02柯西不等式與平均值不等式訓(xùn)練題(含經(jīng)典例題+答案)

1、 選擇題（共 20 小題） 1. (2015?湖南) 2. .: B. 2 (2015?畐建) 3. 柯西不等式與平均值不等式訓(xùn)練題 1 若實(shí)數(shù) a, b 滿足 C. 2 . D. 工=1 l+學(xué)二忑，則 ab 的最小值為（ 5 3 C. 4 D. 2t2 【 y 最小值 3+2. :C.最大值 6 D .最小值 6 ） 有最大值 D . 若直線 若實(shí)數(shù) x、y 滿足 A .最大值 3+2 4. B. （2015?上海）已知 a2+b2有最小值 5. (2015?浙江) 6. 已知 （a0, b0）過點(diǎn)（1, 1）,貝 U a+b 的最小值等于（ 5 =1，則 x2+2y2 有（ ） a0,

2、b0,若 a+b=4，則（ ；，有最小值 C. - 有 設(shè)正實(shí)數(shù) 3 C. a, b 滿足 a+入 b=2（其中入為正常數(shù)） 3 有最大值 Va+Vb .若 ab 的最大值為 3，則入= x0, y0, B. 2 .: C. Ig2x+|g8y=lg2，則 - 的最小值是（ K 3y 7.已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足 a7=a6+2a5,若存在兩項(xiàng) am, an使得- 4 .,則-亠的最小值為 HI n 8. -B . 若 a 0, - 9. 25 b 0,且 a+2b- 2=0,則 ab 的最大值為（ C. D .不存在 1 C. 2 D. 已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足: a7=a6+2a5,若存在

3、兩項(xiàng) am, a,使得 aman=16a12, 則】+亠 的最小值為 13 B . C.二 2 A. D. 10.若正數(shù) x, A . 2 B. 3 不存在 y 滿足 3x+y=5xy， 貝 U 4x+3y 的最小值是 （ C. 4 IT 11.已知正實(shí)數(shù) m, n滿足 m+n=1 , 且使卩取得最小值. 若曲線 y=xa過點(diǎn) P 嚴(yán)，門），則 a 的值為 12.設(shè) A. 13. 2 若 11 2 C. 2 D. 3 a b 0, B. 3 x0, y0, x+2y+2xy=8，貝 U x+2y 的最小值是( B. 3 C. 若 4x+4y=1, 0 , 1 B . 14. A. 2 2 2

4、15 .已知 a0, b 0, c 0,且 ab=1, a +b +c =4，貝 U ab+bc+ac 的最大值為( A . B . C . 3 D . 4 2 16 .若正數(shù) x, y 滿足 x +6xy -仁 0,則 x+2y 的最小值是( 則 x+y 的取值范圍是( -1, 0 C. - 1, +R) 2 ) D . (- a, 2 -1 B. 20, b 0 且 a 工1若函數(shù) y=logax 過點(diǎn)(a+2b, 0),則 3+22 2 18. 已知 a0, 3 b 1 且 2a+b=4,則 的最小值為( 19. 16 B. 25 的最小值為( 若正數(shù) a, b 滿足丄+ a b C.

5、36 20. 已知 x, y 最大值 17 汽 0)，且 x+y= - 1，貝 H xy+有( :C .最小值- B.最小值 xy 11 D .最大值- 解答題(共 10 小題) 21. 已知正實(shí)數(shù) a、 b 滿足：a2+b2=2 亠.(1)求 的最小值 m； (2)設(shè)函數(shù) f (x) =|x-t|+|x+i 對(duì)于(1)中求得的 2 22.已知不等式 x2 a m,是否存在實(shí)數(shù) x,使得 f (x)=一成立，說明理由. 2 -5ax+b 0 的解集為x|x 4 或 xv 1 (1)求實(shí)數(shù) a, b 的值；(2)若 Ovx v 1, f ( x) ,求 f (x)的最小值. b_ x r 1 -

6、 x 23已知函數(shù) f (x) = | 4 (n)求 a b 1 ：!-，的最小值. a b 25. 已知實(shí)數(shù) 2 2 2 a, b, c 滿足 a +b +c =3. (I)求證 a+b+c 3M 2a+2b+2c=m，求 27. 已知正數(shù) 28. 已知 a, b, 不等式|x+1|+|x - 29.已知正實(shí)數(shù) 30.已知 a0, 的最小值. b c 7V+ a, b, c 滿足 a+b+c=3，求證: 號(hào)3 C 2 Q b0,且a+b=2.( 1)求薜的最小值及其取得最小值時(shí) a, b 的值；(2)求證：a2+b22 2 一. 選擇題(共 20 小題) 1. C; 2. C; 3. B ;

7、 4. A ; 5. D ; 6. C; 7. A; 8. A ; 9. A ; 12. C; 13. D; 14. D; 15. A; 16. A; 17. A; 18. D; 19. A; 20. 二. 解答題(共 10 小題) 21.解：(1)v 2Jr*a2+b2 10. D; 11. B; B； 2ab 即一 t二=,、冷.1 .又 當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)取等 號(hào). m=2 . (2)函數(shù) f ( x) =|x - t|+|x+ 2二_=1，滿足條件的實(shí)數(shù) x不存在. 2 22.解：（1）由題意可得 (2)由(1)知 f (x)=二+ 4+l=5a 4Xl-b 4 ，解得 實(shí)數(shù) a,

8、b 的值分別為 1, 4； 5+ 1 - X 1 _ X x+ (1 - x) =5+ - + / 0v x v 1, 0 v 1 - xv 1,.0, X 1 - K 知 1 - .1 T i - 4:0, f (x 1 _ X J,時(shí)，等號(hào)成立. f （ x）的 最小值為 9. 23.解：(1)v函數(shù)定義域?yàn)?R,. |x+1|+|x - 3| - m0恒成立，設(shè)函數(shù) g (x) =|x+1|+|x - 3|,貝U m 不大于 函數(shù) g (x)的最小值，又 |x+1|+|x - 3| |x+1 ) -( x - 3) |=4, 即卩 g (x)的最小值為 4，二 mW4. (2 )由(1)

9、 知 n=4, 7a+4b= - . ! : - - 4 3a+b a+2b _1 隹 2 (3濁+b) 2 冷) 4 a+2b 3a+b 3a4b pa+2b)= Va-+2b 3a+b IT a+b a-Fb , b - +=2- a a 24.證明：一 a 4 亠 4 (n)解：i - ： ： I- - a b ， I . ，當(dāng)且僅當(dāng) a+2b=3a+b，即 即 (曲=+ 2 a b i 2 (皚) ab 2 冷)2+ (b+g) 2- a 0 2 時(shí)取等號(hào). 7a+4b 的最小值為一. 4 又 T J 心一得.：-,即 當(dāng)且僅當(dāng):十上式等號(hào)成立. 25.證明：(I)T(a+b+c) 2

10、=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac W+b2+c2+ ( a2+b2) + (b2+c2) + (a2+c2) =3 (a2+b2+c2) =9. a+b+c w; ( II )T( a2+b2+c2) b2 c =3+ 3+ +2 2 c2 b2 + F+ b =3+ 2 ,2 其 2 k2 2 2 2 , - =9 .當(dāng)且僅當(dāng) a2=b2=c2=1 時(shí)取等號(hào). J 3 26.解：（1）由關(guān)于 x的不等式：|2x- m| w 1 可得-1 2- m1,解得 ID _ 1 2 a2V C2 w xL .由于整數(shù)解有且僅 有一個(gè)值為 1 , X 罟 Q 1 0，解得 . 3xy+yz+z

11、x=3xy+1 恒成立，則|x+1|+|x - 1| 當(dāng) xl時(shí)，化為 2x3,解得汎土，滿足 x1, / 2 當(dāng)-1 WxC 1 時(shí)，化為 x+1 - x+1 3,即 23此時(shí) x ?；當(dāng) xV- 1 時(shí)，化為-2x3解得 x 0, b 0,且 a+b=2.冬馬冷+b) =(卅)(呈)=5 已申+么區(qū)墾=9, gj b 2 a b a b a b Ynb 當(dāng)且僅當(dāng) ,b=時(shí)等號(hào)成立.二+衛(wèi)的最小值為 9. 3 3 a b (2 )T a 0, b 0，且 a+b=2 . 2 ( a2+b2) ( a+b) 2=4 , a2+b22 當(dāng)且僅當(dāng) a=b=1 時(shí)取等號(hào). -2( x+y )(x+y )w_ -(x+y)2+( x+y )= .土 . 1 2, x=y=丄時(shí)，取等號(hào). -3xy+yz+zx 的最大值為 1 5 國(guó) 5 當(dāng) x+y= 5 28.解：(1)v a2= (- b- c) 2=b2+c2+2bcw2(b2+c2) a2w2 (1 - a2), 3a2w2 即一 ，a 的最大值為亨 (2