高中總復(fù)習(xí)第一輪數(shù)學(xué)51向量的概念向量的加法與減法實(shí)數(shù)與向量的積

1、第五章 平面向量網(wǎng)絡(luò)體系總覽考點(diǎn)目標(biāo)定位 1.向量、向量的加法與減法、實(shí)數(shù)與向量的積. 2.平面向量的坐標(biāo)表示、線段的定比分點(diǎn). 3.平面向量的數(shù)量積、平面兩點(diǎn)間的距離、平移公式. 4.正弦定理、余弦定理、斜三角形的解法.復(fù)習(xí)略指南 向量是數(shù)學(xué)中的重要概念，它廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)研究中，其重要性逐漸加強(qiáng).從近幾年高考試題可以看出，主要考查平面向量的加減運(yùn)算、平面向量的坐標(biāo)表示、平面向量的數(shù)量積、圖形的平移等基本概念、運(yùn)算及簡(jiǎn)單應(yīng)用.隨著新教材的逐步推廣、使用，“平面向量”將會(huì)成為命題的熱點(diǎn)，一般選擇題、填空題重在考查平面向量的概念、數(shù)量積及其運(yùn)算律.本單元試題的常見(jiàn)類型有： (1)與“定比

2、分點(diǎn)”有關(guān)的試題; (2)平面向量的加減法運(yùn)算及其幾何意義; (3)平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律,平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，用向量的知識(shí)解決幾何問(wèn)題; (4)正、余弦定理的應(yīng)用. 復(fù)習(xí)本章時(shí)要注意: (1)向量具有大小和方向兩個(gè)要素.用線段表示向量時(shí)，與有向線段起點(diǎn)的位置沒(méi)有關(guān)系，同向且等長(zhǎng)的有向線段都表示同一向量. (2)共線向量和平面向量的兩條基本定理，揭示了共線向量和平面向量的基本結(jié)構(gòu)，它們是進(jìn)一步研究向量的基礎(chǔ). (3)向量的加、減、數(shù)乘積是向量的線性運(yùn)算，其結(jié)果仍是向量.向量的數(shù)量積結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù).向量的數(shù)量積，可以計(jì)算向量的長(zhǎng)度、平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離、兩個(gè)向量的夾角,判斷相應(yīng)的兩條直線是否垂直.

3、 (4)向量的運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算有異同點(diǎn)，學(xué)習(xí)時(shí)要注意這一點(diǎn)，如數(shù)量積不滿足結(jié)合律. (5)要注意向量在幾何、三角、物理學(xué)中的應(yīng)用. (6)平面向量與空間向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算是高考的重點(diǎn)，復(fù)習(xí)中要注意培養(yǎng)準(zhǔn)確的運(yùn)算能力和靈活運(yùn)用知識(shí)的能力.5.1 向量的概念、向量的加法與減法、實(shí)數(shù)與向量的積鞏固·夯實(shí)基礎(chǔ) 一、自主梳理 1.平面向量的有關(guān)概念 (1)向量的定義:既有大小又有方向的量叫做向量. (2)表示方法:用有向線段來(lái)表示向量.有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小,用箭頭所指的方向表示向量的方向.用字母a,b,或用,表示. (3)模:向量的長(zhǎng)度叫向量的模,記作|a|或|. (4)零向量:長(zhǎng)

4、度為零的向量叫做零向量,記作0;零向量的方向不確定. (5)單位向量:長(zhǎng)度為1個(gè)長(zhǎng)度單位的向量叫做單位向量. (6)共線向量:方向相同或相反的向量叫共線向量,規(guī)定零向量與任何向量共線. (7)相等的向量:長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等的向量. 2.向量的加法 (1)定義:求兩個(gè)向量和的運(yùn)算,叫做向量的加法. (2)法則:三角形法則、平行四邊形法則. (3)運(yùn)算律:a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c). 3.向量的減法 (1)定義:求兩個(gè)向量差的運(yùn)算,叫做向量的減法. (2)法則:三角形法則、平行四邊形法則. 4.實(shí)數(shù)與向量的積 (1)定義:實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量,記作a,規(guī)定:|

5、a|=|a|.當(dāng)>0時(shí),a的方向與a的方向相同;當(dāng)<0時(shí),a的方向與a的方向相反;當(dāng)=0時(shí),a與a平行. (2)運(yùn)算律:(a)=()a,(+)a=a+a,(a+b)=a+b. 5.兩個(gè)重要定理 (1)向量共線定理:向量b與非零向量a共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù),使得b=a,即bab=a(a0). (2)平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2,使a=1e1+2e2. 二、點(diǎn)擊雙基1.(2004天津高考,理)若平面向量b與向量a=(1,-2)的夾角是180°,且|b|=3,則b等于( )A.(-

6、3,6) B.(3,-6) C.(6,-3) D.(-6,3)解析：易知a與b方向相反,可設(shè)b=(,-2)(0.又|b|=3=,解之得=-3或=3(舍去).b=(-3,6).答案：A2.(理)(2004浙江高考,文)已知向量a=(3,4),b=(sin,cos),且ab,則tan等于( )A. B.- C. D.-解析：由ab,3cos=4sin.tan=.答案：A(文)下列算式中不正確的是( )A.+=0 B.-=C.0·=0 D.(a)=()a解析：-=,故B錯(cuò)誤.答案：B3.(2005全國(guó)高考卷，文)點(diǎn)O是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),滿足·=··,則點(diǎn)

7、O是ABC的( )A.三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn) B.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C.三條中線的交點(diǎn) D.三條高的交點(diǎn)解析：由·=·,可得·=0，即. 同理可得,.答案：D4.(2006江蘇南通九校聯(lián)考)O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足=+(+)，0，+，則P的軌跡一定通過(guò)ABC的( )A外心 B垂心 C內(nèi)心 D重心解析：由=+(+),-=(+),0,+,=(+).P在BC邊中線上.故P的軌跡通過(guò)ABC的重心.故選擇D.答案：D5.ABC中，=3，則=_.(用和表示)解析：=-,又=3， =+=+(-)=+.答案：+誘思·實(shí)例點(diǎn)撥

8、【例1】 已知向量a、b滿足|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,則|a+b|等于( )A.1 B. C. D.剖析：欲求|a+b|,一是設(shè)出a、b的坐標(biāo)求,二是直接根據(jù)向量模計(jì)算.解法一：設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則x12+y12=1,x22+y22=4,a-b=(x1-x2,y1-y2), (x1-x2)2+(y1-y2)2=4. x12-2x1x2+x22+y12-2y1y2+y22=4. 1-2x1x2-2y1y2=0. 2x1x2+2y1y2=1. (x1+x2)2+(y1+y2)2=1+4+2x1x2+2y1y2=5+1=6. |a+b|=.解法二：|a+b|2+

9、|a-b|2=2(|a|2+|b|2), |a+b|2=2(|a|2+|b|2)-|a-b|2 =2(1+4)-22=6. |a+b|=.故選D.答案：D鏈接·提示 本題還可以利用向量的加、減運(yùn)算的幾何意義計(jì)算. 設(shè)=a，=b，則-=. 在OAB中，cosAOB =, cosOAC=-. 在OAC中，|2=|2+|2-2|·|cosOAC =12+22-2×1×2×(-)=6. |=，即|a+b|=.【例2】 如圖，G是ABC的重心，求證：+=0.剖析：要證+=0，只需證+=-，即只需證+與互為相反的向量.證明：以向量、為鄰邊作平行四邊形GBE

10、C，則+=2.又由G為ABC的重心知 =2，從而=-2. +=-2+2=0.講評(píng)：向量的加法可以用幾何法進(jìn)行.正確理解向量的各種運(yùn)算的幾何意義，能進(jìn)一步加深對(duì)“向量”的認(rèn)識(shí)，并能體會(huì)用向量處理問(wèn)題的優(yōu)越性.【例3】 設(shè)、不共線,點(diǎn)P在AB上,求證: =+且+=1,、R.剖析：點(diǎn)P在AB上,可知與共線,得=t.再用以O(shè)為起點(diǎn)的向量表示.證明：P在AB上, 與共線. =t. -=t(-). =+t-t=(1-t)+t. 設(shè)1-t=,t=，則=+且+=1,、R.講評(píng)：本例的重點(diǎn)是考查平面向量的基本定理,及對(duì)共線向量的理解及應(yīng)用.鏈接·提示 (1)本題也可變?yōu)?、不共線,若=+,且+=1,R,R,求證:A、B、P三點(diǎn)共線. 提示:證明與共線. (2)當(dāng)