幾何畫板在代數(shù)及解析幾何中的應(yīng)用案例

1、精選文檔幾何畫板在代數(shù)及解析幾何中的應(yīng)用案例幾何畫板是從國(guó)外引進(jìn)的教育軟件，目前已成為制作中學(xué)數(shù)學(xué)課件的主要?jiǎng)?chuàng)作平臺(tái)之一，由于其學(xué)習(xí)入門簡(jiǎn)潔并且操作簡(jiǎn)潔，而且有著強(qiáng)大的圖形、圖象和動(dòng)畫功能，能在“形”與“數(shù)”之間自由轉(zhuǎn)換，能便利地建立“可見形式”與“抽象形式”之間的關(guān)系，增大了數(shù)學(xué)被直接感知的可能，從而為改善數(shù)學(xué)的教學(xué)方式供應(yīng)了極大的便利，本文我將結(jié)合具體教學(xué)案例重點(diǎn)介紹幾何畫板在高中數(shù)學(xué)代數(shù)、解析幾何兩方面的應(yīng)用。一、幾何畫板在代數(shù)中的應(yīng)用。幾何畫板在代數(shù)中的應(yīng)用，主要通過必修一其次章基本初等函數(shù)來予以演示。(一)、對(duì)數(shù)函數(shù)教學(xué)實(shí)例本節(jié)課，新課標(biāo)要求我們先通過描點(diǎn)法探究 和 兩個(gè)函數(shù)，再探究

2、“對(duì)于選取不同的底數(shù)a，在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中作出相應(yīng)的函數(shù)圖像，觀看圖像，發(fā)覺它們的共同特征”。假如我們實(shí)行過去“一黑到底”的教學(xué)模式，估量一節(jié)課的時(shí)間就只能夠畫圖了，而且還不能清楚的呈現(xiàn)出對(duì)數(shù)函數(shù)的特征。或許老師干脆不探究，直接給出對(duì)數(shù)的相應(yīng)的性質(zhì)，但這樣就丟失了新課改的精神，使同學(xué)失去了學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和探究問題的力量。我們利用描點(diǎn)法畫出 和 的函數(shù)圖像（圖表1） （圖表 1）圖表2：轉(zhuǎn)變 中a的值，讓同學(xué)觀看當(dāng)a值轉(zhuǎn)變時(shí)，圖像的變化狀況，并提出相關(guān)問題，讓同學(xué)帶著問題思考。1、當(dāng)0<a<1時(shí)和當(dāng)a>1時(shí)函數(shù)的單調(diào)性相同嗎？2、不管a取何值，圖像是否經(jīng)過同一點(diǎn)？3、在a的值不

3、斷增大的過程中，函數(shù)圖像是如何變化的呢？帶著問題，同學(xué)觀看圖表2的演示，從圖像的變化痕跡中整體把握對(duì)數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。（圖表2）本節(jié)課，同學(xué)很簡(jiǎn)潔觀看到:1、當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)在（0，+）上單調(diào)遞減；當(dāng)a>1時(shí)，在（0，+）上單調(diào)遞增，并且發(fā)覺對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域是（0，+），值域是R。2、恒過（1，0）點(diǎn)。3、在第一象限內(nèi)，底數(shù)越大，圖像按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。通過圖形的動(dòng)態(tài)演示，一舉多得，使同學(xué)能夠?qū)?duì)數(shù)函數(shù)有個(gè)整體的了解，并且能夠?qū)W(xué)問形成深刻的印象，解決日常教學(xué)中的難點(diǎn)問題，比如第三問。（二）、互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于y=x對(duì)稱的教學(xué)實(shí)例新課標(biāo)要求同學(xué)們把握同底的對(duì)數(shù)函數(shù)

4、和指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，并了解互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于y=x對(duì)稱。本節(jié)課亦可以借助幾何畫板，化抽象為直觀，化靜止為運(yùn)動(dòng)。如圖表3，點(diǎn)p的運(yùn)動(dòng)，說明白兩個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于y=x對(duì)稱，而a的轉(zhuǎn)變，說明白只要指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)同底，那么它們的圖像就關(guān)于y=x對(duì)稱，進(jìn)一步說明白它們互為反函數(shù)。（圖表 2）（三）、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)對(duì)比教學(xué)實(shí)例學(xué)習(xí)貴在對(duì)比，只有把概念區(qū)分清楚，才能避開在做題時(shí)出錯(cuò)。例如，圖表4，可以讓同學(xué)觀看在第一象限，指數(shù)函數(shù) 、 對(duì)數(shù)函數(shù) 、 冪函數(shù) 隨著c、b、a的取值的不同，三個(gè)函數(shù)的變化狀況。通過對(duì)比學(xué)習(xí)，進(jìn)一步把握三個(gè)函數(shù)的性質(zhì)。（圖表 3）從上面的三個(gè)教學(xué)實(shí)例中可以

5、看出，幾何畫板可以使我們的課堂更加形象化，化抽象為直觀，化靜止為運(yùn)動(dòng)。但幾何畫板的應(yīng)用不僅止于此。在代數(shù)中，多種函數(shù)圖像、三角函數(shù)圖像的變換、甚至是在不等式、數(shù)列也可以應(yīng)用，在此就不贅述了。二、幾何畫板在解析幾何中的應(yīng)用。幾何畫板在解析幾何中的應(yīng)用，我主要通過選修1-1其次章圓錐曲線與方程的第一節(jié)橢圓的具體案例來予以演示。（一）橢圓定義的探究在新教材中，對(duì)于橢圓定義的探究取一條細(xì)繩，把它的兩端固定在板上的兩點(diǎn)F1、F2，用鉛筆尖（M）把細(xì)繩拉緊，在板上漸漸移動(dòng)看看畫出的圖形。這個(gè)探究可以利用實(shí)際演示，也可以利用幾何畫板。實(shí)際演示效果當(dāng)然很好， 但需要相應(yīng)的道具幫助，在信息技術(shù)不斷進(jìn)展的今日，我

6、們也可以利用信息技術(shù)工具幾何畫板來探究。1、圖表5拖動(dòng)M點(diǎn)，即可形成橢圓。從圖中可以看到，不管怎么變，始終有|MF|+|MF|=2a=6.19厘米期間，可以讓同學(xué)親自拖動(dòng)，體會(huì)橢圓的形成過程！無形中，更加說明白解析幾何里面的一個(gè)思想，曲線是動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。同學(xué)對(duì)于求動(dòng)點(diǎn)軌跡類型的題目會(huì)有了一個(gè)動(dòng)態(tài)的理解，也不會(huì)感到生疏了。（圖表5）（二）橢圓離心率的探究橢圓的離心率是橢圓簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)中的一個(gè)重要性質(zhì)，應(yīng)用廣泛。本節(jié)課我接受一種新的教學(xué)策略形象類比+幾何畫板動(dòng)態(tài)演示。過程如下老師：說起離心率，先說說我們的老伴侶圓，圓是曲線界最完善的圖形，由于它只有一個(gè)心，每天一心一意的歡快！而橢圓呢，除了一個(gè)中

7、心外，還有兩個(gè)焦點(diǎn)，就像我們?nèi)祟?，除了一顆心以外，還有兩個(gè)心房，一個(gè)住著歡快，一個(gè)住著哀痛，所以橢圓也有自己的喜怒哀樂，越圓越歡快，越扁越哀痛，那么有沒有一個(gè)量來刻畫橢圓的扁平程度呢？會(huì)不會(huì)兩個(gè)心房即兩個(gè)焦點(diǎn)的距離距離橢圓的中心越近，橢圓越圓呢?（圖表6）。（圖表 6）利用幾何畫板動(dòng)態(tài)演示橢圓扁平變化。（1）、長(zhǎng)軸長(zhǎng)保持不變，轉(zhuǎn)變焦點(diǎn)到中心的距離，即轉(zhuǎn)變c的值，發(fā)覺橢圓有什么變化？（圖表7）（圖表 8）從圖表7、8的動(dòng)畫演示過程中，引導(dǎo)同學(xué)發(fā)覺，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a不變，轉(zhuǎn)變c的值，c越小橢圓越圓。（2）、焦距保持不變，轉(zhuǎn)變a的值，發(fā)覺橢圓有什么變化？（同學(xué)思考）（圖表 9）（圖表 10）從圖表9、10

8、的動(dòng)畫演示過程中，引導(dǎo)同學(xué)發(fā)覺，c保持不變，a的值越大，橢圓越圓。老師可適時(shí)引出離心率的概念，同學(xué)連續(xù)觀看指出e越小橢圓較圓，反之較扁， 特殊當(dāng)c=0 即e=0時(shí)變成了圓，（即e 大則扁， e 小則圓，特殊 e=0 時(shí)為圓）如（圖表 4）因此離心率是一個(gè)刻畫橢圓圓扁程度的量。（此處是難點(diǎn)，教學(xué)中借助動(dòng)畫演示，結(jié)合老師啟發(fā)引導(dǎo)，掛念同學(xué)理解離心率的定義及離心率對(duì)橢圓外形的影響） 通過上面幾個(gè)案例，我們看出了幾何畫板在動(dòng)畫、追蹤、軌跡等功能，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)教學(xué)的很多不足，可以讓同學(xué)在動(dòng)態(tài)的爭(zhēng)辯中啟發(fā)直覺思維，使同學(xué)不再是把數(shù)學(xué)作為單純的學(xué)問去理解它，而是能夠更有真實(shí)感的去把握它，理解它，很多數(shù)學(xué)問題也可以得到準(zhǔn)時(shí)驗(yàn)證。更使的原來枯燥的數(shù)學(xué)學(xué)問以同學(xué)寵愛的方式呈現(xiàn)出來，能