應力狀態(tài)——材料力學

1、土體應力計算補充一、力學基礎知識材料力學研究物體受力后的內(nèi)在表現(xiàn)， 即變形規(guī)律和破壞特征。一、材料力學的研究對象材料力學以“梁、桿”為主要研究對象。 二、材料力學的任務 材料力學的任務：在滿足強度、剛度、穩(wěn)定性的要求下，以最經(jīng)濟的代價，為構(gòu)件確定合理的形狀和尺寸，選擇適宜的材料，而提供必要的理論基礎和計算方法。強度:桿件在外載作用下，抵抗斷裂或過量塑性變形的能力。剛度:桿件在外載作用下，抵抗彈性變形的能力。穩(wěn)定性:桿件在壓力外載作用下，保持其原有平衡狀態(tài)的能力。如：自行車結(jié)構(gòu)也有強度、剛度和穩(wěn)定問題；大型橋梁的強度、剛度、穩(wěn)定問題強度、剛度、穩(wěn)定性 三、基本假設1、連續(xù)性假設：物質(zhì)密實地充滿物

2、體所在空間，毫無空隙。 （可用微積分數(shù)學工具） 2、均勻性假設：物體內(nèi)，各處的力學性質(zhì)完全相同。 3、各向同性假設：組成物體的材料沿各方向的力學性質(zhì)完全相同。（這樣的材料稱為各項同性材 料；沿各方向的力學性質(zhì)不同的材料稱為各項異性材料。）4、小變形假設：材料力學所研究的構(gòu)件在載荷作用下的變形與原始尺寸相比甚小，故對構(gòu)件進行受力分析時可忽略其變形。假設四、桿件變形的基本形式五、內(nèi)力 截面法 軸力 1、內(nèi)力 指由外力作用所引起的、物體內(nèi)相鄰部分之間分布內(nèi)力系的合成（附加內(nèi)力）。2、截面法 內(nèi)力的計算是分析構(gòu)件強度、剛度、穩(wěn)定性等問題的基礎。求內(nèi)力的一般方法是截面法。（1） 截面法的基本步驟： 截開

3、：在所求內(nèi)力的截面處，假想地用截面將桿件一分為二。 代替：任取一部分，其棄去部分對留下部分的作用，用作用在截開面上相應的內(nèi)力（力或力偶）代替。 平衡：對留下的部分建立平衡方程，根據(jù)其上的已知外力來計算桿在截開面上的未知內(nèi)力（此時截開面上的內(nèi)力對所留部分而言是外力）截面法 例如： 截面法求N  截開：代替：平衡：3、軸力軸向拉壓桿的內(nèi)力，用N 表示。軸力的正負規(guī)定: N與外法線同向,為正軸力(拉力） N與外法線反向,為負軸力(壓力) 六、截面上應力1、應力的概念 定義：由外力引起的內(nèi)力集度。 工程構(gòu)件，大多數(shù)情形下，內(nèi)力并非均勻分布，集度的定義不僅準確而且重要，因為“破壞”或

4、“失效”往往從內(nèi)力集度最大處開始。 2、應力的表示平均應力： 全應力（總應力） 垂直于截面的應力稱為“正應力” (Normal Stress) 位于截面內(nèi)的應力稱為“剪應力”(Shearing Stress)。應力概念、支座約束類型3、例題：下圖為一等值桿，受力情況圖示。試做軸力圖 （P13），若橫截面積為400mm2，求最大工作應力（P17）。注：忽略桿自身重量。 40kN 55kN 25kN 20kN A B C D E 解：（1）求支座反力，桿整體平衡； （2）求軸力，部分桿件平衡； （3）軸力圖； （4）求最大軸力； （5）求最大工作應力。 “三最”,最危險斷面,最危險點,最危險方向七

5、、拉壓桿應變1、桿的縱向總變形 2、線應變：單位長度的線變形。3、平均線應變 4、x點處的縱向線應變：5、桿的橫向變形：6、x點處的橫向線應變：應變概念八、拉壓桿的彈性定律-胡克定律由英國科學家胡克(1635一1703)首先提出來1、等內(nèi)力拉壓桿的彈性定律 “EA”稱為桿的抗拉壓剛度。2、變內(nèi)力拉壓桿的彈性定律 3、單向應力狀態(tài)下的彈性定律 應力應變、虎克定律 “E”稱為彈性模量4、泊松比（或橫向變形系數(shù)）九、剪切虎克定律薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn): 剪應力分布：軸受剪、圓柱受扭、薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn) A。=r02：平均半徑所作圓的面積。 剪切虎克定律 當剪應力不超過材料的剪切比例極限時（ p)，剪應力與剪應變

6、成正比關(guān)系。 式中：G是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因G無量綱，故G的量綱與t相同，不同材料的G值可通過實驗確定，鋼材的G值約為80GPa。 剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個常數(shù)。對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系（推導詳見后面章節(jié)）：十、安全系數(shù)、容許應力和強度條件 變形特點低碳鋼材料塑性破壞試驗階段：1、彈性階段-彈性變形p點，線性，符號虎克定律，p，比例極限；過p點后，達到彈性變形最高點。2、屈服階段-塑性變形荷載不變，桿件伸長；s，屈服極限（屈服低點）。3、強化階段-塑性變形為主，荷載增大；b，強度極限，最高點。4、局部變形階段-頸縮破壞。將

7、材料在拉伸（壓縮）時兩個強度指標屈服極限s和強度極限b統(tǒng)稱為極限應力jx。要確保拉（壓）桿不致于因強度不足而破壞，應使其最大工作應力max不超過某一個極限值，這個極限值可規(guī)定為jx的若干分之一，并稱為容許應力。式中：K-大于1的系數(shù)，稱為安全系數(shù)。確保拉（壓）桿不致于因強度不足而破壞的條件是：max這就是拉（壓）桿強度條件。 容許應力、安全系數(shù)材料類型： （1）塑性材料，屈服破壞，如低碳鋼； （2）脆性材料，斷裂破壞，如鑄鐵、玻璃鋼 。1、下圖為一等值桿，受自重及集中力P（kN）作用，受力見示意圖，若桿重度為（kN/m3），橫長度為L（m），截面積為A（m2），試做軸力圖，并求最大工作應力。

8、重力 作業(yè): 集中力P 補充二、 材料力學中的應力狀態(tài)一、 概念1、一點的應力狀態(tài) 過一點有無數(shù)的截面，這一點的各個截面上應力情況的集合，稱為這點的應力狀態(tài)（State of Stress at a Given Point）。2、單元體： (1)單元體構(gòu)件內(nèi)的點的代表物，是包圍被研究點 的無限小的幾何體，常用的是正六面體。 (2)單元體的性質(zhì)平行面上，應力均布，應力相等。3、剪應力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress): 過一點兩個正交面上，如果有與相交邊垂直的剪應力分量，則這兩個剪應力分量一定等值、方向相對或相離。4、主單元體、主面、主應力(1)

9、主單元體(Principal bidy)： 各側(cè)面上剪應力均為零的單元體。(2)主面(Principal Plane)：剪應力為零的截面。(3)主應力(Principal Stress ）：主面上的正應力。(4)主應力排列規(guī)定：按代數(shù)值大小。 (5)三向應力狀態(tài)（ ThreeDimensional State of Stress）： 三個主應力都不為零的應力狀態(tài)。 (6)二向應力狀態(tài)（Plane State of Stress）： 一個主應力為零的應力狀態(tài)。 (7)單向應力狀態(tài)（Unidirectional State of Stress）：一個主應力不為零的應力狀態(tài)。二、 平面應力狀態(tài)分析

10、等價于 1、任意斜截面上的應力 得到： 2、極值應力 3、應力圓（ Stress Circle） 應力圓難點，坐標體系，xy和n，面的位置外法線方向 應力圓的畫法-三種應力圓的畫法-三種：1）方程法：利用方程計算圓心坐標和半徑大小，圓心、半徑畫圓。2）直徑法：在應力圓中畫出兩點（相互垂直兩面），兩點連線為直徑，直徑與軸交點為圓心，由圓心、直徑畫圓。3）弦垂直平分線法：在應力圓中畫出兩點（相交兩面），弦垂直平分線與軸交點為圓心，由圓心、半徑畫圓。單元體與應力圓對應關(guān)系 在應力圓上標出極值應力例題： 求圖示單元體的主應力及主平面的位置。(單位：MPa) 解法1-應力圓法1、主應力坐標系如

11、圖2、在坐標系內(nèi)畫出點3、AB的垂直平分線與sa 軸的交點C便是圓心，以C為圓心，以AC為半徑畫圓應力圓 主應力及主平面如圖 解法2-解析法：分析建立坐標系如圖 作業(yè)22、單元體應力如圖所示，試利用應力圓求出主應力的數(shù)值，并在單元體上畫出主平面的位置及主應力的方向。803030 160 4、主應力及其主應力跡線主應力跡線（Stress Trajectories)： 主應力方向線的包絡線曲線上每一點的切線都指示著該點的拉主應力方位（或壓主應力方位）以梁的彎曲為例。 實線表示拉主應力跡線； 虛線表示壓主應力跡線。三、 三向應力狀態(tài)1、空間應力狀態(tài)四、 復雜應力狀態(tài)下的應力-應變關(guān)系 （廣義虎克定律

12、）1、單拉下的應力-應變關(guān)系2、純剪的應力-應變關(guān)系3、復雜狀態(tài)下的應力 - 應變關(guān)系4、平面應力狀態(tài)下的應力-應變關(guān)系 平面應力狀態(tài)：當彈性體某一軸的尺寸比其他兩軸的尺寸小很多，例如薄版。單元體的與自由面平行的面上無應力。x0 y0 z =0 xy0 yz=0 zx=0 x0 y0 z0 xy0 yz=0 zx=05、平面應變狀態(tài)下的應力-應變關(guān)系 平面應變狀態(tài)：彈性體某一軸的尺寸很長，且垂直于該軸的材料幾何尺寸，應變，約束條件都相同，例如圓柱體、土壩、重力壩。與截面垂直的縱向無線應變，且縱向平面內(nèi)無剪應力。 x0 y0 z0 xy0 yz=0 zx=0 x0 y0 z=0 xy0 yz=0

13、 zx=06、平面應力狀態(tài)與平面應變狀態(tài)的對比1）平面應力問題是對力分布的研究；平面應變問題是對表面變形的研究。2）平面應力問題：彈性體某一軸的尺寸比其他兩軸的尺寸小很多，例如薄版；平面應變問題：彈性體某一軸的尺寸很長，且垂直于該軸的材料幾何尺寸，應變，約束條件都相同，例如圓柱體、土壩、重力壩。3）平面應力問題：所有應力都在一個平面內(nèi)，Z向應力0,如薄板受與板平行且共面的力作用下一般是平面應力問題。平面應變問題：所有應變都在一個平面內(nèi)，Z向應變?yōu)?，如炮筒等，Z向尺寸遠遠大于另外兩個方向的尺寸，而且不考慮沿Z向的外力，只考慮垂直Z向的外力。4）平面應力就是說一個方向的應力可忽略，平面應變就是一個方向的應變可以忽略.如果某一方向（Z軸吧）在空間很長（相對其他兩個方向而言），那么在這個方向的應變就可以忽略不計，但是這個方向的應力不一定為零