將它夠著適應(yīng)度函數(shù)nF(X)=fi(x)-A|(9)i1那么求非線性方程組(8)的根問題就轉(zhuǎn)化成了求適應(yīng)度函數(shù)F(X)最小值的優(yōu)化問題。這就是它最基本的思想。DEET法(差分進化算法)(文獻【5】)具有良好的全局搜索能力，并具有對初始值、參數(shù)選擇不敏感、魯棒性強、原理簡單、容易操作等優(yōu)點，是一種較好的全局優(yōu)化方法。但在優(yōu)化后期D方法的收斂速度明顯變慢，而且搜索結(jié)果僅獲得滿意解域而不是精確解。為了克服這些缺點，該文在D方法的進化后期階段引入BFGS?法，利用BFGS方法的整體收斂性和超收斂性來加快收斂速度。BFGS?法屬于局

9、部算法，其優(yōu)化結(jié)果的優(yōu)劣在很大程度上取決于初始值的選取，為此可以利用具有全局搜索能力的D方法提供給BFGST法良好的初始值。改進的BFGS變尺度法對于高維的大型問題(維數(shù)大于100),變尺度法由于收斂快、效果好，被認為是最好的優(yōu)化方法之一。其中BFGS法的數(shù)值穩(wěn)定性較好，是最成功的一種變尺度法。BFGSfc中有2個非常關(guān)鍵的環(huán)節(jié)：求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和一維探索。這2個環(huán)節(jié)的算法精度對最后結(jié)果的精度影響很大。改進的遺傳算法遺傳算法的優(yōu)越性主要表現(xiàn)在：算法具有固有的并行性，通過對種群的遺傳處理可處理大量的模式，并且容易并行實現(xiàn)。(a)選擇復(fù)制操作采用保優(yōu)操作與比例復(fù)制相結(jié)合，即最優(yōu)秀的個體被無條件保留下

10、來，其余的以正比于個體適配值的概率來選擇相應(yīng)的個體。(b)交叉操作采用保優(yōu)操作與算數(shù)交叉結(jié)合，即最優(yōu)秀的個體被無條件保留下來，其余的以交叉概率進行算數(shù)交叉。算數(shù)交叉的方式為：X1=：X1(1-：)X2,X2=：X2(1-：)X1(10)式中aw(0,1)；X1,X2為父代個體；X,X2為后代個體。(c)變異操作采用保優(yōu)操作與擾動變異結(jié)合，即最優(yōu)秀的個體被無條件保留下來，其余的以變異概率進行擾動變異。擾動變異的方式為X'=X十慎o式中U為滿足正態(tài)分布的隨機擾動；列為尺度參數(shù)；X為父代個體；X'為后代個體?；旌蟽?yōu)化改進的BFGS方法是一種非常有效而且收斂速度很快的局部搜索算法，而改

11、進的遺傳算法實現(xiàn)并行搜索，有非常強的全局搜索的能力。文獻【7】將2種方法混合起來，實現(xiàn)了并行與串行，全局與局部的融合，極大地提高了優(yōu)化性能、優(yōu)化效率和魯棒性.o尤其對于高維復(fù)雜函數(shù)效果非常好?；旌戏ǖ牟襟E為(1)給定算法參數(shù)，初始化種群。(2)評價當前種群中各個體。(3)判斷算法收斂準則是否滿足。若滿足則輸出搜索結(jié)果，否則轉(zhuǎn)(4)。(4)執(zhí)行改進的遺傳算法的選擇復(fù)制操作。(5)執(zhí)行改進的遺傳算法的交叉操作。(6)執(zhí)行改進的遺傳算法的變異操作。(7)以當前種群中各個個體作為改進的BFGSf法的初始解，分別用改進的BFGSf法進行搜索得到新的個體，將這些新的個體組成新的種群，轉(zhuǎn)(2)。3:記憶梯度

12、法8-10考慮非線性方程組F(x)=0,xwRn,(11)其中F:RntRn是非線性映射。定義F(x)=(F1(x),F2(x),.F(Xn)T,其雅可比矩陣J(X)。記憶梯度法(文獻【8-9】)是求解無約束優(yōu)化問題非常有效的方法，該方法在每步迭代時不需計算和存儲矩陣，結(jié)構(gòu)簡單，因而適于求解大型優(yōu)化問題。算法的基本思想是：首先將非線性方程組問題(12)轉(zhuǎn)化為一個無約束極小化問題minf(x),xRn,(12)i1.2其中f(x)=3F(x)Io這里|.|采用二范數(shù)，然后利用記憶梯度法求解問題(13)。因為f(x)>0。所以如果x*是無約束優(yōu)化問題(12)的最優(yōu)解，那么x*必是非線性方程組

13、(11)的近似最優(yōu)解。設(shè)f(X)的梯度為g(x),則g(x)=f(x)=J(x)F(x).求解無約束優(yōu)化問題的記憶梯度法應(yīng)用于求解非線性方程組，給出了一類新的求解非線性方程組的記憶梯度算法，并分析了算法的全局收斂性。該算法無需求雅克比矩陣的逆矩陣,所以具有更廣泛的應(yīng)用性。止匕外，算法在迭代過程中也無需每一步都計算F(X)的雅克比矩陣，大大減少了算法的計算量，節(jié)省了運算時間。與牛頓法相比，記憶梯度法更適于求解大規(guī)模非線性方程組。4：基于Memetic算法的非線性方程組求解算法111-121Memetic算法是建立在模擬文化進化基礎(chǔ)上的優(yōu)化算法，它實質(zhì)上是一種基于種群的全局搜索和基于個體的局部啟發(fā)

14、式搜索的結(jié)合體。Memetic算法流程和GA有很大的相似。其關(guān)鍵區(qū)別是Memeti峭法在交叉和變異后多了一個局部搜索優(yōu)化的過程。針對函數(shù)優(yōu)化問題，傳統(tǒng)的遺傳算法雖然能夠全局尋優(yōu)，但是它很容易早熟。對于傳統(tǒng)的局部搜索算法，它一個初始解開始，在其鄰域中搜尋比其更好的解，它可以快速求出較優(yōu)解，其不足主要是只有當?shù)踔翟谡鎸嵔飧浇鼤r，其較快的局部搜索性能才能得以發(fā)揮。Memetic算法充分吸收了遺傳算法和傳統(tǒng)局部搜索算法的優(yōu)點，采用遺傳算法的操作流程，但是在每次交叉和變異后進行局部搜索，通過優(yōu)化種群分布及早剔除不良種群，進而減少迭代次數(shù)，在Memetic算法的設(shè)計過程中各個參數(shù)的選擇策略對算法求解結(jié)

15、果具有重要的影響。仍然以方程組(1)為例，現(xiàn)在定義：f(x)=£fi2(X)(13),i1則求解方程組(1)等價于求解這樣一個極值優(yōu)化問題：若在方程組(1)的解空間內(nèi)找到一組X=XX2，.Xn,使得式(13)達到最小值則此時的X=X1,X2,.Xn就是方程組(1)的解?？偨Y(jié)文獻【11】的算法大致思路：先初始化種群，看其是否滿足停止準則，(1)適應(yīng)度評價與選擇是的話顯示結(jié)果，算法結(jié)束。否則的話，進行以下步驟:(2)染色體多點交叉。(3)擬牛頓局部搜索(4)染色體隨機變異。(5)擬牛頓局部搜索。返回看是否滿足停止準則，滿足顯示結(jié)果，不滿足繼續(xù)循環(huán)。Memetic算法充分發(fā)揮了Memeti

16、c®法大范圍搜索全局解的特點以及擬牛頓算子局部細致搜索的特點，對非單調(diào)多峰函數(shù)組成的非線性方程組，求到解的概率顯著高于擬牛頓法和GA實驗表明基于Memetic算法求解非線性方程組具有較高的收斂可靠性和較高的精度。綜上，非線性方程組求解是實際工程領(lǐng)域的一個重要問題，在數(shù)值天氣預(yù)報、石油地質(zhì)勘探、計算生物化學(xué)、控制領(lǐng)域和軌道設(shè)計等方面均有較強的應(yīng)用背景。從實際應(yīng)用角度出發(fā)，有必要探索高效可靠的算法去求解，可以解決我們生活中的很多問題。參考文獻1謝世坤,段芳，李強征，羅志揚，鄭慧.非線性方程組求解的三種Newtorfe比較J.井岡山學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)),2006,27(8):8-11.2余

17、芝云，陳爭，馬昌鳳.求解對稱非線性方程組基于信賴域的修正牛頓法J.福建師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2010,26(1):22-27.3LiDH,ChengWY.Recentprogressintheglobalconvergenceofquasi-NewtonmethodsfornonlinearequationsJ.HokkaidoMathJ,2007,36(2):729-743.4劉利斌，歐陽艾嘉，許衛(wèi)明，李肯立.求解非線性方程組的BFG嵯分進化算法J.2011,47(33):55-58.5周麗，姜長生.非線性方程組求解的一種新方法J.小型微型計算機系統(tǒng),2008,9:1709-1713.6張飛飛，馬群，黃家慶，佟曉君.求解非線性方程組的二分法J.科技創(chuàng)新導(dǎo)報，2009,08(0):146-149.7李濤，劉華偉，陳耀元.非線性方程組求解的新方法J.武漢理工大學(xué)學(xué)報(交通科學(xué)與工程版),2009,33(3):569-572.8李敏，蘇酉1,時貞.求解非線性方程組的記憶梯度算法J.工程數(shù)學(xué)學(xué)報，2009,26(3):563-566.9ShiZJ.Anewsuper-memorygradientmethodforunconstrainedoptimizationJ.A