(浙江專用)2020版高考數(shù)學(xué)直線、平面平行的判定與性質(zhì)講義(含解析)

1、18.4直線、平面平行的判定與性質(zhì)取新勺綱考悟勺向分析理解空間線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)是高考中的重點(diǎn)考查內(nèi)容，涉及線線平行、線面平行、面面平行的判定及其應(yīng)用等內(nèi)容.題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，解題要求有較強(qiáng)的推理論證能力，廣泛應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想.基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)回加眥利,訓(xùn)知識(shí)梳理1.線面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言付三語(yǔ)日判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行（簡(jiǎn)記為“線線平行？線面平行”）L_7錯(cuò)誤!?l/a性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行， 則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行 （簡(jiǎn)記為“線

2、面平行？線線平行”）錯(cuò)誤!?l/b2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言付三語(yǔ)日判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相父直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行（簡(jiǎn)記為“線面平行？面面平行”）X7錯(cuò)誤!?a/。性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行錯(cuò)誤！？a/b2% 8:概念方法微思考1.一條直線與一個(gè)平面平行，那么它與平面內(nèi)的所有直線都平行嗎？提示不都平行.該平面內(nèi)的直線有兩類，一類與該直線平行，一類與該直線異面.2.一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行嗎？提示平行.可以轉(zhuǎn)化為“一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行”，

3、這就是面面平行的判定定理.，基礎(chǔ)自測(cè)題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打或“X”)(1)若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個(gè)平面.(X)(2)平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行.(X)(3)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.(x)(4)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.(V)(5)若直線 a 與平面a內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行，則a/a.(x)若a/。，直線alla，貝Ua/。.(X)題組二教材改編2.P58練習(xí)T3平面a/平面。的一個(gè)充分條件是()A.存在一條直線a,a/a,a/。B.存在一條直線 a,a?a,a

4、ll(3C.存在兩條平行直線 a,b,a?也，b?(3,a/。，b/aD.存在兩條異面直線 a,b,a?a,b?(3,a/。，b/a答案D解析若an3=l,a/l,a?a,a?。，則a/a,a/3,故排除A.若an3=l,a?a,a/l,則a/。，故排除B.若an3=l，a?濟(jì)，alll,b?。，b/1,貝Ua/。，b/濟(jì)，故排除C.故選D.3.P62A組T3如圖，在正方體 ABCDABiCD 中，E 為 DD 的中點(diǎn)，貝 UBD 與平面 AEC 勺位置關(guān)系為.3答案平行解析連接 BD 設(shè) BSAO0,連接 EO在BDD 中，E 為 DD 的中點(diǎn)，0 為 BD 的中點(diǎn)，所以 ECABDD 勺中

5、位線，貝 UBD/E0而 BD?平面 ACEEC?平面 ACE所以 BD/平面 ACE題組三易錯(cuò)自糾4.對(duì)于空間中的兩條直線 mn 和一個(gè)平面 a，下列命題是真命題的是()A.若m/a,nila，貝 Um/nB.若Wa,n?a,貝 UWnC.若 ma,nXa，貝 UmnD.若訕 a,nXa，貝 UWn答案D解析對(duì)A,直線 mn 可能平行、異面或相交，故A錯(cuò)誤；對(duì) B,直線 m 與 n 可能平行，也可能異面，故B錯(cuò)誤；對(duì)C,m與n垂直而非平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)D,垂直于同一平面的兩直線平行，故D正確.5.若平面a/平面3，直線a/平面a,點(diǎn)BC6，則在平面。內(nèi)且過(guò)B點(diǎn)的所有直線中()A.不一定存在與

6、a平行的直線B.只有兩條與a平行的直線C.存在無(wú)數(shù)條與a平行的直線D.存在唯一與a平行的直線答案A解析當(dāng)直線 a 在平面3內(nèi)且過(guò) B 點(diǎn)時(shí)，不存在與 a 平行的直線，故選A.6.設(shè) a,6,Y 為三個(gè)不同的平面，a,b 為直線，給出下列條件:1a?a,b?3,a/3,b/a;a/了，。/Y;aXy,:aLa,bL3,aIIb.4其中能推出 a/（3 的條件是.（填上所有正確的序號(hào)）答案解析在條件或條件中，a/?；?a 與。相交;由 a/了，$?a/。，條件滿足；在中，aXa,aIIb?bXa，又 bX。，從而 a/。，滿足.題型分類深度剖析鳳蹴其適深度制折吏點(diǎn)堪點(diǎn)莘維輯究題型一直線與平面平行的

7、判定與性質(zhì)命題點(diǎn)1直線與平面平行的判定例1 （2018紹興模擬）如圖， 在直三棱柱ABO-ABC中， /BAO90,AAAO2,點(diǎn)MN 分別為 AC,AB 的中點(diǎn).證明：MN/平面 BBCC;若 CMMN 求三棱錐MNAC 勺體積.證明連接 AB,BG,點(diǎn) MN 分別為 AC,AB 的中點(diǎn)，所以 MNAABG 的一條中位線,所以 MN/BC,又 MN 平面 BBCC,BC?平面 BBCC,所以 MM 平面 BBGC解設(shè)點(diǎn) D,E 分別為 AB,AA 的中點(diǎn)，AA=a,連接 NDCD 則 C 如 a2+1,M*1+號(hào)4I05a+82aa+20yi,CN=-+5=,4446由CMMN得C浦MNI=

8、CN,解得 a=展，又 N 日平面 AACCN1,.MF 分別是 PCPB 的中點(diǎn),_1_.MF/CBMF=CB.E 為 DA 的中點(diǎn)，四邊形 ABCEM；正方形,-1.DE/CBDCB.MF/DE,MEDE四邊形 DEFM；平行四邊形，-EF/DMV三棱錐價(jià)NAV三棱錐NE11=-X-X2X,/2所以三棱錐 MHNAC 勺體積為命題點(diǎn)2直線與平面平行的性質(zhì)例2在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCO 正方形，PH 平面 ABCDE,F 分別是線段 ADPB 的中點(diǎn)，PXA 田1.(1)證明：EF/平面 PDC求點(diǎn) F 到平面 PDC 勺距離.證明取 PC 的中點(diǎn) M 連接DMMF7.EF?平面

9、PDCDM?平面 PDC.EF/平面 PDC(2)解 EF/平面 PDC.點(diǎn) F 到平面 PDC 勺距離等于點(diǎn) E 到平面 PDC 勺距離.PI 平面 ABCDPIDA在RtPAPA=AA1,DdyJ2,.PQ 平面 ABCDPICB.CAB,PMAA,PAAB?平面 PABCR 平面 PAB：,C 乩 PB,則 Pd3,:,PD+DC=PC2,PDg 直角三角形，其中 PdCDc12-SPDx1X寸 2=-,連接 EPEC 易知 VE-PD(VPDE設(shè) E 到平面 PDC 勺距離為 h,.CMADCXPAASP 任 A,ADPA?平面 PAD.C 皿平面 PAD.F 到平面 PDC 勺距離為

10、思維升華判斷或證明線面平行的常用方法（1）利用線面平行的定義（無(wú)公共點(diǎn)）.（2）利用線面平行的判定定理（a?a,b?a,allb?a/a）.利用面面平行的性質(zhì)（a/。，a?a?a/6）.8（4）利用面面平行的性質(zhì)（aII。，a?3,a/a?a/3）.跟蹤訓(xùn)練1（2019崇左聯(lián)考）如圖，在四棱錐P-ABC 圳，平面 PAd 平面 ABCD 且 PIACP 莊 A2,四邊形 ABC 前足 BC/ADA 土 ADAABO1.點(diǎn) E,F 分別為側(cè)棱 PBPC 上的-口 PEPF點(diǎn)，且而=PC入（入乒0）.9在RtPAg,PX2,Ad地,POPA2+AC=,6,16PF=-PC-.22.平面 PAd 平

11、面 ABCD 且平面 PA（T 平面 ABCD=ACPMACPA?平面 PACPQ 平面 ABCDPMBC又 A 乩 ADBC/AD,.BdAB又 P5AAA,PAAE?平面 PAB.Bd 平面 PAB.BdPB,.在RtPBBF=；PO 普.連接 BDDF,設(shè)點(diǎn) D 到平面 AFB 的距離為 d,6在等腰三角形 BAF 中，B 日 AF=,AA1,5-EABF=4又、ABA1,點(diǎn) F 到平面 ABD 勺距離為 1,由VABVD-AFB得x1x1=xdx,(1)求證：EF/平面 PAD,1.當(dāng)入=2時(shí)，求點(diǎn) D 到平面 AFB 的距離.(1)證明PEPF.PPC入（入乒0）,-EFBC.BC/

12、AD,EF/AD又 EF?平面PADAD?平面 PADEF/平面PAD1-入=2-F 是 PC 的中點(diǎn),10334解得 d=偵,5即點(diǎn)D到平面AFB的距離為*.題型二平面與平面平行的判定與性質(zhì)師生推研例3如圖所示，在三棱柱 ABOABC 中，E,F,G,H 分別是 ABACAB,AC 的中點(diǎn)，求證：(1)B,C,H,G 四點(diǎn)共面;平面 EFA/平面 BCHG證明(1)GH 分別是 AB,ACi的中點(diǎn)，GHIAABC 的中位線，GH/BC.又.BC/BCGH/BC,B,CH,G 四點(diǎn)共面.EF 分別是 ABAC 的中點(diǎn)，EF/BC.EF?平面 BCHGBC?平面 BCHGEF/平面 BCHG又

13、G,E 分別為 AB,AB 的中點(diǎn)，AB/AB 且 AB=ABAG/EAEEB四邊形 AEBG平行四邊形，AE/GB又.AE?平面 BCHGGB?平面 BCHGAE/平面 BCHG又.AEnEF=E,AE,EF?平面 EFA,11平面 EFA/平面 BCHG12由平面 BCD/平面 ABD,且平面 ABCA 平面 BCD=BC,平面 AiBCn 平面 ABD=DQ所以 BC/DO,mAiDAiO貝Ui.DCiOB引申探究i.在本例中，若將條件“E,F,GH 分別是 ABAGAB,AC 的中點(diǎn)”變?yōu)椤癉,D 分別為 BC,BC 的中點(diǎn)”，求證：平面ABD/平面 ACD.證明如圖所示，連接 AC,

14、AC,.四邊形 AACS 平行四邊形,M 是 AC 的中點(diǎn)，連接 MDD 為 BC 的中點(diǎn),.AB/DMAiB?平面 ABD,DM 平面 ABD,.DM/平面 AiBD,又由三棱柱的性質(zhì)知，DC/BD 且 DC=BD四邊形 BDCD 為平行四邊形,DC/BD.又 DC?平面 AiBD,BD?平面 ABD,DC/平面 AiBD,又 DCnD*D,DC,Dl?平面 ACD,因此平面 ABD/平面 ACD.2.在本例中，若將條件“E,F,GH 分別是 ABAC,AB,AC 的中點(diǎn)”變?yōu)椤包c(diǎn) D,D 分別是 ACAC 上的點(diǎn)，且平面 BCD/平面 ABD”，試求ADDC 勺解連接 AB,AB,交于點(diǎn)

15、Q 連接 OD.13同理，AD/GD,又 AD/CD,所以四邊形 ADCD 是平行四邊形,所以 ADC,又ACAC,思維升華證明面面平行的方法(1)面面平行的定義.(2)面面平行的判定定理.(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.(4)兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.(5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化.跟蹤訓(xùn)練2如圖，在多面體 ABCDEF，四邊形 ABCO 正方形，BFL 平面 ABCDD 日平面 ABCDBF=DEM 為棱 AE 的中點(diǎn).(1)求證：平面 BDM 平面 EFC若 AA1,B 已 2,求三棱錐 ACEF 的體積.(1)證明如圖，設(shè) A

16、 所 BD 交于點(diǎn) N,則 N 為 AC 的中點(diǎn)，連接 MN 又 M 為棱 AE 的中點(diǎn),MN/EC-MN?平面 EFCEC?平面 EFC.MN/平面 EFC.BFL 平面 ABCDDH 平面 ABCD 且BF=DEBF/DE 且 B 已 DE四邊形 BDE 購(gòu)平行四邊形，所以AiDDCDC.AD所以DCAD14BDEF.BD?平面 EFCEF?平面 EFGBD/平面 EFC又MNBLD=N,MNBD?平面 BDM平面 BDIM 平面 EFC解連接 ENFN在正方形 ABC 呻，AdBD又 BF面 ABCDBdAC又 BFnBAB,BF,BD?平面 BDEF.Ad 平面 BDEF又 N 是 A

17、C 的中點(diǎn)，V三棱錐ANEf=V三棱錐CNEF,-V三棱錐ACEf=2V三棱錐ANEF-1=2X-XA*S/NEF3c1212=2X-XX-X、2X2=一，32232三棱錐 ACEF 勺體積為-.3題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用師生共研例4如圖所示，四邊形 EFG 眄空間四邊形 ABCD勺一個(gè)截面，若截面為平行四邊形.求證：AB/平面 EFGHCD/平面 EFGH15若 A44,Ct6,求四邊形 EFGHO 長(zhǎng)的取值范圍.證明.四邊形 EFGH；平行四邊形，EF/HG.HG 平面 ABDEF?平面 ABD.EF/平面 ABD又 EF?平面 AB。平面ABD平面 ABQAB,EFAB,又.AB?平面

18、EFGHEF?平面 EFGHAB/平面 EFGH 同理可證，CD/平面 EFGH解設(shè) EF=x(0 x4),.EF/AB,FG/CD.沮 xFG=吧心旦卜 XCB46BCBC43-F(6尹.四邊形 EFGH；平行四邊形，_3四邊形 EFGH 勺周長(zhǎng) l=2x+6-尹=12-X.又.0 x4,.8l答案A解析A項(xiàng)，作如圖所示的輔助線，其中 D 為 BC 的中點(diǎn)，貝 UQD/AB.QS 平面 MNQQ,.Q 由平面 MNQ 目交，直線 AB 與平面 MNQ 目交；B項(xiàng)，作如圖所示的輔助線，貝 UAB/CDCD/MQAB/MQ又 AB?平面 MNQMQ 平面 MNQz.AB/平面 MNQ19C項(xiàng)，作

19、如圖所示的輔助線，貝 UAB/CDCD/MQAB/MQ又 AB?平面 MNQMQ 平面 MNQAB/平面 MNQD項(xiàng)，作如圖所示的輔助線，貝 UAB/CDCD/NQAB/NQ又 AB?平面 MNQNQ 平面 MNQAB/平面 MNQ故選A.7.（2018-杭州模擬）設(shè)mn是兩條不同的直線，a,。，了是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：1若 n?也，n）也，貝 UWn；2若 a/。，。,na,貝 Un了；3若 an3=n,m/n,m/a,貝 Un。；若m/a,n/。，m/n,貝UaII.其中是真命題的是.（填序號(hào)）答案解析m/n 或 mn 異面，故錯(cuò)誤；易知正確；m/?；?m?。，故錯(cuò)誤；a/。

20、或 a 與。相交，故錯(cuò)誤.8.棱長(zhǎng)為2的正方體 ABCD-ABiCiD 中，M 是棱 AA 的中點(diǎn)，過(guò) C,MD 作正方體的截面，貝 U 截面的面積是.一9答案2解析由面面平行的性質(zhì)知截面與面 AB 的交線 MtAAAB 的中位線， 所以截面是梯形 CDMN 易求其面積為9.9.如圖所示，正方體 ABCPABCD 中，AA2,點(diǎn) E 為 AD 的中點(diǎn)，點(diǎn) F 在 CD 上.若 EF/平面 ABC,則線段 EF 的長(zhǎng)度為.答案 J2解析在正方體 ABC9ABCD 中，A42,AO2 膛.20又 E 為 AD 中點(diǎn)，EF/平面 ABC,EF?平面 ADC 平面 AD平面 ABACEF/AC,F 為

21、 DC 中點(diǎn)，EF=AO2.10.（2018-金華模擬）如圖所示，在正四棱柱 ABCD-ABCD 中，E,F,GH 分別是棱 CC,CD,DD,DC 的中點(diǎn)， N 是 BC 的中點(diǎn)， 點(diǎn) M 在四邊形 EFGFK 其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)， 貝UM 只需滿足條件時(shí)， 就有 MN/平面 BBDD（注：請(qǐng)?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個(gè)條件即可，不必考慮全部可能情況）答案點(diǎn) M 在線段 FH 上（或點(diǎn) M 與點(diǎn) H 重合）解析連接 HNFH,FN 則 FH/DD,HN/BD平面 FHIN/平面 BBDD,只需MFH則MN平面 FHNMN/平面 BBDD11.如圖，四棱柱 ABCD-ABCD 的底面 ABCDI 正方形.(1

22、)證明：平面 ABD/平面 CDB;若平面 ABCD 平面 BDC=直線 l，證明：BD/l.證明(1)由題設(shè)知 BB/DD 且 BB=DD,所以四邊形 BBDD 是平行四邊形，所以 BD/BD.又 BD 平面 CEB,BiD?平面 CDB,所以 BD/平面 CDBi.因?yàn)?AD/BC/BC 且 AD=BC=BC所以四邊形 AiBC 跳平行四邊形，所以 AB/DC.又 AB?平面 CDB,DC?平面 CDB,21所以 AB/平面 CDB.又因?yàn)?BSAB=B,BD,AB?平面 ABD所以平面 ABD/平面 CDBi.(2)由(1)知平面ABD/平面CDB,又平面 ABCD 平面 BDl,平面

23、ABCD 平面 ABABD所以直線 l/直線 BD在四棱柱 ABCBABCD 中，四邊形 BDCB 為平行四邊形，所以 BD/BD,所以 BD/l.12.(2018-紹興模擬)如圖，在四棱錐 PABC 計(jì)，平面 PAX 平面 ABCD 底面 ABCD梯形，AB/CDAA2DO2也且PACAABD 均為正三角形，E 為 AD 的中點(diǎn)，GPAD 的重心.求證：GF/平面 PDC求三棱錐（GPCD 勺體積.證明連接 AG 并延長(zhǎng)交 PD 于點(diǎn) H,連接 CHAF2由梯形 ABC,AB/CCfiAA2D5K=-.FC1又 E 為 AD 的中點(diǎn)，GAPAD 勺重心，AG2=-GH1AGAF2.在AHC,

24、=2,故 GF/HCGHFC1又 HC?平面 PCDGF?平面 PCDGF/平面 PDC解方法一由平面 PAX 平面 ABCDAPACAABD 與為正三角形，E 為 AD 的中點(diǎn),知 PdADBAAD,又.平面 PAS 平面 ABCD=ADPE?平面 PAD22PR 平面 ABCD 且 PR3,由知 GF/平面 PDCV三棱錐G-PCXV三棱錐FPCXV三棱錐PCDF1=3XP 出SACDF又由梯形 ABC 呻，AB/CD 且 AA2D62 寸 3,12、.3知 D；BDt33義乂AB 以正三角形，得 ZCDEZABd60,23.，CD-CD0,y1),函數(shù) y=f(x)的圖象為焦點(diǎn)在 y 軸

25、上的雙曲線上支的一部分.故選C.力拓展沖剌練15.如圖，在三棱錐 SABg,ABM 邊長(zhǎng)為6的正三角形，SkSASO10,平面 DEFH分別與 ABBCSGSA 交于 D,E,F,H,且 D,E 分別是 ABBC 的中點(diǎn)，如果直線 SB/平面 DEFH 那么四邊形 DEFH 勺面積為()45C.15答案C解析取 AC 的中點(diǎn) G 連接 SGBGD.453B.2I27易知 S(XAGB 饑 AGS(GB(G=G,SGBG?平面 SGB 故 AC!平面 SGB所以 ACXSB因?yàn)?SB/平面 DEFHSB?平面 SAB 平面 SAET 平面 DEFH=HD 貝 USB/HD同理 SB/FE又 D,

26、E 分別為 ABBC 的中點(diǎn)，貝 UH,F 也為 ASSC 的中點(diǎn)，從而得 HF/ACMHA：ACDE/AC 且 DRAC所以 HF/DE 且 HDE所以四邊形 DEFH;平行四邊形.因?yàn)?AdSSB/HDDE/AC所以 DdHD 所以四邊形 DEFHM 巨形，-ll其面積 S=HF HAC-SB=15.16.如圖，在四棱錐 PABC 呻，PI 底面 ABCD 四邊形 ABC 網(wǎng)直角梯形，AC 與 BD 相交于點(diǎn) O,AD/BGAKABAABOAA3,三棱錐 PACD 勺體積為9.(1)求 AD 的值；過(guò)點(diǎn)O的平面a平行于平面PAB平面a與棱BCADPDPC分別相交于點(diǎn)E,F,GH,求截面EFGH勺周長(zhǎng).解(1)在四棱錐P-ABC 呻，Pd