電路(基本概念相量表示)

1、4.1 正弦交流電的基本概念正弦交流電的基本概念前面兩章所接觸到的電壓和電流均為穩(wěn)恒直流電，其大小和方向均不隨時間變化，稱為穩(wěn)恒直流電，簡稱直流電。直流電的波形圖如下圖所示：u、it0電子通訊技術(shù)中通常接觸到的電壓和電流，其大小隨時間變化，方向不隨時間變化，稱為脈動直流電，如圖所示。電壓或電流的大小和方向均隨時間變化時，稱為交流電，最常見的交流電是隨時間按正弦規(guī)律變化的正弦電壓和正弦電流。表達(dá)式為：)sin(umtUu)sin(imtIiu、it0it 正弦交流電的優(yōu)越性：正弦交流電的優(yōu)越性： 便于傳輸；易于變換便于傳輸；易于變換便于運(yùn)算；便于運(yùn)算；有利于電器設(shè)備的運(yùn)行；有利于電器設(shè)備的運(yùn)行；

2、 . . . . .i以正弦電流為例)sin(imtIi振幅振幅角頻率角頻率、和稱為正弦量的三要素。相位相位初相位初相位itOImi波形如圖波形如圖1. 正弦交流電的周期、頻率和角頻率： 正弦量在單位時間內(nèi)變化的弧度數(shù)。fT22： 正弦量完整變化一周所需要的時間。： 正弦量在單位時間內(nèi)變化的周數(shù)。Tf12. 正弦交流電的瞬時值、最大值和有效值)sin()(imtItiIIIUUU414.12707.02mmm是以解析式表示的：就是上式中的Im， Im反映了正弦量振蕩的幅度。指與交流電熱效應(yīng)相同的直流電數(shù)值。符號：U、IRi交流電交流電i 通過電阻通過電阻R時，在時，在t 時間內(nèi)產(chǎn)生的熱量為時間

3、內(nèi)產(chǎn)生的熱量為QRI例例直流電直流電I 通過相同電阻通過相同電阻R時，時，在在t 時間內(nèi)產(chǎn)生的熱量也為時間內(nèi)產(chǎn)生的熱量也為Q即：熱效應(yīng)相同的直流電流I稱之為交流電流i 的。有效值可以確切地反映交流電的作功能力。3. 正弦交流電的相位、初相和相位差正弦量解析式中隨時間變化的電角度)sin( ),sin(imumtIitUuiuiutt)()(相位：時的相位 ，它確定了正弦量在計時起點(diǎn)的位置。初相：兩個同頻率正弦量之間的相位之差。相位差：例例的相位差為：相位差實(shí)際上等于兩個同頻率正弦量之間的相位差實(shí)際上等于兩個同頻率正弦量之間的0，u 與 i 同相。0，u 超前 i，或 i滯后 u。，u 與 i

4、反相。2，u 與 i 正交。(a) u 與 i 同相 (b) u 超前 iu、itOuiu、itOuiu、itOuiu、itOui(c) u 與 i 反相 (d) u 與 i 正交例例幅值：幅值：A707. 021A 1IIm301000sinti已知：已知：Hz159210002rad/s 1000 f頻率：頻率：30 初相位：初相位：4.2 正弦信號的相量表示正弦信號的相量表示復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)A在復(fù)平面上是一個點(diǎn)，在復(fù)平面上是一個點(diǎn)，j0b1a原點(diǎn)指向復(fù)數(shù)的箭頭稱為它的原點(diǎn)指向復(fù)數(shù)的箭頭稱為它的,模模r與正向?qū)嵼S之間的夾角稱為復(fù)與正向?qū)嵼S之間的夾角稱為復(fù)數(shù)數(shù)A的的；A在實(shí)軸上的投影是它的在實(shí)軸上的

5、投影是它的； A在虛軸上的投影在虛軸上的投影稱為其稱為其。復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)A的的為：為：由圖可得出復(fù)數(shù)由圖可得出復(fù)數(shù)A的模值的模值r和幅角和幅角分別為：分別為：abbararctan 22，r由圖還可得出復(fù)數(shù)A與模復(fù)數(shù)還可以表示為和：41 .53sin531 .53cos5ba又可得到復(fù)數(shù)A的為：j0b1arr及幅角之間的關(guān)系為已知復(fù)數(shù)A的模r=5，幅角=53.1，寫出復(fù)數(shù)A的極坐標(biāo)形式和代數(shù)形式表達(dá)式。極坐標(biāo)形式為：A=5/53.1sincosrbra代數(shù)表達(dá)形式為：A=3+j4復(fù)數(shù)相加、減時用代數(shù)形式比較方便；復(fù)數(shù)相乘、除時用極坐標(biāo)形式較方便。設(shè)有兩個復(fù)數(shù)分別為：設(shè)有兩個復(fù)數(shù)分別為：A1、A2加、

6、減、乘、除的運(yùn)算公式加、減、乘、除的運(yùn)算公式2222211111 / /jbarAjbarA212121212121212121212121)()()()(rrAArrAAbbjaaAAbbjaaAA在復(fù)數(shù)運(yùn)算當(dāng)中，一定要根據(jù)復(fù)數(shù)所在象限正確寫出幅角的值。如：)1803/4(arctan9 .1265 43) 3/4arctan180(9 .1265 43) 3/4arctan(1 .535 43) 3/4(arctan1 .535 43AjAAjAAjAAjA第三象限第二象限第四象限第一象限代數(shù)形式中虛部數(shù)值前面的 ，一個復(fù)數(shù)乘以j相當(dāng)于在復(fù)平面上逆時針旋轉(zhuǎn)90；除以j相當(dāng)于在復(fù)平面上順時針

7、旋轉(zhuǎn) 90（ 數(shù)學(xué)課程中旋轉(zhuǎn)因子是用i表示，電學(xué)中為了區(qū)別于電流而改為j )。已知復(fù)數(shù)已知復(fù)數(shù)A=4+j5，B=6- -j2， 求求A+B、A- -B、AB、AB。已知復(fù)數(shù)已知復(fù)數(shù)A=10/ 30，B=8/-45 求求A+B、A- -B、AB、AB。7 .69/01. 1)4 .18(3 .51/32. 64 . 69 .32/ 4 .40)4 .18(3 .51/32. 64 . 64 .18/32. 626 3 .51/ 4 . 654106/28. 772)2(5 ) 64(7 .16/ 4 .10310) 25 () 64(BABAjBjAjjBAjjBA第第2題自己練習(xí)。題自己練習(xí)。

8、與正弦量相對應(yīng)的復(fù)電壓和復(fù)電流稱之為。為與一般復(fù)數(shù)區(qū)別，相量的頭頂上一般加符號“ ”。正弦量i=14.1sin(t+36.9)A，若用相量表示，其最大值相量為：A9 .36/ 1 .14mI有效值相量為：A9 .36/10I由于一個電路中各正弦量都是同頻率的，所以相量只需對應(yīng)正弦量的兩要素即可。即模值對應(yīng)正弦量的有效值（或最大值），幅角對應(yīng)正弦量的初相位。正弦量相量)sin(imtIiimmII)sin(umtUuummUU)sin(2itIiII)sin(2utUuUU符號說明瞬時值瞬時值 - 小寫小寫u、i有效值有效值 - 大寫大寫U、I復(fù)數(shù)、相量復(fù)數(shù)、相量 - 大寫大寫 + “.”U最大

9、值最大值 - 大寫大寫+ +下標(biāo)下標(biāo)mU解解：A506 .86301003024 .141jIV5 .190110602206021 .311jU已知瞬時值，求相量。已知: V3314sin1 .311A6314sin4 .141tuti求：求： i 、u 的的有效值相量有效值相量 例例例例求：21ii 、已知相量，求瞬時值。兩個頻率都為 1000 Hz 的正弦電流的有效值相量形式為：A10A601003021jeIIA )306280sin(210A )606280sin(210021titi解：6280100022fsrad按照各個正弦量的按照各個正弦量的和和關(guān)系用關(guān)系用畫出的若干個相量的

10、圖形，稱為畫出的若干個相量的圖形，稱為。把它們表示為相量，并且畫在相量圖中。例例，222111 sin2 sin2tUutUu用有效值相量表示，即：U1=U1 1U2=U2 2畫在相量圖中：畫在相量圖中：12U2U1也可以把復(fù)平面省略，直接畫作也可以把復(fù)平面省略，直接畫作12U2U1虛線可以不畫虛線可以不畫+1j利用相量圖中的幾何關(guān)系，可簡化同頻率正弦量之間的加、減運(yùn)算及其電路分析。U21222111 sin2 sin2uuutUutUu，求，利用相量圖輔助分析，12U2U1根據(jù)平行四邊形法則，由相量圖可以清楚地看出：221122112221122211coscossinsinarctan)s

11、insin()coscos(UUUUUUUUUU1cos1+U2cos 2 2U1sin 1+U2sin 2 21. 把下列正弦量表示為有效值相量：V)30cos(2220 3V)90sin(2220 2A)45sin(10 (1)tututi）（）（V60/220V90/220A45/07. 7UUI2. 指出下列各式的錯誤并改正：V60/380 3A)9 .36sin(2109 .36/10 2A2220)4sin(2220 (1)45UtIetuj）（）（正弦量和相量正弦量和相量之間只有對應(yīng)之間只有對應(yīng)沒有相等。沒有相等。電壓單位是電壓單位是V相量上面要加相量上面要加符號符號“”！I =

12、URi =uR一、電阻元件一、電阻元件1. 電阻元件上的電壓、電流關(guān)系電阻元件上的電壓、電流關(guān)系 iR utUusin2tItRURuisinsin2m電壓、電流的瞬時值表達(dá)式為：電壓、電流的瞬時值表達(dá)式為： 由兩式可推出，電阻元件上電壓、電流的相位上由兩式可推出，電阻元件上電壓、電流的相位上存在同相關(guān)系；數(shù)量上符合歐姆定律，即：存在同相關(guān)系；數(shù)量上符合歐姆定律，即：2. 功率功率 )(sin2)(sin2tUutIitUIUItItUiup2cossinsinmm （1）瞬時功率）瞬時功率 p瞬時功率用小寫瞬時功率用小寫則1. p隨時間變化；隨時間變化； 2. 2. p0，為耗能元件。，為耗

13、能元件。uip=UI-UIcos2 ttUIUIcos2 tu、i、p ( (一個周期內(nèi)的平均值一個周期內(nèi)的平均值) ) tUIUItItUiup2cossinsinmm由由:可得可得:P = UI例例求：求：“220V、100W”和和“220V、40W”燈泡的電阻？燈泡的電阻？平均功率用大寫平均功率用大寫121040220484100220224022100PURPUR解解：電阻負(fù)載在相同電壓下工作，功率與其阻值成反比。電阻負(fù)載在相同電壓下工作，功率與其阻值成反比。平均功率代表了電路實(shí)際消耗的功率，因此也稱之平均功率代表了電路實(shí)際消耗的功率，因此也稱之為為。i uL)90sin(cos)si

14、n(LmmmLtUtLIdttIdLdtdiLu1. 電感元件上的電壓、電流關(guān)系電感元件上的電壓、電流關(guān)系 tIisin2設(shè)通過設(shè)通過L中的電流為：中的電流為： 則則L兩端的電壓為：兩端的電壓為： 由式推出由式推出L L 的電壓的電壓電流在相位上存在電流在相位上存在9090的正交關(guān)系，的正交關(guān)系，且電壓超前電流。且電壓超前電流。電壓電流之間的數(shù)量關(guān)系：電壓電流之間的數(shù)量關(guān)系：dtdiLu L二、電感元件二、電感元件 XL=2f L=L，雖然式中感抗和電阻類似，等于元件上電壓與電流的比值，但它與電阻有所不同，電阻反映了元件上耗能的電特性，而感抗則是表征了電感元件對正弦交流電流的阻礙作用，這種阻礙

15、作用不消耗電能，只能推遲正弦交流電流通過電感元件的時間。感抗與哪些感抗與哪些因素有關(guān)？因素有關(guān)？XL與與頻率頻率成成；與；與電感量電感量L成成直流情直流情況下感況下感抗為多抗為多大？大？IUXLL直流下頻率直流下頻率f =0，所以，所以XL=0。u tUutIicossinLmLmtIUtItUiup2sinsincosLmLmL （1）瞬時功率）瞬時功率 pip=ULIsin2 ttu i 同同向向,吸收電能吸收電能;儲存磁能儲存磁能;p 0u i 反反向向,送出能量送出能量;釋放磁能釋放磁能;p 0u i 反反向向,送出能量送出能量;釋放磁能釋放磁能;p 0u i 反反向向,送出能量送出能

16、量;電容放電電容放電;p 0u i 反反向向,送出能量送出能量;電容放電電容放電;p 0電容元件和電感元電容元件和電感元件相同，只有能量件相同，只有能量交換而不耗能，因交換而不耗能，因此也是此也是儲能元件。儲能元件。p為正弦波，頻率為為正弦波，頻率為ui 的的2倍；在一個周期內(nèi)，倍；在一個周期內(nèi)，C充充電吸收的電能等于它放電電吸收的電能等于它放電發(fā)出的電能。發(fā)出的電能。P P = 0= 0，電容元件不耗能，電容元件不耗能（2）平均功率（有功功率）平均功率（有功功率）P（3） 無功功率無功功率CUXIUIQ2C2CCC1. 電容元件在直流、高頻電路中如何？電容元件在直流、高頻電路中如何？2. 電

17、感元件和電容元件有什么異同？電感元件和電容元件有什么異同？直流時直流時C相當(dāng)于開路，高頻時相當(dāng)于開路，高頻時C相當(dāng)于短路。相當(dāng)于短路。 L和和C上都存在相位上都存在相位，所不同的是，所不同的是 上上， 上上; L和和C都是都是直流情況下直流情況下C相相當(dāng)于當(dāng)于；L相當(dāng)于相當(dāng)于CUICuiCUIXUiC）（；）（；）（；）（4 3 2 1LUILuiLUIXUim）（；）（；）（；）（4 3 2 1L想想想想 練練練練1.電阻元件在交流電路中電壓與電流的相位差是多少？判斷下列表達(dá)式的正誤。RuiRUiRUIRUim）（；）（；）（；）（4 3 2 12.純電感元件在交流電路中電壓與電流的相位差是

18、多少？感抗與頻率有何關(guān)系？判斷下列表達(dá)式的正誤。3.純電容元件在交流電路中電壓與電流的相位差是多少？容抗與頻率有何關(guān)系？判斷下列表達(dá)式的正誤。0。超前且，iu 90。超前且ui ,90電阻元件上電壓與電流的相位同相，電感元件上電壓與電流的相位差感抗與頻率成正比，直流情況下f =0，L相當(dāng)于短路；高頻情況下，由于感抗很大，L 相當(dāng)于開路。高頻情況下，由于容抗近似等于零，C相當(dāng)于短路。電容元件上電壓與電流的相位差容抗與頻率成反比，直流情況下f =0，C相當(dāng)于開路；一、基爾霍夫節(jié)點(diǎn)電流定律的相量形式一、基爾霍夫節(jié)點(diǎn)電流定律的相量形式 正弦電路中任一節(jié)點(diǎn)，與它相連接的各支路電流的相量代數(shù)和為零，即 上式就是基爾霍夫節(jié)點(diǎn)電流定律的相量形式，簡稱KCL的相量形式。 00mII或上式就是基爾霍夫回路電壓定律的相量形式，簡稱KVL的相量形式。 00mUU或二、回路電壓定律的相量形式二、回路電壓定律的相量形式 正弦電路中，任一閉合回路，各段電壓的相量代數(shù)和為零，即 綜上所述，正弦電路的電流、電壓的瞬時值關(guān)系，相量關(guān)系都滿足KCL和KVL，而有效值的關(guān)系一般不滿足，要由相量的關(guān)系決定。 因此正弦電路的某