三角函數(shù)和差及倍角公式講義

1、教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員編號：學(xué)員編號：年年級：高一級：高一課課 時時 數(shù)：數(shù)：學(xué)員姓名：學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：學(xué)科教師：課課題題三角函數(shù)和差公式和倍角公式三角函數(shù)和差公式和倍角公式授課日期及時段授課日期及時段教學(xué)目的教學(xué)目的1、學(xué)習(xí)并掌握三角函數(shù)的和差公式的推導(dǎo)過程；2、理解并掌握倍角公式的推導(dǎo)過程及其應(yīng)用；3、能靈活利用和差公式進行分析求解問題。教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容一、上次作業(yè)檢查與講解；一、上次作業(yè)檢查與講解；二、學(xué)習(xí)要求及方法的培養(yǎng)：二、學(xué)習(xí)要求及方法的培養(yǎng)：三、知識點分析、講解與訓(xùn)練：三、知識點分析、講解與訓(xùn)練：一、兩角和與差的正弦、余弦、正

2、切公式及倍角公式兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：sinsincoscossinsin22sincos令 2222222coscoscossinsincos2cossin2cos11 2sintantan1+cos2tancos1tantan21 cos2sin22tantan21tan令 二二、三角函數(shù)的化簡三角函數(shù)的化簡、計算計算、證明的恒等變形的基本思路證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu)。即首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心角的變換是三角函數(shù)變換的核心！第二看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通?！扒谢摇?；第三觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點。基本的

3、技巧有基本的技巧有: :（1 1）巧變角巧變角（已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換. 如()()，2()()，2()()，22，222等） ，(2)三角函數(shù)名互化三角函數(shù)名互化(切割化弦)，(3)公式變形使用公式變形使用（tantantan1tantan。(4)三角函數(shù)次數(shù)的降升三角函數(shù)次數(shù)的降升(降冪公式：21 cos2cos2，21 cos2sin2與升冪公式：21 cos22cos，21 cos22sin)。知知(5)式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化(對角、函數(shù)名、式子結(jié)構(gòu)化同)。(6)(6)常值變換主要指常值變換主要指“1 1”的變換的變換（

4、221sincosxx22sectantancotxxxxtansin42等） ，(7)(7)正余弦“三兄妹三兄妹sincos sin cosxxxx、”的內(nèi)存聯(lián)系“知一求二” ，三、輔助角公式三、輔助角公式：22sincossinaxbxabx(其中角所在的象限由a,b的符號確定，角的值由tanba確定)在求最值、化簡時起著重要作用。例一例一、 （1 1）下列各式中，值為12的是（）A、1515sincosB、221212cossinC、222 5122 5tan.tan.D、1302cos；（2 2）命題 P：0tan( AB)，命題 Q：0tan AtanB，則 P 是 Q 的（）A、充

5、要條件B、充分不必要條件C、必要不充分條件D、既不充分也不必要條件；（3 3）已知35sin()coscos()sin，那么2cos的值為；（4 4）131080sinsin的值是；(5)(5)已知0tan110a，求0tan50的值（用 a 表示）甲求得的結(jié)果是313aa，乙求得的結(jié)果是212aa，對甲、乙求得的結(jié)果的正確性你的判斷是。例二例二、 （1 1）化簡tan(cossin)sintancotcsc；（2 2）求證：21tan1 sin21 2sin1tan22；例三、例三、(1)(1)若32(,)，化簡111122222cos為_；（2 2）函數(shù)255 3f( x)sinxcos

6、xcos x532( xR)的單調(diào)遞增區(qū)間為_典典例四例四、 （1 1）若方程sin3cosxxc有實數(shù)解，則c的取值范圍是_；（2 2）當(dāng)函數(shù)23ycos xsinx取得最大值時，tanx的值是；（3 3）如果 sin2cos()f xxx是奇函數(shù)，則tan=；（4 4）求值：20sin6420cos120sin3222；例五例五、 （1）已知函數(shù)( )sin()(0,0),f xAxaxR的最大值是 1，其圖像經(jīng)過點1(, )3 2M。（1）求( )f x的解析式；（2）已知,(0,)2 ，且312( ),( ),513ff求()f的值。（2 2） 2014江西卷 已知函數(shù) f(x)sin

7、(x)acos(x2)，其中 aR，2，2 。(1)當(dāng) a 2，4時，求 f(x)在區(qū)間0，上的最大值與最小值；(2)若 f2 0，f()1，求 a，的值。例六例六、（2012 年高考（安徽理） ）設(shè)函數(shù)22( )cos(2)sin24f xxx(I)求函數(shù)( )f x的最小正周期；(II)設(shè)函數(shù)( )g x對任意xR,有()( )2g xg x,且當(dāng)0,2x時,1( )( )2g xf x,求函數(shù)( )g x在,0上的解析式。1、 （08 北京）若角的終邊經(jīng)過點(12)P，則cos=；tan2=。2、化簡1 sin4cos41 sin4cos4=()A. cot2B. tan2C. cotD

8、. tan3、tan和 tan(4-)是方程 x2+px+q=0 的兩根，則 p、q 之間的關(guān)系是()A.p+q+1=0B.p-q-1=0C.p+q-1=0D.p-q+1=04、2014新課標(biāo)全國卷 如圖，圓 O 的半徑為 1，A 是圓上的定點，P 是圓上的動點，角 x的始邊為射線 OA，終邊為射線OP，過點 P 作直線OA 的垂線，垂足為 M，將點 M到直線 OP 的距離表示成 x 的函數(shù)f(x)，則 yf(x)在0，上的圖像大致為()ABCD5、2014全國卷 直線 l1和 l2是圓 x2y22 的兩條切線若 l1與 l2的交點為(1，3)，則l1與 l2的夾角的正切值等于_。6、 （1）

9、化簡42212cos2cos22tan()sin ()44xxxx（2）已知是第一象限的角，且 cos=)42cos()4sin(,135求的值。鞏鞏7、已知)cos()22sin(sin3cos=1，(0，)，求的值。8、已知40,sin25。（）求22sinsin2coscos2的值；（）求5tan()4的值。9、 （2012 年高考（北京理） ）已知函數(shù)(sincos )sin2( )sinxxxf xx。(1)求( )f x的定義域及最小正周期；(2)求( )f x的單調(diào)遞增區(qū)間。10、 （2012 年高考（福建理） ）某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)。(

10、1)2sin 13cos17sin13 cos17(2)2sin 15cos15sin15 cos15(3)2sin 18cos12sin18 cos12(4)2sin ( 18 )cos48sin( 18 )cos48 (5)2sin ( 25 )cos55sin( 25 )cos55 試從上述五個式子中選擇一個,求出這個常數(shù) 根據(jù)()的計算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣三角恒等式,并證明你的結(jié)論.11、 （2012 年高考 （廣東理） ）(三角函數(shù))已知函數(shù) 2cos6f xx(其中0 x R)的最小正周期為10。()求的值；()設(shè)、0,2,56535f ,5165617f,求cos的值。12、2014廣東卷 已知函數(shù) f(x)Asinx4 ，xR，且 f512 32。(1)求 A 的值；(2)若 f()f()32，0，2 ，求 f34。13、2014遼寧卷 已知函數(shù) f(x)(cos xx)(2x)83(sin x1)，g(x)3(x)cos x4(1sin x)ln32x 。證明：(1)存在唯一 x00，2 ，使 f(x0)0；(2)存在唯一 x12，使 g(x1)0，且對(1)中的 x0，有 x0 x1。答案：證明：(1)當(dāng) x0，2 時，f(x)(1si